1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题常见的十种题型专项练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题常见的十种题型（突破卷）

 

目　录

题型一　空间向量的坐标表示、共面与投影向量

题型二　点到直线的距离（含最小值）

题型三　点到平面的距离

题型四　异面直线所成的角

题型五　直线与平面所成的角（一）求值与最值

题型六　直线与平面所成的角（二）存在性问题

题型七　平面与平面的夹角（二面角）（一）求值

题型八　平面与平面的夹角（二面角）（二）存在性问题

题型九　平行与垂直关系的判定与证明（含翻折、折起构型）

题型十　综合应用（命题判断、轨迹、体积）

 

题型一　空间向量的坐标表示、共面与投影向量

【解题技巧】判断四点共面：存在实数 x、y 使（空间向量基本定理），即第四点向量可由另外三点构成的两不共线向量线性表示。求向量在平面上的投影向量：先求平面法向量，则在方向上的分量（即投影向量在法线方向的部分）为；点在平面上的投影即对应投影向量的终点。坐标运算注意向量减法、模长、点积公式的规范使用。

1．（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点，则（   ）

  

A．四点共面                B．在平面上的投影向量为

C．点到平面的距离为    D．点到直线的距离为

2．（多选题）如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为3，且，则（   ）

  

A．    B．

C．异面直线与所成角的余弦值为              D．点到直线的距离为

题型二　点到直线的距离（含最小值）

【解题技巧】求点 P 到直线 l 的距离：在 l 上取一点 A，取直线方向向量，则（向量积的模除以方向向量模），用坐标法可化为。含动点的点到直线距离最值问题，先把动点坐标用参数 λ 表示，把距离平方写成关于 λ 的二次函数（或含绝对值表达式），再利用二次函数、均值不等式求最小值。注意“点 C 到直线 AB 距离最小”通常等价于动点在某特殊位置（如垂足）。

 

1．（多选题）如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为4           B．

C．直线所成角的余弦值为           D．的最小值为

2．（多选题）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，为线段上的动点，则（    ）

A．存在点，使得直线   B．存在点，使得平面

C．点到直线距离的最小值为        D．三棱锥的体积为

题型三　点到平面的距离

【解题技巧】求点 P 到平面 α 的距离：先求平面法向量，在平面上取一点 A，则（AP 在法向量方向上的投影长度绝对值）。可同时用等体积法验算：三棱锥体积，由两个不同顶点等高法求同一体积得到距离。多个点到两平面的距离之和为定值问题：分别用公式表示两距离（用参数表示动点），相加后化简为定值或关于参数的表达式，验证是否恒为定值。

 

 

 

1．（多选题）如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别是、的中点，是棱上的动点，则（   ）

  

A．

B．存在点，使平面

C．存在点，使直线与所成的角为

D．点到平面与平面的距离和为定值

题型四　异面直线所成的角

【解题技巧】求异面直线 AB 与 CD 所成的角：取方向向量、，则。异面直线所成角范围为 (0,π/2]，故两方向向量夹角必须取绝对值（锐角或直角）。求异面直线所成角的取值范围：把相关动点坐标用参数表示，将 cosθ 写成参数的函数，再求该函数的值域，注意 θ 范围与函数单调性对应。

1．（多选题）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（     ）

A．异面直线与所成角为60°

B．平面

C．三棱锥的体积不变

D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为

题型五　直线与平面所成的角（一）求值与最值

【解题技巧】求直线与平面所成的角：取直线方向向量、平面法向量，则。即线面角的正弦等于方向向量与