1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题常见的七种题型（提升卷）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题常见的七种题型（提升卷） 目　录 题型一　异面直线所成角 题型二　直线与平面所成角 题型三　二面角 题型四　点到直线的距离 题型五　点到平面的距离 题型六　空间向量坐标与概念辨析 题型七　综合应用 题型一　异面直线所成角 【解题技巧】异面直线所成角 θ：平移使两直线相交，取方向向量，则，θ∈(0°,90°]。步骤：①建系写坐标；②取两直线方向向量；③算数量积与模长；④取绝对值。注意：正方体/长方体中常用棱向量作方向向量；遇中点用中点坐标；若两直线无交点，平移到公共顶点处取方向向量。 1．已知正四棱柱中，，，点，分别是和的中点，是线段的中点，则直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型二　直线与平面所成角 【解题技巧】直线与平面所成角 θ：直线方向向量与平面法向量夹角为 φ，则（或其补角），故。步骤：①求平面法向量；②取直线方向向量；③代入公式。注意 θ∈[0°,90°]，直线在平面内时 θ=0°，垂直时 θ=90°。 1．如图，在正方体中，点P在线段上，若直线DP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ）    A． B． C． D． 题型三　二面角 【解题技巧】二面角：①定义法——在棱上取点，在两个半平面内分别作棱的垂线，夹角即二面角平面角；②向量法——求两个面的法向量，则二面角大小等于的夹角或其补角，由图形锐钝判断。。注意：法向量方向指向二面角内部还是外部，决定取夹角还是补角。 1．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 题型四　点到直线的距离 【解题技巧】点 P 到直线 l 的距离：在 l 上任取一点 A，方向向量，则。也可用等面积法：构造三角形，。注意：点到直线距离是垂线段长度，必为非负。 1．在正四棱锥中，，，E，F分别是棱AB，PC的中点，则点D到直线EF的距离是_______________． 题型五　点到平面的距离 【解题技巧】点 P 到平面 α 的距离：平面法向量，平面上任取一点 A，则。步骤：①求平面法向量；②取平面上一点与 P 连成向量；③数量积取绝对值除以法向量模长。线面距离（线面平行时）转化为直线上一点到平面距离；面面距离转化为一个面上一点到另一平面距离。 1．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型六　空间向量坐标与概念辨析 【解题技巧】空间直角坐标系：建系时把原点放在几何体顶点，x/y/z 轴沿三条互相垂直的棱。①向量坐标 = 终点坐标 − 起点坐标；②数量积；③模长；④位置关系：平行 ⇔ 方向向量数乘；垂直 ⇔ 数量积为 0；线面平行 ⇔ 方向向量与法向量垂直；线面垂直 ⇔ 方向向量与法向量平行。命题判断逐项验证。 1．空间几何体中有很多图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也称作阿基米德多面体．如图，这是一个棱数为24，棱长为的半正多面体，它是正方体截去八个一样的四面体得到的，若为线段上的动点（包含两点），则异面直线与所成角的取值范围为________． 2．已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别为线段BC，PA的中点，G是线段PD上的一点，PA＝AD＝2．若异面直线CF与EG所成角的余弦值为，则三棱锥P﹣EFG的体积为__________________ ． 3．如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论：     ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 题型七　综合应用（多选与解答大题） 【解题技巧】综合解答题通法：①建系——以垂直交点为原点，沿三条垂线写坐标；②求向量——把所有点坐标写出，目标向量用坐标差表示；③证平行/垂直——用方向向量数乘或数量积为 0；④求角——套异面直线角/线面角/二面角公式；⑤求距离——套点线距/点面距公式；⑥存在性/动点——设参数 t，列方程求解并检验范围。多选题：逐项判断，特殊值法排除，举反证法否定。 1．（多选题）如图 1，长方形中，，为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图2，满足平面平面，则下列选项正确的是（    ） A． B．与所成角为30° C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角为 2．（多选题）如图，若是棱长为2的正方体的表面一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．当在平面内运动时，四棱锥的体积不变 B．当在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是 C．使直线AP与平面ABCD所成的角为的点的轨迹长度为 D．若是棱的中点，当在底面ABCD内运动，且满足平面时，PF长度的最小值是 3．（多选题）如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（    ） A．与所成的角为 B． C． D．与平面所成的角为 4．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，，E，F，G分别为PA，BC，CD的中点． (1)证明：平面PBC． (2)求直线EC与平面EFG所成角的正弦值． 5．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．    (1)求点到平面的距离； (2)已知点在线段上，且直线与平面所成的角为，求出的值． 6．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 7．如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 8．如图，四棱锥中，侧面是边长为的等边三角形且垂直于底面，是的中点． (1)证明：直线平面； (2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值． 9．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 10．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为BC的中点，且． (1)求； (2)求锐二面角的余弦值． 11．如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，平面，且，点是的中点， (1)求证：直线平面; (2)求直线到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 12．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 13．如图，平面，，，为的中点，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 14．如图，在三棱柱中，为的中点，平面，，. (1)证明：平面平面． (2)求平面与平面的夹角． 15．如图，在四棱锥中，平面，，，，，. (1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成角的余弦值. 16．如图，平面平面ABCD，，，，，E为PD中点. (1)求证：平面PBC； (2)求平面ABE与平面PAB所成角的余弦值； (3)求点D到平面ABE的距离. 17．如图，在三棱锥中，，，O为的中点． (1)证明：平面； (2)若点M在棱上，且二面角为，求的长度． 18．如图，在直三棱柱中，．    (1)求证：为直角三角形； (2)若平面与平面所成角的正弦值为，求的值． 19．如图，在直三棱柱中，平面，为侧棱中点，为线段中点，，． (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值； (3)若点在线段上，满足平面平面，求的值． 20．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点．    (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是，若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 21．如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.    (1)求证：； (2)在线段上，是否存在一点M，使得平面与平面所成角的大小为，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由. 22．已知正方体的棱长为2，，分别为正方体的棱，的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 23．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 24．如图，在长方体中，是AB的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 25．如图，四棱锥中，平面，，，，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 26．如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱⊥底面，且PC=3.    (1)证明：平面PCD⊥平面PAD； (2)求点B到平面PAD的距离. 27．如图，在长方体中，，为棱的中点，为棱的中点．    (1)证明，并求直线到直线的距离； (2)求点到平面的距离． 28．正方体，，，分别为，，的中点． (1)在线段上存在一点，使面，试确定点的位置； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 29．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为．已知四棱锥在点的曲率为． ①求证：平面平面； ②在直线上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，说明理由． 30．如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由. 31．如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.    (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 32．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，．    (1)若为棱的中点，求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 33．如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. (1)求证：平面 (2)在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 34．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，. (1)求点C到平面的距离； (2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由. 参考答案 题型一　异面直线所成角 1．D 【详解】如图    建立空间直角坐标系，则，，，，， 则，，， 则， 所以异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 2．D 【详解】因为平面ADE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE， 所以AE⊥平面ABCD， 又平面ABCD，所以AE⊥AB， 又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直， 分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0）， ∴，， 设BD与EF所成的角大小为α， 则， 即BD与EF所成的角的余弦值为， 故选：D. 题型二　直线与平面所成角 1．D 【详解】设正方体的棱长为1，且， 以点为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 则， 设，即 当时，；当或时，， 所以. 故选：D. 题型三　二面角 1．D 【详解】由向量加法法则可得， 所以. 因为，，且，是棱上的两点，所以，，即，. 又二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 因为，，， 所以，即， 整理得，解得. 因为线段长度为正，所以. 题型四　点到直线的距离 1． 【详解】如图，连接AC，BD，DE，记，连接OP. 由正四棱锥的性质可知OB，OC，OP两两垂直， 则以为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 则， 所以， 则点到直线的距离是. 故答案为：. 题型五　点到平面的距离 1．D 【详解】 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，， ∴，即， ∵平面，平面，∴平面. ∴直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则， 令，则，∴， ∴点到平面的距离为. 故选：D. 题型六　空间向量坐标与概念辨析 1． 【详解】由阿基米德多面体的定义可知，原正方体棱长为.以正方体的一个顶点为坐标原点，三条棱所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设. 所以，， 所以 当时， 当时，， 当且仅当时取等号. 由对勾函数性质以及上述讨论可知. 所以， 设异面直线与所成角为， 综上所述， 2． 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 3．①②④ 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为； 对于②，，而，所以四面体的体积为； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误； 对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可. 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形. 故答案为：①②④ 题型七　综合应用（多选与解答大题） 1．ACD 【详解】取中点，连接，由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 因此平面，在平面内过作，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 对于A，，，则，A正确； 对于B，，设和所成角为，， 因此，B错误； 对于C，，设平面的法向量，则， 取，得，，点到平面的距离为，C正确； 对于D，令直线与平面所成角为，则，因此，D正确. 故选：ACD 2．AD 【详解】选项A：当在平面内运动时，P到平面的距离不变， 平面的面积不变，所以四棱锥的体积不变，故A正确； 选项B：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示， 则，设， 则， 设与所成角为，， 则 ， 因为，所以，则， 所以， 因为在上单调递减， 所以，故B错误； 选项C：已知直线AP与平面ABCD所成的角为， 若点P在平面和平面内， 因为，且为最大角，所以点P仅在点，处； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，则点P的轨迹为； 若点P在平面内，作平面ABCD，如图所示， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以点P的轨迹是以为圆心，2为半径的圆的四分之一， 所以点P的轨迹长度为， 综上，点P的轨迹总长度为，故C错误； 选项D：，设， 则， 设平面的法向量， 则，即， 令，则，所以， 因为平面， 所以，则， 所以， 即当时，PF长度的最小值是，故D正确. 故选：AD 3．AB 【详解】以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，， 所以，， 所以与所成的角为，，. 平面的一个法向量为，设与平面所成的角为， 所以，所以A，B正确，C，D错误. 故选:AB. 4．(1) 由于平面，平面，所以， 而四边形是正方形，所以两两相互垂直. 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系. ， ， 设平面的法向量为， 则，故可设， 由于平面，所以平面PBC． (2) 【详解】（1）略 （2），，， 设平面的法向量为， 则，故可设， 设直线EC与平面EFG所成角为， 则. 5．(1) (2) 【详解】（1）解：连接，∵，是的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面， ∴，菱形中，，所以是正三角形， ∴．∴、、两两垂直． 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则，，，，， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以，点到平面的距离为. （2）解：由题意可知，平面的一个法向量为， ，， 设，， 则， ∵直线与平面所成的角为， ， 整理可得，解得， 所以，． 6．(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）记的中点为，连接， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，即两两垂直， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为， 而， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 而， 所以，令，则 ， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为． 7．(1)证明：因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以. (2) (3)存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：平面， 在菱形中，，，则为正三角形， 因为是的中点，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. （3）解：假设存在点在线段上，设， 由，则，可得， 又由平面的法向量为， 因为直线与平面所成的角为，所以， 可得， 化简得，平方得，解得， 因为，所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且. 8．(1)取中点，连结，． 因为为的中点，所以，. 由得，又， 所以且． 所以四边形为平行四边形，． 又，，所以. (2) 【详解】（1）略. （2） 由已知得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，则 ， 因为与底面所成的角为，而是底面的法向量，所以 ，即， 即.① 又在棱上，设 ，② 由①，②得(舍去)， 所以，从而， 设是平面ABM的法向量，则 ， 所以可取.于是， 由图可得二面角为锐角， 因此二面角余弦值为. 9．(1)证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. ，，，四边形是矩形，. ，，. ，、底面，故底面. 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. ， ，又平面，故平面. (2)平面与平面的夹角为. (3)存在，. 【详解】（1）略. （2）， 设平面法向量，则 ，，取，，. ，， 设平面法向量， ，，取，，. .     平面与平面的夹角为. （3），设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ，令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 此时点坐标为. ，. （2）二面角用两平面法向量夹角求解； （3）动点存在性依靠参数设点，借助点面距离公式列方程，最后检验参数范围判断点是否在线段上. 10．(1) (2) 【详解】（1）平面，平面，所以， 四边形为矩形，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、， 则，， ，则， 解得，故. （2）设平面的法向量为，则，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设锐二面角的平面角为， 则， 所以锐二面角的余弦值为. 11．(1)证明： 因平面，即两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设 因为 则， 又因为是的中点，所以， 所以 设平面的法向量为，则有， 所以是平面的一个法向量， 又因为，所以，所以直线平面. (2) (3) 【详解】（1）略； （2）由（1）得直线平面且平面的一个法向量为， 又因为，所以直线到平面的距离为. （3）由题意得平面， 所以平面的一个法向量 设平面与平面夹角为，则 则，所以平面与平面夹角的正弦值为. 12．(1) 为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. (2) (3)存在， 【详解】（1）略 （2）∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. （3）设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 13．(1) 取的中点，连接、， 、分别为、的中点，则且， 且，且， 所以，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； (2) (3) 【详解】（1）略 （2）平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令可得， 则， 设直线与平面所成角为， 则 （3）， 设平面的法向量为， 则， 设，则， 即， 又平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 14．(1)证明:因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面； (2) 【详解】（1）略； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    不妨设，则， 故，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则 所以平面的一个法向量为； 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 则平面的一个法向量为； 所以， 所以平面与平面的夹角为. 15．(1) (2) 【详解】（1）以为坐标原点，直线分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为， 即点到平面的距离为； （2）． 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为， 显然是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16．(1) 取PC的中点F，连接，BF， 因为E是PD的中点，则，， 又因为，，则，， 可知四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面. (2) (3) 【详解】（1）略 （2）在平面内过点B作垂直于AB， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，可得，， 且，以B为原点，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 可得，， 设平面ABE的法向量为，则， 取，则，，可得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面ABE与平面所成角为，且为锐角， 则， 故平面ABE与平面所成角的余弦值为. （3）由（2）可知：，平面ABE的法向量为， 所以点D到平面ABE的距离. 17．(1)连接，如下图，因为，所以是等腰三角形， O为的中点，由等腰三角形三线合一的性质可知. 因为，所以， ， 在中，， 即是直角三角形，， 则有，，平面，且相交， 由线面垂直的判定定理可知平面. (2) 【详解】（1）略. （2）以O为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，，，. 则，设，，，，，. 设平面的一个法向量为，，则， 令，则有，， . 由（1）知，平面，则，则有平面，所以是平面的一个法向量， . ，，，由题设可知，则有，两边化简后平方，最后解出或（不符合，舍去）. 则，，即长为. 18．(1) 在直三棱柱中， ，则有， 又，， 在中，由余弦定理可得： ， 解得：， 有，所以， 在直三棱柱中，平面， 平面，所以，， 平面，，所以平面， 平面，，所以为直角三角形. (2)2 【详解】（1）略 （2）建立以为原点，分别以，， 所在直线为，，轴的空间直角坐标系，    设，则，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，即， 又面与平面所成角的正弦值为， 所以， 又因此， 即，两边平方可得：， 即，求解可得：， 即或（舍去）. 19．(1)因为三棱柱为直三棱柱，所以平面， 又平面，平面，所以，， 又平面，平面，所以， 以为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 所以，，， 则，， 所以，， 又平面，平面，且与相交， 所以平面； (2)； (3). 【详解】（1）略 （2）由（1）可得，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可解得，， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，可解得，， 故平面的法向量为， 设二面角为，则， 观察图象可得为锐角，所以，， 所以二面角的正切值为； （3）设，则，由（1）得，，， 则，所以，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可解得，， 故平面的法向量为， 因为平面平面，又由（2）得，平面的法向量为， 所以，即，解得. 所以的值为. 20．(1) 连接交于，连接，    因为三棱柱是正三棱柱， 所以四边形是矩形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以是三角形的中位线， 所以，因为平面，平面， 所以平面. (2)存在；或. 【详解】（1）略 （2）作于，由正三棱柱的性质及面面垂直的性质可知平面，    所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系. 因为，是的中点. 所以, 假设在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是， 设，则有，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，所以， 易知平面的一个法向量， 又因为平面与平面夹角的余弦值是， 所以， 解得，解得或， 所以线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值是， 且或. 21．(1) 取BC中点为E，连接AE，因，则四边形AECD为平行四边形. 则，.又，，则. 又注意到，，则. 因平面，平面ABCD，则. 因平面PAC，，则平面. 又平面，则； (2)存在，. 【详解】（1）略 （2）由（1）如图建立以A为原点的空间直角坐标系. 则. 则，. 设，则，. 设平面AMC法向量为，则. 取，又由题易知平面法向量可取. 因平面与平面所成角的大小为， 则 . 故时满足题意.    22．(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面， 所以平面， 由于，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． (2) 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则. 23．(1) 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； (2) 【详解】（1）略 （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 24．(1) 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 25．(1) 证明：取的中点，连接，由是的中点，得且， 又且， 所以且，则四边形是平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2) (3)存在， 【详解】（1）略 （2）连接AC，因为平面，平面， 所以，所以为直线与平面所成角， 在中，， 在中，， 所以，即直线与平面所成角正弦值为.    （3）以A为原点，AB、AD、AP为x，y，z轴正方向建系，如图所示，    所以， 设且，，，， 则，， 设为平面的法向量， 则， 取，得，又， 由点到平面的距离为，得， 解得， 所以在线段上存在除端点外的一点，使得点到平面的距离为，此时. 26．(1)证明：∵PC⊥底面ABCD，平面， ∴PC⊥AD， 又∵CD⊥AD ，且PC∩CD=C，平面， ∴AD⊥平面PCD， ∵平面PAD， ∴平面PCD⊥平面PAD； (2) 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系，    则 ， 所以， 设平面PAD的一个法向量为， 则，即， 解得，令，得，则， 所以点B到平面PAD的距离为：. 27．(1)证明:以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，．    由上可知，，，故，故． ，设直线到直线的距离为，则即为到直线的距离， 又，，， ， 则直线到直线的距离为． (2) 【详解】（1）略 （2）设平面的法向量为， 由（1）可知，，， 则即 令，则，所以． 设点到平面的距离为， ， 则点到平面的距离为． 28．(1)为线段的中点 (2)． 【详解】（1） 取的中点分别为，连接， 连接，而都经过正方体中心，两两相交，所以多边形为平面六边形，且边长相等，故为平面正六边形． 取的中点，记为，取的中点为，连接． ，，四边形为平行四边形，故， 面，面，面，故线段的中点满足题意． （2） 延长相交于，过作，交于，连接， 面，，为平面与平面夹角， 设正方体边长为2，则，，， 故，平面与平面夹角的余弦值为． 29．(1)取的中点F，连接，， 又为的中点，则，且， 又是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，且，， 则，，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)①由题意知，， 又是等边三角形，底面为直角梯形， 则，，所以，即， 又因为，且，所以平面， 又平面，故平面平面． ②取的中点，连接，，则，， 又平面平面，且平面平面，所以平面， 所以以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又， 则，，，，， 所以，，，， 因为点在直线上， 不妨设， 所以， 设是平面的法向量，则， 取，则，，即， 假设存在点，使得平面，则， 所以， 但此方程组无解，故不存在点，使得平面． 【详解】（1）略 （2）略 30．(1)证明：因为是正三角形，是的中点，    所以. 又因为平面平面， 平面， 所以面； (2) (3)存在，或 【详解】（1）略 （2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 设平面的法向量为， 由，得 ， 点到平面的距离 （3）设 所以点到面的距离为定值 . ， 解得：或. 31．(1) (2)存在， 【详解】（1）过作于，由于， 则，由于，且四边形是等腰梯形，所以， 在三角形中，由余弦定理可得， 所以，故， 以为坐标原点，，为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：    设，则，， 可得，，， 易知， 所以，， 设平面的法向量， 则，即，解得，令，则， 所以得. 设面的法向量，，， 则，即，解得，令，则； 所以得. 由几何体的特征可知二面角的平面角为锐角，设大小为， 所以， 即二面角的余弦值为. （2）由（1）知，又， 且，平面，所以平面， 由在线段上，设，；， 若平面， 则可知，即， 可得，解得，即； 所以 32．(1) 取中点，连接，   分别为的中点，且 ∵底面四边形是矩形，为棱的中点， 且．且，故四边形是平行四边形， ． 又平面，平面， 平面 (2)存在点，位于棱上靠近点的三等分点处，理由如下： 假设在棱上存在点满足题意， 在等边中，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 平面，    以点为原点，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 故，，． 设，． 设平面的一个法向量为， 则 ， 取得，， 则． 易知平面的一个法向量为，， ，. 故存在点，位于棱上靠近点的三等分点处满足题意. 【详解】（1）略 （2）略 33．(1) 以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，故EC⊥DF，EC⊥DA， ∵，平面ADF， 平面； (2) 设，则的坐标为， 设平面的法向量为， 则由，令，则， 则法向量， 平面与平面的夹角为，且平面的法向量为， ， ， ∴解得， 为线段上靠近的三等分点. 【详解】（1）略 （2）略 34．(1) (2)存在， 【详解】（1）如图所示，取中点，连结，， 因为三角形是等腰直角三角形，所以， 因为面面，面面面， 所以平面，又因为， 所以四边形是矩形，可得， 则， 建立如图所示的空间直角坐标系，则： 据此可得， 设平面的一个法向量为， 则，令可得， 从而，又， 故求点到平面的距离. （2）假设存在点，，满足题意， 点在线段上，则， 即：，，，，， 据此可得：，，从而，，，， 设与平面所成角所成的角为， 则， 整理可得：， 解得：或（舍去）. 据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即. 学科网（北京）股份有限公司 $