第3章 一元二次方程 单元测试 （提高卷） 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第3章　一元二次方程　单元测试卷（提高卷） （新湘教版九年级数学上册） 时间：120分钟　　满分：120分 姓名：__________　　班级：__________　　考号：__________ 注意事项： 1．本试卷共三大题24小题，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请将姓名、班级、考号填写在指定位置． 3．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若关于x的方程 是一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．−3 C．1或−3 D．−2 2．已知 、 是方程 的两根，则 的值为（　　） A．−4 B．−3 C．3 D．4 3．若实数x、y满足 ，则 的值为（　　） A．2 B．−1 C．2或−1 D．1 4．关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥−1 B．k＞−1 C．k≥−1且k≠0 D．k＞−1且k≠0 5．若一个一元二次方程的两个根之比为1∶2，则称这个方程为“倍根方程”．例如方程 就是“倍根方程”．若关于x的方程 是“倍根方程”，则m的值为（　　） A．1 B．4 C．1或4 D．2 6．若关于x的方程 有两个不相等的实数根，且这两个根之差的绝对值为4，则m的值为（　　） A．3 B．−3 C．1 D．−1 7．等腰三角形的两边长恰好是方程 的两个根，则它的周长为（　　） A．12 B．9 C．12或9 D．15 8．对于任意实数x，二次三项式 的值恒为正数，则m的取值范围是（　　） A．−6＜m＜2 B．−2＜m＜6 C．m＜−6或m＞2 D．−6≤m≤2 9．已知关于x的一元二次方程 的两个根都是正数，则下列结论正确的是（　　） A．p＞0，q＞0 B．p＜0，q＞0 C．p＜0，q＜0 D．p＞0，q＜0 10．已知直角三角形两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则该直角三角形斜边上的中线长为（　　） A． B．5 C． D．6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．用换元法解方程 ，则原方程的实数根为________． 12．已知关于x的方程 有两个实数根 、，且 ，则k＝________． 13．已知a是方程 的一个根，则 的值为________． 14．关于x的两个方程 与 有一个解相同，则a＝________． 15．某件商品原价为200元，经过连续两次降价后售价为128元，且每次降价的百分率相同，则这个百分率为________． 16．设α、β是方程 的两根，则 的值为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解下列方程： （1）（配方法）； （2）（换元法）； （3）． 18．（8分）已知关于x的方程 有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围；（2）当k取满足条件的最大整数时，求方程的根． 19．（8分）已知 、 是方程 的两个实数根，且 ． （1）求a的值及 、；（2）求 的值． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程 有实数根． （1）求实数k的取值范围；（2）方程的两个实数根分别为 、，若 ，求k的值． 21．（10分）如图，在长为40 m、宽为26 m的矩形场地上修筑三条同样宽的道路（两条纵向、一条横向，互相垂直），其余部分种花草，花草面积为 ．求道路的宽度． （第21题图） 22．（10分）已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为 、，若 ，求m的值；（3）若方程的两个根都是正数，求m的取值范围． 23．（10分）已知关于x的一元二次方程 ，其中k为整数． （1）求证：无论k取何整数，方程总有两个不相等的实数根；（2）当k取哪些整数值时，方程的两个根都是整数；（3）在（2）的条件下，若方程的两个根异号，求此时两根的平方和． 24．（10分）已知实数a满足 ，且a≠0． （1）求 的值；（2）求 的值；（3）求 的值；（4）求 的值；（5）求以 和 为两根的一个一元二次方程（二次项系数为1）． 第3章　一元二次方程　单元测试卷（提高卷） 参考答案与解析 一、选择题 1．【答案】B 【解析】∵方程是关于x的一元二次方程，∴二次项系数 ，且x的指数 ，解得 m=1 或 m=−3．又 m≠1，∴m=−3．故选B． 2．【答案】A 【解析】由根的定义，，∴．由根与系数的关系得 ，∴原式 ．故选A． 3．【答案】A 【解析】设 ．∵，∴原方程化为 ，解得 t=2 或 t=−1（舍去），∴．故选A． 4．【答案】C 【解析】∵方程是关于x的一元二次方程，∴k≠0．又方程有实数根，∴，解得 k≥−1．∴k≥−1且k≠0．故选C． 5．【答案】C 【解析】 可化为 ，∴方程的两根为2和m．若 ，则 m=4；若 ，则 m=1．∴m=1或m=4．故选C． 6．【答案】B 【解析】设两根为 、，则 ，．∵，∴，解得 m=−3．此时 ，方程有两个不相等的实数根，符合题意．故选B． 7．【答案】A 【解析】，即 ，解得 ，．若腰长为2、底边为5，∵2+2=4＜5，不能构成三角形，舍去；若腰长为5、底边为2，则周长为 5+5+2=12．故选A． 8．【答案】A 【解析】∵ 的值恒为正数，∴，即 ，∴，解得 ．故选A． 9．【答案】B 【解析】设两根为 、，且 ，．由根与系数的关系，，∴p＜0；，∴q＞0．故选B． 10．【答案】A 【解析】，即 ，∴两直角边的长为3和4，斜边长为 ．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得斜边上的中线长为 ．故选A． 二、填空题 11．【答案】， 【解析】设 ，则原方程化为 ，即 ，解得 ，．当 y=6 时，，解得 ，；当 y=−2 时，，，无实数根．∴原方程的实数根为 ，． 12．【答案】0 【解析】∵方程有两个实数根，∴，∴．由根与系数的关系，，，∴，整理得 ，解得 k=0 或 k=4．∵，∴k=0． 13．【答案】2 【解析】∵a是方程 的根，∴，且 a≠0．∴．由 两边同除以a，得 ，即 ，∴原式 ． 14．【答案】−5 【解析】，即 ，解得 ，．当 x=2 时，分母 ，分式无意义，∴相同的解只能是 ．把 代入 ，得 ，解得 a=−5．经检验，此时两个分母均不为0，符合题意．∴a=−5． 15．【答案】20% 【解析】设每次降价的百分率为x，由题意得 ，∴，∴（负值舍去），∴x=0.2=20%，即这个百分率为20%． 16．【答案】47 【解析】由根与系数的关系，，，∴，∴． 三、解答题 17．【答案】（1），；（2），，；（3），． 【解析】（1）移项，得 ；配方，得 ；开方，得 ，∴，．（3分） （2）设 ，则原方程化为 ，即 ，解得 ，．当 y=3 时，，解得 ，；当 y=−1 时，，即 ，解得 ．∴原方程的根为 ，，．（3分） （3）整理，得 ，即 ，解得 ，．（2分） 18．【答案】（1） 且 ；（2），． 【解析】（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴，且 ，解得 ．又 k≠1，∴k的取值范围是 且 ．（4分） （2）满足条件的最大整数为 k=0．此时方程为 ，即 ，解得 ，．（4分） 19．【答案】（1）a=−2，，；（2）． 【解析】（1）由根与系数的关系，．又 ，两式相减得 ，∴．∴．检验：当 a=−2 时，，方程有两个实数根，符合题意．（4分） （2）∵，即 ，∴． ∴原式 ．（4分） 20．【答案】（1）；（2）k=−3． 【解析】（1）∵方程 有实数根，∴，解得 ．（4分） （2）由根与系数的关系，，．∵，∴k=−3．经检验，，符合题意．∴k=−3．（4分） 21．【答案】道路的宽为3 m． 【解析】设道路的宽为x m．将三条道路分别平移到场地边缘，可得花草部分恰好拼成长为 m、宽为 m 的矩形，由题意得 ．（3分） 整理得 ，即 ，分解得 ，解得 ，．（4分） ∵x=43＞26，不符合题意，舍去，∴x=3．答：道路的宽为3 m．（3分） 22．【答案】（1）见解析；（2）m=2 或 m=−1；（3）m＞2． 【解析】（1），∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2分） （2）由根与系数的关系，，．∴，整理得 ，即 ，∴m=2 或 m=−1．（4分） （3）∵两个根都是正数，∴，且 ，即 ，且 ，解得 m＞2 或 m＜−1．取交集，得 m＞2．∴m的取值范围是 m＞2．（4分） 23．【答案】（1）见解析；（2）k=1 或 k=3；（3）5． 【解析】（1）．∵，∴，即 ，∴无论k取何整数，方程总有两个不相等的实数根．（3分） （2）当k为整数时，方程的两根为 ，∴两根都是整数等价于 为整数，即 为完全平方数．设 （n为正整数），则 ，∴．∵n＞|k−2|，∴两因式均为正数；又两因式之和 2n 为偶数，∴两因式同奇偶．由 8=2×4，得 ， 或 ，，解得 k=3 或 k=1（此时 均为偶数，两根必为整数）． 当 k=1 时，方程为 ，解得 ，；当 k=3 时，方程为 ，解得 ，．∴当 k=1 或 k=3 时，方程的两个根都是整数．（5分） （3）∵两个根异号，∴，∴k＜3．由（2）得 k=1，此时两根为 −2 和 1，∴两根的平方和为 ．（2分） 24．【答案】（1）5；（2）23；（3）110；（4）527；（5）． 【解析】（1）∵ 且 a≠0，∴两边同除以a，得 ，∴．（2分） （2）．（2分） （3）．（2分） （4）．（2分） （5）由（1）（2），所求方程的两根为5和23，∴两根之和为 ，两根之积为 ，∴所求的一元二次方程为 ．（2分） 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $