4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第2课时 等差数列前n项和的性质及应用 第四章　4.2.2　等差数列的前n项和公式 <<< 一、等差数列前n项和的性质 二、等差数列的奇(偶)项和问题 课时对点练 三、等差数列前n项和的实际应用 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和的性质 一 思考：将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？ 新知探究 则 Sn= An2 + Bn 令 性质1 数列{an}是等差数列Sn=An2+Bn (A,B为常数). 新知获得 1. 性质1： 数列{an}是等差数列 (A、B为常数, ) . 2. 性质2： 数列 是等差数列. (公差为 ) 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： Sn= An2 + Bn 7. 书P25 习题4.2 已知是等差数列的前项的和， (1) 证明数列也是等差数列； (2) 设 是的前项的和，若，，求 . 解法三： 练习 可以利用性质2 求解吗？ 书P21 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求S30. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，你能发现Sn与S2n的关系吗？ 问题1 S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n =Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd) =2Sn +n2d Sn与S3n的关系有是什么呢？ S3n=3Sn+3n2d 数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，… 公差为n2d的等差数列 性质3：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n， …也是等差数列，公差为n2d. 解法四： 练习 可以利用性质3 求解吗？ 书P21 例7 已知数列{an}是等差数列，若S10＝310，S20＝1220，求S30. 应用举例 自我评价 3. 等差数列{an}的前项的和为若， ，则（ ） A. B. C. D. 【解析】 所以 ， 利用等差数列的性质：、、也成等差数列. 即 ， 解得 . 练P23 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量较大. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 反 思 感 悟 11 等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12等于 A.12 B.18 C.24 D.30 根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列， 又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6， 则S9-S6=9，S12-S9=12， 则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30. 解析 跟踪训练1 √ 12 二 等差数列的奇(偶)项和问题 新知获得 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 4. 性质4：若项数为奇数2n-1项， ； 最中间一项 奇数项共项，偶数项共项，所以 证明： 奇项个数÷偶项个数 新知获得 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 4. 性质4：若项数为奇数2n-1项， S2n=n(an+an+1) ； 奇数项共项，偶数项共项，所以 证明： S2n-1=a1+a2+···+an-1+an+an+1+···+a2n-1 S2n=(a1+a2n-1)+(a2+a2n-2)···+(an-1+an+1)+an a1+a2n-1=a2+a2n-2=an-1+an+1=2an S2n=(2n-1) an 新知获得 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 4. 性质4：若项数为偶数2n项， S2n=n(an+an+1) ； 奇数项共项，偶数项共项，所以 证明： S2n=a1+a2+···+an+an+1+an+2+···+a2n S2n=(a1+a2n)+(a2+a2n-1)···+(an+an+1) a1+a2n=a2+a2n-1=an+an+1 S2n=n(an+an+1) 新知获得 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 4. 性质4：若项数为偶数2n项， ； 奇数项共项，偶数项共项，所以 证明： 奇项中间项÷偶项中间项 　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 例 2 方法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*). 根据题意，得 即 解 18 ∴ ∴首项为，项数为8. 解 　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 例 2 19 方法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*). 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇=(a1+a2k-1)=24，可得a1=. ∴首项为，项数为8. 解 　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 例 2 20 新知获得 5. 性质5： 等差数列{an}，其前n项的和为Sn，则有 等差数列前n项和的性质： 证明： 应用举例 解： . 变式 设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn， 若 ，求 的值. 性质5：已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则， 　(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且= (n=1，2，…)，则+等于 A. B. C. D. 例 1 √ 23 解决等差数列奇(偶)项和的问题关键在于准确找到公式中的n. 反 思 感 悟 24 等差数列前n项和的实际应用 三 提示　我们学校会议室里的一排排座位的总和；超市里有规律摆放的水果的总和；工地上的一堆钢管的总和等. 请同学们围绕身边的相关生活背景，发挥智慧，命制一个等差数列求和的应用题. 问题2 　(课本例8)某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位. 例 3 设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数 列，且S20=800.由S20=20a1+×2=800，可得a1=21. 因此，第1排应安排21个座位. 解 27 　某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元. (1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ 例 3 设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 共12n+4×=(2n2+10n)万元， 因此利润y=50n-(72+2n2+10n) =-2n2+40n-72， 令y>0，解得2<n<18， 因为n∈N*，所以从第3年起开始获取纯利润. 解 28 年平均获利为 ==-+40， 因为2n+≥2=24， 所以-+40≤-24+40=16， 当且仅当2n=，即n=6时，取等号， 所以应在第6年转投其他项目. 解 (2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 29 (1)与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列. (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，抽象出数列的模型，并用有关知识解决相关的问题，是数学建模的核心素养的体现. 反 思 感 悟 30 某仓库有600根同一型号的钢管，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层应放几根？共堆了多少层？ 跟踪训练3 31 设最下面一层放n根，则最多可堆n层，共堆放根数1+2+3+…+n= ≥600， 整理得n2+n-1 200≥0，令f(n)=n2+n-1 200， 当n∈N*时，f(n)单调递增，而f(35)=60>0，f(34)=-10<0， 因此n≥35，即最下面一层最少放35根，而1+2+3+…+35=630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1+2+3+…+7=28(根)， 再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层. 所以最下面一层应放35根，共堆了28层. 解 32 1.知识清单： (1)等差数列前n项和性质的应用. (2)等差数列奇(偶)项和的问题. (3)等差数列前n项和的实际应用. 2.方法归纳：公式法、构造法、整体代换法. 3.常见误区： (1)等差数列奇(偶)项和的问题，n的取值易出错. (2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列. 课堂小结 ∴eq \f(S10,10)，eq \f(S20,20)，eq \f(S30,30)成等差数列， ∴eq \f(S10,10)＋eq \f(S30,30)＝2×eq \f(S20,20)， ∴S30＝30× ＝30×(122－31)＝2 730. ∵ 是等差数列， ∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列， ∵数列{an}为等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)， 即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220， ∴S30＝2 730. $