4.3.1第1课时 等比数列的概念及通项公式 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第1课时 等比数列的概念及通项公式 第四章　4.3.1　等比数列的概念 <<< 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并理解其与函数的关系.(重点) 4.正确判断并证明一个数列是等比数列.(难点) 学习目标 国际象棋起源于古印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么.发明者说：“请在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒麦子，第三个格子上放4粒麦子，第四个格子上放8粒麦子……即从第二个格子起，每一个格子中放的麦粒数目都必须是前一个格子中麦粒数目的两倍，直到最后一个格子第64格放完为止，这样我就十分满足了.” 国王一听，觉得这要求太简单了，欣然答应。可当大臣开始计算时，却发现……整个国家的麦子都不够用！ 新课引入 思考 为什么整个国家的麦子都不够用，第64个格子里到底需要多少粒麦子？ 追问1 ，这个故事中，每个格子的麦粒数有什么样的规律？ 等比数列 等比数列的有关概念 一 情境1：两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： ，， ，，， 情境2：《庄子 • 天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第一天开 始，各天得到的“棰”的长度依次是 思考：观察以上三个数列能发现什么规律? 新知讲解 问题1 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数. 等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一项的 都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母q表示(显然q≠0). 2 前 比 同一个 公比 等比数列的递推公式 知识梳理 　判断下列数列是不是等比数列，如果是，写出它的公比. (1)1，，，，，…； 例 1 不是等比数列； 解 (2)，，，，…； 是等比数列，公比为； 解 验证，…是否等于同一常数. 7 (3)1，0，1，0，1，0，…； 不是等比数列； 解 (4)1，-4，16，-64，256，…. 是等比数列，公比为-4. 解 等比数列中任意一项都不能为0. 8 (多选)以下条件中，不能判定数列是等比数列的有 A.数列1，2，6，18，… B.数列{an}满足=2，=2 C.常数列a，a，…，a，… D.数列{an}中，=q(q≠0)，其中n∈N* 跟踪训练1 √ √ √ A中，≠，不符合等比数列的定义，故不是等比数列； B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列； C中，当a=0时，不是等比数列； D中，符合等比数列的定义，是等比数列. 解析 9 二 等比中项 若a，G，b成等比数列，那么a，b与G有什么关系？ 问题2 G2=ab 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，此时， . 等比中项 G2=ab 若G2=ab，则a，G，b成等比数列吗？ 追问1 若G2=ab，则a，G，b不一定成等比数列 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的 ，此时， . 等比中项 G2=ab 是不是任意两个实数都有等比中项？如果有，等比中项有几个？ 追问2 （1）只有同号的两个实数才有等比中项. （2）若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数. 　 -2和+2的等差中项与等比中项分别为 A.，±2 B.2，± C.，±1 D.1，± 例 2 √ -2和+2的等差中项为 =， -2和+2的等比中项为 ±=±1. 解析 13 在等差数列{an}中，a3=0.如果ak是a6与ak+6的等比中项，那么k=　. 跟踪训练2 设等差数列{an}的公差为d，由题意得a3=a1+2d=0，∴a1=-2d.又∵ak是a6与ak+6的等比中项，∴=a6ak+6，即[a1+(k-1)d]2=(a1+5d)·[a1+(k+5)d]，即[(k-3)d]2=3d·(k+3)d，解得k=9或k=0(舍去). 解析 9 14 等比数列的通项公式 三 类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题3 迭 代 法 累乘 法 a2= a1q a3= a2q = a1q2 a4= a3q= a1q3 an= a1qn-1 (n≥2). n=1 时也成立 an= a1qn-1 (n∈N*) 提示　由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即an=f(n). 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题4 1.首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an= . 2.等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值，即 . (2)任给函数f(x)=kax(k，a为常数，k≠0，a>0，且a≠1)，则f(1)=ka，f(2)=ka2，…，f(n)=kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . a1qn-1 an=f(n) ka a 知识梳理 等比数列的通项公式的函数性质 思考   单调递减 单调递增 单调递减 单调递增 不变 指数函数的单调性 等比数列的单调性 等比数列的单调性 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 不变 不变 an=a1qn-1=·qn 当q<0时，数列{an}为摆动数列 　(课本例1)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 例 3 法1: 作比消元 是和的等比中项 法2: 的第5项是24或-24 20 方法一　由a4=48，a6=12，得 ②的两边分别除以①的两边，得q2=. 解得q=或-. 把q=代入①，得a1=384. 此时a5=a1q4=384×=24. 解 　(课本例1)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 例 3 把q=-代入①，得a1=-384. 此时a5=a1q4=-384×=-24. 因此，{an}的第5项是24或-24. 21 方法二　因为a5是a4与a6的等比中项，所以=a4a6=48×12=576. 所以a5=±=±24. 因此，{an}的第5项是24或-24. 解 　(课本例1)若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项. 例 3 22 　在等比数列{an}中： (1)a1=1，a4=8，求an； 例 3 设{an}的公比为q，因为a4=a1q3， 所以8=q3，所以q=2，所以an=a1qn-1=2n-1. 解 (2)a4=625，q=5，求a1； a1===5，故a1=5. 解 23 (3)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n. 设{an}的公比为q， 因为 由，得q=，从而a1=32. 又an=1，所以32×=1， 即26-n=20，故n=6. 解 24 等比数列的判定与证明 四 　(课本例5)已知数列{an}的首项a1=3. (1)若{an}为等差数列，公差d=2，证明数列{}为等比数列； 例 4 由a1=3，d=2，得{an}的通项公式为an=2n+1. 设bn===9. 又b1=33=27， 所以{}是以27为首项，9为公比的等比数列. 证明 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：= (n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). q 26 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：= (n∈N*且n≥2，q为不为0的常数). (2)等比中项法：=_______(n∈N*且n≥2，an≠0). (3)通项公式法：an=______=·qn=A·qn(A≠0). q an-1an+1 a1qn-1 知识梳理 (2)若{an}为等比数列，公比q=，证明数列{log3an}为等差数列. 由a1=3，q=，得an=3×=33-2n. 两边取以3为底的对数，得log3an=log333-2n=3-2n. 所以log3an+1-log3an=[3-2(n+1)]-(3-2n)=-2. 又log3a1=log33=1， 所以{log3an}是首项为1，公差为-2的等差数列. 证明 28 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(an-1)(n∈N*). (1)求a1，a2； 例 4 由S1=(a1-1)，得a1=(a1-1)， 所以a1=-. 又S2=(a2-1)，即a1+a2=(a2-1)，得a2=. 解 29 (2)求证：数列{an}是等比数列. 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1)， 得=-.又a1=-， 所以{an}是首项为-，公比为-的等比数列. 证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=(an-1)(n∈N*). 30 【练习】已知数列满足，. 记.证明：数列是等比数列，并求通项公式. 判断一个数列是等比数列需注意 (1)证明{an}为等比数列常用定义法. (2)用定义法证明时，中的n的范围不同. 反 思 感 悟 32 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3，…).证明：数列是等比数列. 跟踪训练4 由a1=1，an+1=Sn，得an>0，Sn>0. 由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn， 得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)， 整理，得nSn+1=2(n+1)Sn， 所以=2·=2. 因为==1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 证明 33 1.知识清单： (1)等比数列的概念. (2)等比中项的概念. (3)等比数列的通项公式及其与函数的关系. (4)等比数列的判定与证明. 2.方法归纳：方程(组)思想、累乘法、迭代法、构造法. 3.常见误区：(1)x，G，y成等比数列⇒G2=xy，但G2=xy x，G，y成等比数列. (2)用定义法证明一个数列是等比数列时，忽略中的n的范围不同. 课堂小结 类比指数函数的性质，说说公比的等比数列的单调性． $