重难点02 特殊平行四边形压轴综合（单元复习、期中复习）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点02 特殊平行四边形压轴综合 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、基础性质、判定（压轴取用条件，总结版） 2 知识点二、压轴五大核心题型 3 知识点三、压轴通用倒角&计算工具 4 知识点四、答题规范与易错警示（扣分点） 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 中点四边形】 5 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 13 【题型3 特殊平行四边形折叠综合问题】 19 【题型4 四边形中线段最值问题】 28 【题型5 四边形中的存在性问题】 38 【题型6 特殊平行四边形与旋转、全等综合问题】 49 【题型7 多结论选择综合题】 60 【题型8 四边形大综合压轴】 68 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 83 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 106 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・菱形、矩形、正方形性质与判定的综合运用，线段、角度、面积的转化计算； ・特殊四边形结合折叠、动点、旋转，构造全等、利用勾股定理求解； ・特殊四边形与坐标系结合，坐标、线段、面积联动计算； ・线段最值、面积最值在特殊四边形背景下的探究； ・多情况分类讨论，图形位置变化带来的多解问题。 ・一般放在试卷压轴小问或者解答最后一题，综合性强； ・常以动点、折叠、旋转为载体，嵌套菱形、矩形、正方形变换； ・频繁考查分类讨论，容易设置多解陷阱； ・常结合全等三角形，少数搭配相似，求解线段关系、面积关系式； ・设问层层递进，第一问基础证明，后面逐步升级为计算、探究、最值。 考情解码： ・易错集中在：动态图形不会画出符合题意的多种情况，漏解； ・折叠、旋转后找不到不变量，不能锁定相等线段与等角； ・不会在复杂图形里剥离出直角三角形，难以使用勾股列式； ・最值问题不会转化为将军饮马等基础模型； ・步骤书写逻辑断层，分类讨论缺少必要说明； ・本板块是几何最难一档题型，是区分高分段学生的核心压轴板块。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、基础性质、判定（压轴取用条件，总结版） （一）矩形 性质：四角90°，对边平行相等；对角线相等且互相平分；推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 判定（大题选用优先级）： 1. 平行四边形 + 一个内角是直角 2. 平行四边形 + 对角线相等 3. 四边形有三个内角为直角 提示：对角线相等的四边形≠矩形，必须先平分 （二）菱形 性质：四条边相等，对边平行；对角线垂直平分，平分一组对角；面积两公式：底×高； （2条对角线） 判定： 1. 平行四边形 + 一组邻边相等 2. 平行四边形 + 对角线互相垂直 3. 四条边都相等的四边形 提示：对角线垂直的四边形≠菱形，必须先平分；60°菱形自带等边三角形，高频考点 （三）正方形 性质：同时具备矩形、菱形全部性质；对角线相等、垂直、平分，对角线平分内角得45°角 判定路径（二选一写大题） （1）矩形 + 邻边相等 / 矩形 + 对角线互相垂直 （2）菱形 + 一个直角 / 菱形 + 对角线相等 易错：对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形 知识点二、压轴五大核心题型 题型1：折叠综合（最高频） 本质：轴对称变换 核心结论：折痕为对称轴；对应边相等、对应角相等；折叠前后全等；对称点连线被折痕垂直平分 常用手段：设未知数，在直角三角形中勾股定理列方程 常见考法：矩形折叠落边上、落对角线上；正方形折叠；折叠后证特殊四边形、求折痕长 坑点：多位置折叠要分类讨论；不要默认落点唯一。 题型2：旋转+全等综合 菱形、正方形最适合旋转（邻边相等） 1. 正方形旋转：旋转90°，出全等三角形，实现线段转移、角度转移 2. 60°菱形旋转：旋转60°，构造等边三角形 经典模型 ✅ 正方形K型（三垂直全等）：过顶点直线，向外作垂线，一组Rt△全等，边角互转 ✅ 正方形半角模型：正方形ABCD，E在BC，F在CD，∠ EAF=45°，结论：EF=BE+DF；△CEF周长=2倍边长；方法：旋转△ADF至△ABE构造全等 解题逻辑：看到共顶点等线段，优先旋转构造全等，转移线段 题型3：动点问题（单动点、双动点，常设时间t） 通用步骤 1. 确定动点运动范围，写出t的取值范围；动点跨边要分段讨论 2. 用含t的代数式表示相关线段长度 3. 根据条件列等式求解 4. 检验解是否在t有效范围内，舍去不合理解 设问方向 ：① 某图形为矩形/菱形； ② 三角形为等腰三角形、直角三角形（必考分类） · 等腰：分三条边两两相等三种情况 · 直角：分三个顶点分别为直角顶点三种情况 ③ 面积表达式、面积定值、面积最值（将军饮马、垂线段最短） 题型4：存在性问题（本专题难点） 固定设问：是否存在点P，使以A,B,C),P为顶点的四边形是矩形/菱形/正方形 关键提醒：四点无固定顺序，必须按对角线配对分类，一共3种配对 已知三点A,B,C： ① AB为对角线；② AC为对角线；③ BC为对角线 方法分两类 1. 无坐标系（纯几何）：利用特殊四边形性质（对边平行相等、对角线垂直/相等） 2. 平面直角坐标系：中点法（平行四边形基础：对角线中点重合），再叠加矩形（对角线等）、菱形（对角线垂直）条件 检验：排除四点共线的无效解 题型5：多结论选择（填空压轴） 给复杂图形+多个结论，判断对错 常考方向：线段相等、角度相等、垂直、面积关系、特殊四边形判定、半角/三垂直衍生结论 技巧：优先标记等角等边，用全等推导；举反例快速排除错误结论 知识点三、压轴通用倒角&计算工具 1. 平行线：内错角相等、同旁内角互补 2. 互余倒角：直角背景，同角/等角的余角相等（K型全等核心） 3. 勾股定理：求边长、折叠方程主力 4. 斜边中线：看到直角三角形+中点优先使用 5. 等边三角形：菱形有60°必用，三边等，三角60° 知识点四、答题规范与易错警示（扣分点） 1. 判定特殊四边形，尽量先证平行四边形，再加一个条件，跳步容易扣分； 2. “对角线垂直且相等”不能直接判正方形； 3. 动点不写t范围、求出解不检验； 4. 存在性直接默认点顺序，漏分类； 5. 半角模型不能直接背结论，大题必须写旋转全等证明； 6. 折叠不要想当然认为落点只有一种位置。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 中点四边形】 【例1】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．      【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【性质探究】 (2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且． 【拓展应用】 (3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点． ①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ②若线段的长为，请直接写出的最小值． 【变式1-1】在菱形中，E、F、G、H分别是各边的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式1-2】阅读材料：在凸四边形中，顺次连结它四条边的中点，所构成的四边形称为该四边形的中点四边形．结论：若一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形           B．矩形              C．菱形                D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点 ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值（用含m的式子表示）． 【变式1-3】阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．   关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： (1)填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． (2)如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． (3)顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 【例2】如图，四边形是菱形，，对角线与交于点O，对角线上有两动点M，N，动点M从点B向点D运动，动点N从点D向点B运动，速度均为，连接．若运动时间为，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【变式2-1】如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动． (1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形； (2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？ 【变式2-2】如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)______________；______________（用含的代数式表示）； (2)当四边形为矩形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-3】如图，在梯形中，，，于点，，，，从初始时刻开始，动点，分别从，同时出发，运动速度均为，动点沿的方向运动，到点停止；动点沿的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为．（此题规定：线段是面积为0的三角形） 解答下列问题： (1)当时，________；当时，________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当动点在线段上运动时，求出当时x的值． 【题型3 特殊平行四边形折叠综合问题】 【例3】如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【变式3-1】在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，点落在点处．当为直角三角形时，求的长． 【变式3-3】已知长方形中，，点为边上一动点，沿所在直线将进行折叠得到． (1)如图1，若点与点重合，交边于点，证明：； (2)如图2，连接并延长交边于点，当时，求的长； (3)连接，在点运动过程中，若面积为4时，求的长． 【题型4 四边形中线段最值问题】 【例4】【问题探究】 (1)如图1，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若，求的最大值； 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为200元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 【变式4-1】如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：； (2)求的最小值． 【变式4-2】如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，． (1)如图1，当四边形为菱形时，求长； (2)如图2，①在运动过程中，线段的长度是否不变，若不变，求出该定值；若改变，请说明理由； ②在运动过程中，四边形的周长是否有最小值，如果有，求出当四边形的周长最小时，线段的长． 【变式4-3】【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【题型5 四边形中的存在性问题】 【例5】如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为，与相交于点，连结．设运动时间为．解答下列问题： (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)设四边形的而积为，求与之间的关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式5-2】已知：如图，矩形中和中，点在上，， ，，连接，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作交于点，交于点．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，作交于，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】综合与探究 【问题】王老师给了一个思考题：如图（1），E、F分别是正方形 ABCD的边 BC、CD 上的动点，∠EAF=45°连接EF，求证：EF=BE+DF． 思考后，王老师归纳了思路：可将△ADF 绕A点顺时针旋转90°到△ABG的位置，如图（2），这时，易知 C、B、G在同一直线上，△ADF≌△ABG，BG=DF，可证△AEF≌△AEG，所以，EF=EG=BE+BG=BE+DF．最后，王老师希望同学们进一步研究． 【探索研究】研究后，小明发现原题条件核心有：AB=AD，∠EAF=∠BAD，对角∠ABC和∠ADC互补．于是将问题演变为：如图（3），等边三角形 ABM中，AB=4，将AM沿 BM方向平移到 CD，使 CM=BM，连接AD，E 是线段 BM上一个动点（不与B、M重合）， 连接AE，并在AE 右侧作正△AEN，延长 AN交直线CD于F，连接EF． (1)探索是否仍存在关系：EF=BE+DF？若存在，请证明；若不存在，请说明理由． (2)连接CN，E点运动中，何时CN最短？并求CN 的最小值． 【题型6 特殊平行四边形与旋转、全等综合问题】 【例6】我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 【变式6-1】已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 【变式6-2】情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【变式6-3】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【题型7 多结论选择综合题】 【例7】如图，在中，，平分交于点，平分交于点，相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的是（     ） ①若，则；②；③；④． A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．②③ 【变式7-1】如图，正方形的边长为2，是对角线，延长到H，使，于点G，交于点E，连接交于点F，连接，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的序号有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-2】如图，在正方形中，为边上的点，过点作，交于点，分别作点和点关于的对称点点和点，得到四边形．下面两名同学的结论正确的是（    ） 嘉嘉：四边形的周长为定值． 淇淇：和的交点在上． A．嘉嘉的结论 B．淇淇的结论 C．两人的结论都正确 D．两人的结论都不正确 【变式7-3】如图，已知正方形的边长为2，E是边的中点，F是边上一点，连接，，，平分，P是对角线上一动点，连接，．下列结论：①；②；③为直角三角形；④的最小值为．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型8 四边形大综合压轴】 【例8】综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． (1)【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 【变式8-1】已知O为直线上一点，，在等腰中，，交于C，D为的中点，交于E． (1)如图1，若点B在上，则 ① （填“＜”，“＝”或“＞”）； ②线段满足的等量关系式是 ； (2)将图1中的等腰绕O点顺时针旋转，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由； (3)将图1中的等腰绕O点顺时针旋转，请你在图3中画出图形，并直接写出线段满足的等量关系式 ． 【变式8-2】如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角平分线于点F． (1)求证：． (2)当点E在边上运动，（不与B、C重合），其余条件不变，是否还成立，若成立，请你给予证明，若不成立，请说明理由． (3)若点E在边延长线上的一点，其余条件不变，请你在图3中画出图形，并思考结论是否成立？若成立，请你证明，若不成立，请你说明理由． 【变式8-3】解答： (1)问题情境：如图1，已知正方形，点E在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的关系为_____． (2)继续探究：如图2所示，已知正方形，点E是线段上的一点，以为边在的右侧作正方形，连接、．问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展应用：若正方形的边长为3，点E是直线上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、、，若，画出图形，并直接写出长． 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1.在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点． (1)如图，连接，作射线交射线于点． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②判断线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 2．综合与探究：如图1，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的数量关系呢？ 【问题解决】 (1)为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到，使，连接、… 请你顺着小明的思路写出完整的解答过程； 【结论应用】 (2)如图3，在中，，点为的中点，点在上，若，求证：； 【拓展提升】 (3)如图4，点为正方形的边上一点，点为的中点，以、为边在的右侧作平行四边形．若，，则四边形的面积为（直接写出结果）． 3．综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 4【综合探究】 【学习新知】定义：过三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则称这个三角形为“双等腰三角形”，这条直线称为该三角形的“双等腰分割线”．如图1，直线将分割成两个三角形和都是等腰三角形（，），所以是“双等腰三角形”，直线是的“双等腰分割线”． (1)【理解应用】学习了上面新定义后，小明说等边三角形是“双等腰三角形”，小华说等腰直角三角形是“双等腰三角形”；下列说法正确的是（     ） A．小明的说法正确        B．小华的说法正确 C．小明和小华的说法都正确    D．小明和小华的说法都不正确． (2)【问题解决】老师提问：直角三角形是不是“双等腰三角形”？ 小芳同学是这样思考的：如图2，在中，，作边的垂直平分线交斜边于点，交于，连，……所以，是“双等腰三角形”，是的“双等腰分割线”． ①小芳的结论正确吗？请说明理由． ②若，，，由上面的推理可知，的周长等于________． (3)【拓展提升】已知，中，，若是“双等腰三角形”，且是的“双等腰分割线”．请直接写出的度数________． 5．探究下列问题： (1)如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； (2)如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：； (3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在四边形中，，，，是线段上一点，且，，，求线段的长度． 6．已知：四边形中，，，，，点E为的延长线上一动点，交于点F． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，于点H，交于点G，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，点Q是线段的中点，若，，直接写出线段的最小值． 7．如图1，在正方形中，点E，F分别是上的点，且，连接，过点E作，使，连接． (1)判断：与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　； (2)如图2，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ 请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边延长线上的点，正方形的边长为， ，其他条件不变，求四边形的面积．（用含a的式子表示） 8．数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等腰直角三角形中，，点D在边上，以为斜边在下方作等腰直角三角形，绕点B在平面内旋转、连接，取的中点O，连接，． 【特例感知】 (1)当点E在边上时，与的数量关系是 ，位置关系是 ． 【深入探究】 在旋转过程中，同学们发现（1）中的结论仍然成立，同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：取的中点M，的中点N，连接，，，…… (2)请你将同学们的解题过程补充完整． 【拓展应用】 (3)连接，若，将绕点旋转一周，当A，D，E三点共线时，请直接写出线段的长． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 107 页 第 1 页 共 107 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 单元复习、期中期末复习 重难点02 特殊平行四边形压轴综合 （新教材北师大版） 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 2 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 2 知识点一、基础性质、判定（压轴取用条件，总结版） 2 知识点二、压轴五大核心题型 3 知识点三、压轴通用倒角&计算工具 4 知识点四、答题规范与易错警示（扣分点） 5 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 5 【题型1 中点四边形】 5 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 13 【题型3 特殊平行四边形折叠综合问题】 19 【题型4 四边形中线段最值问题】 28 【题型5 四边形中的存在性问题】 38 【题型6 特殊平行四边形与旋转、全等综合问题】 49 【题型7 多结论选择综合题】 60 【题型8 四边形大综合压轴】 68 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 83 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 106 01 考情分析 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 常考考点 命题风向 ・菱形、矩形、正方形性质与判定的综合运用，线段、角度、面积的转化计算； ・特殊四边形结合折叠、动点、旋转，构造全等、利用勾股定理求解； ・特殊四边形与坐标系结合，坐标、线段、面积联动计算； ・线段最值、面积最值在特殊四边形背景下的探究； ・多情况分类讨论，图形位置变化带来的多解问题。 ・一般放在试卷压轴小问或者解答最后一题，综合性强； ・常以动点、折叠、旋转为载体，嵌套菱形、矩形、正方形变换； ・频繁考查分类讨论，容易设置多解陷阱； ・常结合全等三角形，少数搭配相似，求解线段关系、面积关系式； ・设问层层递进，第一问基础证明，后面逐步升级为计算、探究、最值。 考情解码： ・易错集中在：动态图形不会画出符合题意的多种情况，漏解； ・折叠、旋转后找不到不变量，不能锁定相等线段与等角； ・不会在复杂图形里剥离出直角三角形，难以使用勾股列式； ・最值问题不会转化为将军饮马等基础模型； ・步骤书写逻辑断层，分类讨论缺少必要说明； ・本板块是几何最难一档题型，是区分高分段学生的核心压轴板块。 02 知识回顾 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一、基础性质、判定（压轴取用条件，总结版） （一）矩形 性质：四角90°，对边平行相等；对角线相等且互相平分；推论：直角三角形斜边中线等于斜边的一半 判定（大题选用优先级）： 1. 平行四边形 + 一个内角是直角 2. 平行四边形 + 对角线相等 3. 四边形有三个内角为直角 提示：对角线相等的四边形≠矩形，必须先平分 （二）菱形 性质：四条边相等，对边平行；对角线垂直平分，平分一组对角；面积两公式：底×高； （2条对角线） 判定： 1. 平行四边形 + 一组邻边相等 2. 平行四边形 + 对角线互相垂直 3. 四条边都相等的四边形 提示：对角线垂直的四边形≠菱形，必须先平分；60°菱形自带等边三角形，高频考点 （三）正方形 性质：同时具备矩形、菱形全部性质；对角线相等、垂直、平分，对角线平分内角得45°角 判定路径（二选一写大题） （1）矩形 + 邻边相等 / 矩形 + 对角线互相垂直 （2）菱形 + 一个直角 / 菱形 + 对角线相等 易错：对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形 知识点二、压轴五大核心题型 题型1：折叠综合（最高频） 本质：轴对称变换 核心结论：折痕为对称轴；对应边相等、对应角相等；折叠前后全等；对称点连线被折痕垂直平分 常用手段：设未知数，在直角三角形中勾股定理列方程 常见考法：矩形折叠落边上、落对角线上；正方形折叠；折叠后证特殊四边形、求折痕长 坑点：多位置折叠要分类讨论；不要默认落点唯一。 题型2：旋转+全等综合 菱形、正方形最适合旋转（邻边相等） 1. 正方形旋转：旋转90°，出全等三角形，实现线段转移、角度转移 2. 60°菱形旋转：旋转60°，构造等边三角形 经典模型 ✅ 正方形K型（三垂直全等）：过顶点直线，向外作垂线，一组Rt△全等，边角互转 ✅ 正方形半角模型：正方形ABCD，E在BC，F在CD，∠ EAF=45°，结论：EF=BE+DF；△CEF周长=2倍边长；方法：旋转△ADF至△ABE构造全等 解题逻辑：看到共顶点等线段，优先旋转构造全等，转移线段 题型3：动点问题（单动点、双动点，常设时间t） 通用步骤 1. 确定动点运动范围，写出t的取值范围；动点跨边要分段讨论 2. 用含t的代数式表示相关线段长度 3. 根据条件列等式求解 4. 检验解是否在t有效范围内，舍去不合理解 设问方向 ：① 某图形为矩形/菱形； ② 三角形为等腰三角形、直角三角形（必考分类） · 等腰：分三条边两两相等三种情况 · 直角：分三个顶点分别为直角顶点三种情况 ③ 面积表达式、面积定值、面积最值（将军饮马、垂线段最短） 题型4：存在性问题（本专题难点） 固定设问：是否存在点P，使以A,B,C),P为顶点的四边形是矩形/菱形/正方形 关键提醒：四点无固定顺序，必须按对角线配对分类，一共3种配对 已知三点A,B,C： ① AB为对角线；② AC为对角线；③ BC为对角线 方法分两类 1. 无坐标系（纯几何）：利用特殊四边形性质（对边平行相等、对角线垂直/相等） 2. 平面直角坐标系：中点法（平行四边形基础：对角线中点重合），再叠加矩形（对角线等）、菱形（对角线垂直）条件 检验：排除四点共线的无效解 题型5：多结论选择（填空压轴） 给复杂图形+多个结论，判断对错 常考方向：线段相等、角度相等、垂直、面积关系、特殊四边形判定、半角/三垂直衍生结论 技巧：优先标记等角等边，用全等推导；举反例快速排除错误结论 知识点三、压轴通用倒角&计算工具 1. 平行线：内错角相等、同旁内角互补 2. 互余倒角：直角背景，同角/等角的余角相等（K型全等核心） 3. 勾股定理：求边长、折叠方程主力 4. 斜边中线：看到直角三角形+中点优先使用 5. 等边三角形：菱形有60°必用，三边等，三角60° 知识点四、答题规范与易错警示（扣分点） 1. 判定特殊四边形，尽量先证平行四边形，再加一个条件，跳步容易扣分； 2. “对角线垂直且相等”不能直接判正方形； 3. 动点不写t范围、求出解不检验； 4. 存在性直接默认点顺序，漏分类； 5. 半角模型不能直接背结论，大题必须写旋转全等证明； 6. 折叠不要想当然认为落点只有一种位置。 03 典型例题 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 【题型1 中点四边形】 【例1】定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．      【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【性质探究】 (2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且． 【拓展应用】 (3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点． ①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ②若线段的长为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)④ (2)证明：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，； (3)解：①．（或．） 理由如下：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ． ，分别是，的中点， ， ．（或）； ② 【分析】（1）根据当原四边形对角线互相垂直且相等时得到的四边形是正方形分析即可； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）①由题意得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2）略 （3）解：①略； ②连接、； 由①可知，． 当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形， ， ，， ， ∵，分别是，的中点， ∴，， ， 的最小值， 即时，最小，即最小； ∵线段的长度为6， ∴， ∴． 【变式1-1】在菱形中，E、F、G、H分别是各边的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是矩形．证明：连接菱形对角线、． ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可得：；． ， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是菱形， ． 又， ，即． 有一个角是直角的平行四边形是矩形， ∴平行四边形是矩形． 【分析】利用三角形中位线定理，证明四边形一组对边平行且相等，先证它是平行四边形；再根据菱形对角线互相垂直的性质，推出平行四边形有一个内角为，从而判定该四边形为矩形． 【详解】略． 【变式1-2】阅读材料：在凸四边形中，顺次连结它四条边的中点，所构成的四边形称为该四边形的中点四边形．结论：若一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形． (1)初步理解：下列四边形的中点四边形一定是正方形的是_______； A．平行四边形           B．矩形              C．菱形                D．正方形 (2)拓展运用：如图1，为锐角三角形，以的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，判断四边形的中点四边形的形状，并说明理由． (3)素养提升：如图2，四边形中，，，M、N分别为的中点 ①探究与的数量关系，并证明． ②若，求的最小值（用含m的式子表示）． 【答案】(1)D (2)解：四边形的中点四边形是正方形， 理由：如图，设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K  ， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， ， ∴， 在和中 ， ，   ∴， ∴， ∴， ∴，   ∵， ∴四边形中点四边形是正方形； (3)解：①，证明如下： 如图，记、的中点分别为E、F，连接 ∵四边形中，， ∴四边形中点四边形是正方形，即四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵M，F分别是，的中点， ∴， ∴； ② 【分析】（1）根据各四边形的对角线的性质，进行判断即可； （2）设四边形的边的中点分别为M、N、R、L，连接交于P，连接交于K  ，证明，推出 四边形的对角线相等且平分，即可得证； （3）①记、的中点分别为E、F，连接，易得四边形是正方形，由勾股定理得到，再根据三角形中位线定理即可得出结论；②易得当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长，根据三角形中位线定理得到的最小值，利用①中结论进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，一个凸四边形的两条对角线互相垂直且相等，则它的中点四边形是正方形， 在平行四边形，矩形，菱形和正方形中，只有正方形的对角线互相垂直且相等， 故四边形的中点四边形一定是正方形的是正方形； （2）略 （3）解：①略 ②如图，设交于点O，连接、、，则， ∴当点O在上（即E、O、F共线）时，最小，最小值为的长， ∴的最小值， ∵，即， ∴都是直角三角形， ∵E、F分别为的中点， ∴， ∴， ∴的最小值， ∵四边形是正方形， ∴； ∴的最小值， 由①知， 又∵， ∴，即， ∴的最小值为. 【变式1-3】阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．   关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： (1)填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． (2)如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． (3)顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)证明：∵E，H分别为AB，AD的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形是菱形． (3)且． 【分析】（1）根据上下文判断依据即可； （2）利用中位线的性质定义判定四边形是平行四边形，继而通过证明邻边相等证明瓦里尼翁四边形是菱形； （3）结合（2）可知只需在的条件下，增加一个条件，使得瓦里尼翁四边形是矩形即可，根据中位线定理可知增加的条件可以是． 【详解】（1）材料中的依据是指：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．依据是指：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）略 （3）且，理由如下： 由（2）可知：当时，瓦里尼翁四边形是菱形， 同理可得：，， 又∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形为正方形， 即要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是且． 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 【例2】如图，四边形是菱形，，对角线与交于点O，对角线上有两动点M，N，动点M从点B向点D运动，动点N从点D向点B运动，速度均为，连接．若运动时间为，当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】解：四边形是正方形．理由如下： ∵四边形是菱形， ，，， 由题意得， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 在中，， ∴， ， ， ， 四边形是正方形． 【分析】根据题意可得，结合菱形的性质可得，再由，可得四边形是菱形，然后根据勾股定理可得，即可解答． 【详解】略 【变式2-1】如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动． (1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形； (2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1)证明：连接、、、，如下图所示， 设时间为t，则， 四边形是平行四边形， ，， ， 即， 又， 四边形是平行四边形． (2)当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形． 【分析】（1）平行四边形的对角线互相平分，得到，，结合已知条件得到，对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）矩形的对角线相等，利用对角线相等的性质进行求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）知四边形为平行四边形， 所以，当时，四边形为矩形， 第一种情况，当E在上时， ， ， ， ， ， 第二种情况，当E在上时， ， ， ， ， ， 综上所述，当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形． 【变式2-2】如图，在中，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)______________；______________（用含的代数式表示）； (2)当四边形为矩形时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使得四边形为平行四边形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不存在； 解：不存在； ∵， ∴， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∵， ∴不符合题意， ∴， ∴四边形不可能为平行四边形． 【分析】（1）由运动过程可得线段长度，根据线段之间的关系，即可求解； （2）根据当四边形为矩形时，，列出方程，解方程即可得的值； （3）先证明，根据当时，四边形为平行四边形，得出，求出，根据，得出不符合题意，即可得出，从而得出四边形不可能为平行四边形． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵于点， ∴， 由题意得，，， ∴，． （2）解：∵，， ∴， 当四边形为矩形时，， ∴， 解得：； （3）略 【变式2-3】如图，在梯形中，，，于点，，，，从初始时刻开始，动点，分别从，同时出发，运动速度均为，动点沿的方向运动，到点停止；动点沿的方向运动，到点停止，设运动时间为，的面积为．（此题规定：线段是面积为0的三角形） 解答下列问题： (1)当时，________；当时，________； (2)当时，求与之间的函数关系式； (3)当动点在线段上运动时，求出当时x的值． 【答案】(1)2；9 (2)时，；时，；时， (3)7 【分析】（1）根据的值判断所在的具体线段位置，结合矩形的判定和性质以及三角形的面积公式即可求出对应所对应的的值． （2）根据动点所在位置不同，分情况讨论①②③，结合图形，根据运动的轨迹和面积公式分别求出与之间的函数关系式． （3）根据动点所在的位置，判断取值范围，确定与之间的函数关系式，利用梯形的面积公式和已知条件，求出具体值即可求出对应的的值． 【详解】（1）解：，，， ， 为矩形． ①，动点，运动速度均为， ，， ， ， ． ②，动点，运动速度均为， ，， ，， 点运动到线段上，点运动到线段上， 到边上的距离与相等，即为4，, ． （2）解：当时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． 当时，如图所示， ． （3）解：动点在线段上运动， ， ， ， ， ， ． 【题型3 特殊平行四边形折叠综合问题】 【例3】如图．在正方形纸片中，是的中点，将正方形纸片折叠，点落在线段上的点处，折痕为．若． (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正方形边长和E是中点，用勾股定理计算的长度，再结合折叠性质得，那么，即可求解的长． （2）设的长为x，那么，由折叠性质得，同时，所以．在中用含x的式子表示，在中也用含x的式子表示，列方程求解x，即可得到的长． 【详解】（1）解：∵正方形边长，． ∴， ∵是中点， ∴． 在中，由勾股定理得： ． 由折叠性质可知，， ∴． （2）解：设，由折叠性质得， ∴． 由折叠得， ∴，是直角三角形． 在中，由勾股定理得：； 在中，，由勾股定理得： ∴， 代入，，，： 得 ， 展开化简得： ， 解得， 即， ∴ ． 【变式3-1】在正方形中，点为边上一点，连接，将沿翻折得到，连接BF并延长交于点． (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若为的中点，求的值； (3)如图3，连接，若，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， 根据折叠性质得：，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是正方形，结合折叠性质证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，，，进一步求出等于30度，即可得，再根据等角对等边即可证明． （2）根据四边形是正方形，即可得，，结合直角三角形斜边中线的性质得，可证明，即可得，再根据折叠性质即可证明是等边三角形，根据等边三角形性质求出，再根据30度角的直角三角形性质即可得的值． （3）延长交于，连接交于，根据折叠性质、结合四边形是正方形，即可证明，根据全等性质得，再根据，结合余角性质得，根据等角对等边得，结合已知条件得，设，用的代数式表示出、、，在直角三角形中，根据勾股定理列方程，解出即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：如图2， 连接，， ∵为的中点，是直角三角形， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据折叠性质得：，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． （3）解：如图3， 延长交于，连接交于，则：， 根据折叠性质得：，，， ， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∴， 设，则，，， 在直角三角形中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查正方形性质、折叠性质、勾股定理、30度直角三角形性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，充分理解题意，作出正确的辅助线、灵活运用几何知识是解题的关键． 【变式3-2】如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿翻折，点落在点处．当为直角三角形时，求的长． 【答案】的长为2或5 【详解】解：如答图①，当时， ∵四边形是矩形，，， ，，． ， ， ，F，C三点共线． 根据折叠的性质，得，， ． 设，则． 在中，根据勾股定理，得， 解得，故； 如答图②，当时， ∵四边形是矩形，，， ，． ， ， ∴四边形是矩形． 根据折叠的性质，得， ∴四边形是正方形， ， ； 当时， ， ∴点F不可能落到上， 故不成立． 综上，的长为2或5． 【变式3-3】已知长方形中，，点为边上一动点，沿所在直线将进行折叠得到． (1)如图1，若点与点重合，交边于点，证明：； (2)如图2，连接并延长交边于点，当时，求的长； (3)连接，在点运动过程中，若面积为4时，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为长方形， ， 由折叠性质可知：， 当E与C重合时， 在和中 ； (2) (3)或 【分析】（1）由折叠性质可知，再利用证明； （2）过点F作分别交于点G、H，先判定出四边形为矩形，由折叠性质求出，再根据含的直角三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出，利用证明，根据求出结果即可； （3）分两种情况F点在下方与F点在上方时，分别作图，利用三角形面积，勾股定理，矩形的判定求出最后结果即可． 【详解】（1）略 （2）如图，过点F作分别交于点G、H， 且， 又四边形是长方形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 由折叠性质得：， ，则， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）当F点在下方时，如图：过点F作分别交于点K，J，连接 ， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ； ②当F点在上方时，如图：过点F作分别交于点M，N，连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ； 或 【题型4 四边形中线段最值问题】 【例4】【问题探究】 (1)如图1，在四边形中，，，，连接、，是的中线． ①求的长； ②若，求的最大值； 【问题解决】 (2)如图2，矩形是某植物园试验田的示意图，是一条小路，现要在小路上修建一口水井，沿铺设地下水管，再从点向铺设地下水管（点在上），要求，然后从点向点铺设一条运输通道．已知，，铺设运输通道的费用为200元，求铺设运输通道所需的最少费用．（小路、地下水管、运输通道的宽度和水井的大小均忽略不计） 【答案】(1)①2，②4； (2)8000元 【分析】（1）①由勾股定理可得，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半求解；②连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再结合得到当、、三点共线时，取得最大值，即可求解； （2）根据题意得出是直角三角形，取的中点，连接、，则，由勾股定理可得，再根据得到当、、三点共线时，取得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：①，，， ． 是的中线， ； ②连接，如图1． ， ， 是直角三角形． 是的中线， 点是的中点， 是的中线， ． ， 当、、三点共线时，取得最大值，； （2）解：四边形是矩形，，， ，， ． ， ， ，即是直角三角形． 取的中点，连接、，如图2， 是的中线， ． 在中，，， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值，， 铺设运输通道的费用为200元， 铺设运输通道所需的最少费用为（元）． 【变式4-1】如图，已知四边形是正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以，为邻边作矩形，连． (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明：如图，过点作于点，作于点， 四边形为正方形， ，， ，且， 四边形为正方形， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 矩形为正方形． (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，利用定理证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据正方形的判定即可得证； （2）连接，根据正方形的性质、利用定理证出，推出，，再利用勾股定理可得，然后根据垂线段最短求出的最小值，由此即可得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 四边形为正方形，， ， ， 矩形为正方形， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 的最小值为． 【变式4-2】如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，． (1)如图1，当四边形为菱形时，求长； (2)如图2，①在运动过程中，线段的长度是否不变，若不变，求出该定值；若改变，请说明理由； ②在运动过程中，四边形的周长是否有最小值，如果有，求出当四边形的周长最小时，线段的长． 【答案】(1)3 (2)①定值，；②有，四边形的周长最小值为20， 【分析】（1）利用菱形的性质，求出，设参数，则，根据矩形的性质求出度数，最后根据勾股定理求出的值即可求出的长度． （2）①先根据平行四边形的判定推出平行四边形，求出，再根据三角形全等和平行线的性质推出，利用平行且相等两边是平行四边形推出平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，推出以及，设，利用勾股定理求出的值，从而求出的长度，再根据勾股定理求出的长度，从而知道的长度，最后再结合勾股定理即可求出长度，从而知道的长度且是定值．②过点作，利用矩形的性质和勾股定理求出的长度为2，设，通过未知数表达和长度，即可求出为固定值10，即可说明周长最小即是说明最小，过点作，且，连接，，通过平行四边形的性质将转换为，利用三点共线即是线段最短判断最小即是，根据勾股定理求出长度，利用和勾股定理推出和，结合二者之和为10，即可求出的长度． 【详解】（1）解：为矩形， ， ，， 设，则， 为菱形， ， 在中，， ， ． （2）解：①取中点，过点作，交于点，交于点，连接，，如图所示， 为矩形， ， ， 为平行四边形， ． ， ， ， ． ， ， ，， ， ， ， 为平行四边形， ， 为菱形， ，． 设，则， ， 在中，， ， ． 在中，， ， 在中，， ． ②过点作，过点作，且，连接，，如图所示， 为矩形，， ， 为矩形，为矩形， ，，. 由①可知，， ， 在中， 设，则，，， ， 周长最小， 为最小， ，， 为平行四边形， ，， 为最小， 三点共线时，最小，即最小值为， ，， ， ，由①知， 在中，． ，四边形的周长最小值为， ，， 在中，， 在中，， ， ， ． 【变式4-3】【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接，由对称性质可得，，，，，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．过点作于点，则，在中，由勾股定理求解即可； （2）分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，由（1）可知，，；作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点，由对称性质可得当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接， 由对称性质可得，，，，， ， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形为矩形， ， 点在的延长线上， 过点作于点，则， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 的最小值为； （2）解：四边形的周长， 当取得最小值，同时取得最小值时，四边形的周长取得最小值． 如图，分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，则，，，，，， 由（1）可知，，； 作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点， 由对称可得，，， ， ， 当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ， 点、都在直线上，且． ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 四边形周长的最小值为． 【题型5 四边形中的存在性问题】 【例5】如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作，垂足为，与相交于点，连结．设运动时间为．解答下列问题： (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)设四边形的而积为，求与之间的关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t=1.5 (3) (4) 【分析】（1）先根据题意证明四边形为矩形，然后根据矩形性质得出； （2）先证明，根据，求出AH，即可求出BE，得出答案即可； （3）根据题意用t表示出，，分两种情况，点F在点H左侧或点F在点H右侧，表示出S与t关系式即可； （4）分四边形BEFH为平行四边形或四边形BEHF为平行四边形两种情况分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， 即DH的长度为． （2）∵， ∴CE=AH， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴，， 四边形为矩形， ∴， ， 当点F在点H左侧时，如图所示： ， ； 当点F在点H右侧时，如图所示： ， ； 综上分析可知，． （4）∵， ∴当时，以，，，为顶点的四边形为平行四边形， 当四边形BEFH为平行四边形时，根据解析（3）可知，此时BE=2t，， ∴，解得：； 当四边形BEHF为平行四边形时，根据解析（3）可知，此时BE=2t，， ∴，解得：， ∵， ∴舍去； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形面积的计算，平行四边形的性质，解题的关键是注意进行分类讨论． 【变式5-1】平行四边形在平面直角坐标系中的位置如图①． (1)写出点C的坐标； (2)在图①中，连接，得到图②，求与的交点M的坐标； (3)将图②中的线段向两方延长得到图③，若点 D、E为直线上不与B、C重合的动点，是否存在这样的点D、E，使得四边形为矩形？若存在，请在图中画出矩形，并求出矩形的面积和点 D、E 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，如图， 矩形的面积为12， 【分析】（1）根据平行四边形的对边相等和已知点的坐标求得点的坐标即可； （2）首先求得直线的解析式，然后得到直线的解析式，联立后即可求得交点的坐标； （3）分别过点、作于点，于点，过、分别作轴和的垂线，垂足分别为、，利用四边形是平行四边形，得到，从而得到四边形是矩形，且与平行四边形面积相等，从而求得矩形的面积为12，求得线段和线段后即可求得点的坐标，同理即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 、， ； （2）解：如图②，设所在的直线的解析式为， 直线经过点、， ， 解得： 所在直线的解析式为， 由于直线过原点， 设直线的表达式为， 将点代入，得， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程 解得：， 即的坐标是； （3）解：存在这样的、，使得四边形是矩形． 分别过点、作于点，于点，过、分别作轴的垂线和的垂线，垂足分别为、， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形，且与平行四边形面积相等， 平行四边形的面积为， 矩形的面积为12，即， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 四边形是矩形，四边形是平行四边形， ，，，， ，，     ， ， ， ， ， ， 点的坐标为． 【点睛】此题主要考查四边形的综合知识、勾股定理等知识，综合性较强，熟练掌握知识点及应用是解题的关键． 【变式5-2】已知：如图，矩形中和中，点在上，， ，，连接，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过点作交于点，交于点．设运动时间为（）． 解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）连接，作交于，当四边形为矩形时，求的值； （3）连接，，设四边形的面积为，求与的函数关系式； （4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）s；（3）=；（4）存在，． 【分析】(1) 作，利用勾股定理得，再根据三角函数得方程，求解可得出结论； (2)若为矩形时，根据同角三角函数得 ，再解方程可得答案； (3) 在中，，，表示出S即可求解； (4) 取线段的中点，过做交于，交于，过做于，在中，，根据，进而进行求解． 【详解】作，如图所示： ，，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴当时，． （2）若为矩形时， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， （3）在中， ， ， 在中，， ， ， ∴ ， （4）存在，取线段的中点， 过做交于，交于， 过做于， 如图所示： 在中，， ，， ，， 在中，， 又， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴ ，解得： ， 答：点在运动过程中，存在某一时刻，使点在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了四边形综合题，考查了三角函数，矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解本题的关键． 【变式5-3】综合与探究 【问题】王老师给了一个思考题：如图（1），E、F分别是正方形 ABCD的边 BC、CD 上的动点，∠EAF=45°连接EF，求证：EF=BE+DF． 思考后，王老师归纳了思路：可将△ADF 绕A点顺时针旋转90°到△ABG的位置，如图（2），这时，易知 C、B、G在同一直线上，△ADF≌△ABG，BG=DF，可证△AEF≌△AEG，所以，EF=EG=BE+BG=BE+DF．最后，王老师希望同学们进一步研究． 【探索研究】研究后，小明发现原题条件核心有：AB=AD，∠EAF=∠BAD，对角∠ABC和∠ADC互补．于是将问题演变为：如图（3），等边三角形 ABM中，AB=4，将AM沿 BM方向平移到 CD，使 CM=BM，连接AD，E 是线段 BM上一个动点（不与B、M重合）， 连接AE，并在AE 右侧作正△AEN，延长 AN交直线CD于F，连接EF． (1)探索是否仍存在关系：EF=BE+DF？若存在，请证明；若不存在，请说明理由． (2)连接CN，E点运动中，何时CN最短？并求CN 的最小值． 【答案】(1)仍存在关系：EF=BE+DF，证明如下； (2)时CN最短； 【分析】（1）由平移的性质可得四边形AMCD是菱形，则 ，将 绕点A顺时针旋转到的位置，证明，根据全等性质可得EF=EG=BE+BG=BE+DF； （2）连接DN，证明，则，证明，可得CN=AN=AE，则AE最短时CN最短，根据垂线段最短可得时，AE的值最小，即可得CN的值最小． 【详解】（1）在等边三角形ABM中，AB=4，将AM沿BM方向平移到CD，使CM=BM， ， 四边形AMCD是平行四边形， CM=BM， ∴平行四边形AMCD是菱形， ， 将绕点A顺时针旋转到的位置，如图： ， 是等边三角形， 即点C、B、G三点共线 在中 （2）连接DN，如图： 是等边三角形， 四边形AMCD是菱形 即AE最短时CN最短，根据垂线段最短可得时，AE的值最小， 过A作于 是等边三角形，AB=4 时CN最短，最短为 【点睛】本题考查正方形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【题型6 特殊平行四边形与旋转、全等综合问题】 【例6】我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G， ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）． ①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，则正方形面积的最大值为______； 【答案】(1) ①证明：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②证明：如图， 同理①得：， ∴， 由①知， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形（对角线相等且平分）； (2)①如图所示为所求： ② 【分析】（1）①利用平行四边形的性质得到，结合对顶角，证明，即可得出结论；②根据题意即可作出图形，同理①得：，得到，由①知，由旋转的性质得，得到，求出，即，即可证明； （2）①在图2中，连接，证明，推出，进而得到三点共线，正方形对角线过点O，根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于两点，连接即可；②由①知正方形的面积随的增大而增大，当点分别落在上，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，设正方形边长为，则，，根据，列出方程求出x的值即可解答． 【详解】（1）略 （2）①解：在图2中，连接， 在菱形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴正方形对角线过点O， 根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小， 即当时，正方形的面积最小； ②由①知正方形的面积随的增大而增大，如图，当点分别落在上时，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P， ∵在菱形中，，， ∴，， 设正方形边长为，则，， ∴， 则， 整理得：， 解得：， ∴正方形的面积最大为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【变式6-1】已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且． (1)如图1，当时，求证：四边形是正方形； (2)如图2，将射线绕着点O进行旋转． ①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明； ②四边形的面积为 ； (3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； (2) ①， 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② (3) 【分析】（1）根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题； （2）①证明，可得即可； ②先根据正方形的性质得，则，，所以，由得，则，即可证明，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题； （3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积； （3）解：如图，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴四边形的面积等腰直角三角形的面积． 【点睛】此题是四边形的综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，根据正方形性质求出三角形全等的条件是解题的关键． 【变式6-2】情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． （I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ （II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①正方形的边长为，则______； ②矩形中，，，则_______； ③在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示） ⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示） （III）猜想并证明： 如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． （IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长． 【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明如下， 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ （IV）或． 【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可． 根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得． （III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可． （IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可． 【详解】（II）解：①如图①， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴； ②如图③∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ③如图②，∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴， ④如图①， ∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ⑤如图③∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （III）略 （IV）解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据前面的结论得， ∴， ∴， ∴，（不合题意舍去）， ∴， 点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为， ∴， 过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； 当对应点在点下方时，设点B的对应点为， 同理可得： ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，矩形的性质与判定，菱形的性质，平行四边形的性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式6-3】定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形______（填“是”或“不是”）“直等补”四边形； (2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点作于点． ①试探究与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】(1)是； (2)①BE=DE， 理由如下： 如图3，过点C作CF⊥BE，垂足为点F， 图3 ∵四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC，AD＞AB， ∴∠ABC=90°，∠ABC+∠D=180°， ∴∠D=90°， ∵BE⊥AD，CF⊥BE， ∴∠DEF=90°，∠CFE=90°， ∴四边形CDEF是矩形， ∴DE=CF，EF=CD， ∵∠ABE+∠A=90°，∠ABE+∠CBE=90°， ∴∠A=∠CBF， ∵∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴BE=CF，AE=BF， ∵DE=CF， ∴BE=DE； ②14 【分析】（1）由旋转的性质可得∠ABF=∠CBE，BF=BE，根据正方形的性质得∠ABC=∠D=90°，可得出∠EBF=∠D=90°，即可得出答案； （2）①过点C作CF⊥BE，首先证明四边形CDEF是矩形，则DE=CF，EF=CD=2，再证△ABE≌△BCF，根据全等三角形的判定和性质可得BE=CF，AE=BF，等量代换即可得BE=DE；②设BE=x，根据勾股定理求出x的值即可，即可求解． 【详解】（1）∵将△BCE绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上， ∴∠ABF=∠CBE，BF=BE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠D=90°， ∴∠ABE+∠CBE=90°， ∴∠ABE+∠ABF=90°，即∠EBF=∠D=90°， ∴∠EBF+∠D=180°， ∵∠EBF=90°，BF=BE， ∴四边形BEDF是“直等补”四边形． 故答案为：是； （2）略 ① ②如图3， ∵四边形CDEF是矩形， ∴DE=CF，CD=EF， ∵△ABE≌△BCF， ∴AE=BF，CF=BE， ∵，， 设BE=x，则AE=BF=x-2， 在Rt△ABE中，x2+（x-2）2=102， 解得：x=8或x=-6（舍去）， ∴BE=8，AE=6， ∴AD=AE+DE=AE+CF=AE+BE=6+8=14． 【点睛】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质． 【题型7 多结论选择综合题】 【例7】如图，在中，，平分交于点，平分交于点，相交于点，交的延长线于点，连接，下列结论中正确的是（     ） ①若，则；②；③；④． A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】①根据三角形内角和定理和角平分线的定义推导出，结合三角形外角定理和垂直关系得出，进而推出的度数； ②分析是否可推出中线或等腰等特殊条件来判定结论； ③通过构造全等三角形，证明点E为中点，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，结合的度数可知，由此判定结论； ④利用“截长补短法”构造全等三角形，将转化为． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，，． ①若， 则， ∴． 又∵（三角形外角定理），且， ∴， ∴． 故①正确； ②需要为中线或等腰等特殊条件，题中仅知角平分线与，不能推出G为中点． 故②错误； ③如图，延长，交于点H， 在和中，， ∴， ∴，即点E为中点， 只有当时，， ∵已知， ∴， ∴， 故③错误； ④如图，在上截取，连接， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． 故④正确． 综上，正确的结论是①④． 【变式7-1】如图，正方形的边长为2，是对角线，延长到H，使，于点G，交于点E，连接交于点F，连接，则下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确结论的序号有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用正方形性质求出长，结合及垂直条件得出为等腰直角三角形，进而求出等线段长，通过全等三角形判定和菱形判定定理逐一验证结论． 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，在上， ∴， 在和中， ， ∴ ，故①正确； ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ， ∴，故②正确； ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵共线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有4个． 【变式7-2】如图，在正方形中，为边上的点，过点作，交于点，分别作点和点关于的对称点点和点，得到四边形．下面两名同学的结论正确的是（    ） 嘉嘉：四边形的周长为定值． 淇淇：和的交点在上． A．嘉嘉的结论 B．淇淇的结论 C．两人的结论都正确 D．两人的结论都不正确 【答案】C 【分析】设正方形的边长为1，得到，，，根据勾股定理得到，根据平行线的性质及等边对等角得到，设，根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到，，，，，，根据等边对等角及勾股定理得到，，可知，进而证明四边形是矩形，可知，得到四边形的周长为，是一个定值，嘉嘉的结论正确；根据矩形的性质得到和的交点在线段的垂直平分线上，可知淇淇的结论正确． 【详解】解：如图， 设正方形的边长为1， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，，， ∵分别作点和点关于的对称点点和点， ∴，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的周长为，是一个定值，嘉嘉的结论正确； 如图，设和的交点为， ∵四边形是矩形， ∴， 即O在线段的垂直平分线上， ∵分别作点和点关于的对称点点和点， ∴垂直平分， 即和的交点在上，淇淇的结论正确； 综上所述，两人的结论都正确． 【变式7-3】如图，已知正方形的边长为2，E是边的中点，F是边上一点，连接，，，平分，P是对角线上一动点，连接，．下列结论：①；②；③为直角三角形；④的最小值为．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】延长交的延长线于点G，证明，得到，，判断①，设，在中，利用勾股定理求出的值，判断②，三线合一，判断③，对称性结合两点之间线段最短，得到的最小值为的长，勾股定理求出的长，判断④． 【详解】解：如答图，延长交的延长线于点G． ∵四边形为正方形， ， ． 是的中点， ． 在和中，， ， ，． 平分， ， ， ，故①正确； 设， ，． 在中，由勾股定理，得，即，解得， ，故②正确； ，， ， 是直角三角形，故③正确； 点B关于对角线对称的点是点D，连接，， ， ， ∴当点D，P，F共线时，的值最小，最小值为的长． 在中，由勾股定理，得，即， 的最小值为，故④错误． 综上所述，正确的结论有3个． 【题型8 四边形大综合压轴】 【例8】综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． (1)【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 【答案】(1) (2)； 理由∶延长交于，延长交于， 正方形中，， ， ， 同理可证， 同（1）可证明四边形是矩形，四边形是正方形，， ， ， ， ， ； (3)①当在对角线上，时，；时，；②当在线段或的延长线上时， 【分析】（1）根据题中提供的方法，证明，进而证明四边形是正方形，进而可得，即可证明，进而可证明结论； （2）延长交于，延长交于，同法证明，即可得出结论； （3）作，交直线于，证明，由（1），（2）可知，证明，可得，分以下三种情况：①当在对角线上，时，当时；②当在线段的延长线上时；③当在线段的延长线上时，分别求得它们的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作，，垂足为，， ， 正方形中，平分， ， 四边形是正方形， ，即， ， ，即， ， ， ； （2）略 （3）解：作，交直线于， ， ， ， ，平分， ， ，， ， 由（1），（2）可知， ， ， ， ， ①当在对角线上，时，如上图， ； 当时， 如图 同理可得； ②当在线段的延长线上时， 如图， 同理可得； ③当在线段的延长线上时， 如图， 同理可得； 综上所述，①当在对角线上，时，；时，；②当在线段或的延长线上时，． 【变式8-1】已知O为直线上一点，，在等腰中，，交于C，D为的中点，交于E． (1)如图1，若点B在上，则 ① （填“＜”，“＝”或“＞”）； ②线段满足的等量关系式是 ； (2)将图1中的等腰绕O点顺时针旋转，如图2，那么（1）中的结论②是否成立？请说明理由； (3)将图1中的等腰绕O点顺时针旋转，请你在图3中画出图形，并直接写出线段满足的等量关系式 ． 【答案】(1)①＝；②； (2)如图2，（1）中的结论②成立，理由是： 连接， 在等腰中， 是中点， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， 在四边形中，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， 所以（1）中的结论②成立； (3)图形如图所示： 结论：． 【分析】（1）①连接，证明和可得结论；②由①可知，在等腰中，根据勾股定理即可解答；　 （2）如图2，（1）中的结论②成立，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，在等腰直角中根据勾股定理可得结论； （3）如图3，连接，证明，在等腰直角中根据勾股定理，等量代换变形后可得结论． 【详解】（1）解：①如图1，连接， ，， ， 在等腰中， 是中点， ， ， 四边形是矩形． ， ， ， ， ， 矩形是正方形． ， ， ， ， ， ， ． ②由①可知， 在等腰中，， ． （2）略 （3）如图3，结论：， 理由是：连接，交于点， 在等腰中， 是中点， ，， ， ， ， ， 即， ， ， ， 是的一个外角， ， 同理， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即． 【变式8-2】如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角平分线于点F． (1)求证：． (2)当点E在边上运动，（不与B、C重合），其余条件不变，是否还成立，若成立，请你给予证明，若不成立，请说明理由． (3)若点E在边延长线上的一点，其余条件不变，请你在图3中画出图形，并思考结论是否成立？若成立，请你证明，若不成立，请你说明理由． 【答案】(1)证明：如图1，取中点，连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∵是边的中点，为中点， ∴， ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)成立，理由如下： 如图2，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (3)成立，证明：如图3，在的延长线上取一点，使，连接． ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）取中点，连接，求出，求出，再求出，根据推出和全等即可； （2）在上截取，连接，求出，得出，求出，再求出，根据推出和全等即可； （3）在的延长线上取一点，使，连接，根据已知条件利用判定，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式8-3】解答： (1)问题情境：如图1，已知正方形，点E在的延长线上，以为边构造正方形，连接和，则和的关系为_____． (2)继续探究：如图2所示，已知正方形，点E是线段上的一点，以为边在的右侧作正方形，连接、．问（1）中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展应用：若正方形的边长为3，点E是直线上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、、，若，画出图形，并直接写出长． 【答案】(1)， (2)成立， 证明：延长交的延长线于点O，交于点H， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (3)当点E在线段上，如图， ； 当点E在延长线上，如图， ． 【分析】（1）证明得，，再求出，进而可得； （2）延长交的延长线于点O，交于点H，证明得，，再证明，可证； （3）分点E在线段上和点E在延长线上两种情况，作，交的延长线于点H，连接，证明得，，然后根据勾股定理求解即可； 【详解】（1）解：如图，延长交于点K， ∵正方形，正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）当点E在线段上，如图， 作，交的延长线于点H，连接， ∴． ∵， ∴． ∵正方形的边长为3，正方形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在中 ； 当点E在延长线上，如图， 同理 ∴，，， ∴， 在中 ； 04 过关检测 → 分梯度，强综合，查漏洞，固成效 1.在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点． (1)如图，连接，作射线交射线于点． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②判断线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)①； ②解：， 证明：过点A作于点G，如下图：则， ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即； (2)． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出； ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证； （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：①∵点P与点B关于直线对称， ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴； ②略； （2）解：根据题意，作图如下， 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 2．综合与探究：如图1，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的数量关系呢？ 【问题解决】 (1)为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到，使，连接、… 请你顺着小明的思路写出完整的解答过程； 【结论应用】 (2)如图3，在中，，点为的中点，点在上，若，求证：； 【拓展提升】 (3)如图4，点为正方形的边上一点，点为的中点，以、为边在的右侧作平行四边形．若，，则四边形的面积为（直接写出结果）． 【答案】(1)如图2，延长到，使，连接、， ∵为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)证明：∵在中，，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）证明四边形为矩形，得出，即可得证； （2）由直角三角形的性质可得，由等边对等角可得，由三角形外角的定义及性质并结合题意可得，即可得证； （3）先证明得出，从而得出平行四边形为菱形，连接交于点，则，，，再由菱形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形为菱形， 如图，连接交于点， 则，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 3．综合与实践 背景阅读：折叠问题题型多样，变化灵活，从考查空间想象能力与动手操作能力的实践操作题，到直接运用折叠相关性质的说理计算题，发展到基于折叠操作的综合题，甚至是压轴题，考查的着眼点日趋灵活，能力立意日渐明显．折叠操作就是将图形的一部分沿一条直线翻折，使它与另一部分图形在这条直线的同旁重叠或者不重叠，其中“折”是过程，“叠”是结果．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，折叠更突出了轴对称问题的应用．所以在解决有关折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质． 实践操作： （1）如图1，对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平； （2）如图2，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，与相交于点G，同时得到线段； （3）如图3，将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P，连接． 问题解决： (1)在图2中，_________； (2)在图3中，请你探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若，则_________． 【答案】(1)； (2)解：，证明如下： ∵将折叠，使点B与点M重合，折痕交于点P， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ； (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，得到，根据折叠的性质得出，，即可求出； （2）根据折叠的性质可得，根据等边对等角得到，可知，根据30度角的性质及勾股定理求出，根据30度角的性质得到，即可求出； （3）作交于点H，可知四边形是矩形，进而证明，得到，根据等腰三角形三线合一得到，根据30度角的性质得到，，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 对折矩形纸片，使与重合，得到折痕， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕， ， ∴， ∴是等边三角形， ， 由折叠的性质得：，， ∴， 即； （2）略； （3）解：如图，作交于点H，可知四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）． 4【综合探究】 【学习新知】定义：过三角形一个顶点的直线将三角形分成两个三角形都是等腰三角形，则称这个三角形为“双等腰三角形”，这条直线称为该三角形的“双等腰分割线”．如图1，直线将分割成两个三角形和都是等腰三角形（，），所以是“双等腰三角形”，直线是的“双等腰分割线”． (1)【理解应用】学习了上面新定义后，小明说等边三角形是“双等腰三角形”，小华说等腰直角三角形是“双等腰三角形”；下列说法正确的是（     ） A．小明的说法正确        B．小华的说法正确 C．小明和小华的说法都正确    D．小明和小华的说法都不正确． (2)【问题解决】老师提问：直角三角形是不是“双等腰三角形”？ 小芳同学是这样思考的：如图2，在中，，作边的垂直平分线交斜边于点，交于，连，……所以，是“双等腰三角形”，是的“双等腰分割线”． ①小芳的结论正确吗？请说明理由． ②若，，，由上面的推理可知，的周长等于________． (3)【拓展提升】已知，中，，若是“双等腰三角形”，且是的“双等腰分割线”．请直接写出的度数________． 【答案】(1)B (2)① 结论正确， 理由： 是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵，则，， ∵， ∴， ∴， ∴也是等腰三角形，符合“双等腰三角形”的定义， ∴小芳结论正确； ② ； (3) 或 或 【分析】（1）根据“双等腰三角形”的定义，分别验证等边三角形、等腰直角三角形是否存在过顶点的直线将其分为两个等腰三角形，判断两人说法的正误即可； （2）①先依据垂直平分线的性质得到边相等，判定其中一个三角形为等腰三角形，再结合直角三角形斜边中线的性质，判定另一个三角形为等腰三角形，验证是否符合定义； ②利用等腰三角形的边相等的性质，将的周长转化为已知的与的和，代入数值计算； （3）结合，分情况讨论分割后两个等腰三角形的腰的对应关系，结合三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】（1）等边三角形每个内角都是，过任意顶点作直线截对边，都无法得到两个都为等腰三角形的三角形，因此小明说法错误； 等腰直角三角形斜边上的中线可以将它分为两个小等腰直角三角形，两个都是等腰三角形，因此小华说法正确； （2）①略； ②的周长， ∵， ∴， ∴周长； （3）∵是分割线，在上，，为等腰三角形， ∴分三种情况： ①当时，如图所示， ∴ ， ∴， ∵为等腰三角形， ∴为等边三角形， ∴； ②当时，如图所示， ， ∴， ∵ 为等腰三角形， ∴只有成立， ∴； ③当时，如图所示， ∴ ， ∴， ∵ 为等腰三角形， ∴只有成立， ∴ 综上所述，的度数为、或． 5．探究下列问题： (1)如图，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且．求证：； (2)如图，在正方形中，是上一点，是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：； (3)运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在四边形中，，，，是线段上一点，且，，，求线段的长度． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)证明：如图，延长，并在延长线上取一点，使得， 由（1）得， ∴，， ∵正方形， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形的性质结合题意即可证明，再根据全等的性质即可求证； （2）延长，并在延长线上取一点，使得，根据（1）的证明方法可得，再运用全等的性质和正方形的性质结合题意，即可证明，最后根据等量代换即可求证； （3）延长，过点作交延长线于点，并在延长线上取一点，使得，先证明四边形为正方形，再根据（1）（2）中的解法分别证明、，通过全等的性质和等量代换可得，最后设，求出，，根据勾股定理即可构造方程求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，延长，过点作交延长线于点，并在延长线上取一点，使得， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∴，， ∵在中，， ∴根据勾股定理，，即， 解得， ∴线段的长度为． 6．已知：四边形中，，，，，点E为的延长线上一动点，交于点F． (1)如图1，若平分，求证：； (2)如图2，于点H，交于点G，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在上，点Q是线段的中点，若，，直接写出线段的最小值． 【答案】(1)证明：∵平分，， ∴， ∴， ∴； (2)解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，，， ∴， 延长，交于点，则， ∵于点H， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3). 【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，即可得出结果； （2）延长，交于点，证明，得到，证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换，即可得出结论； （3）取的中点，连接，根据斜边上的中线求出的长，取的中点，连接，，得到，进而得到当三点共线时，线段的值最小，作，三角形的中位线定理求出的长，勾股定理求出的长，即可得出结果. 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵，， ∴， 由（2）可知，， 又∵， ∴， 取的中点，连接， ∵于点H， ∴， 取的中点，连接，， 则，， ∴当三点共线时，线段的值最小， ∵点Q是线段的中点， ∴， 作， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为. 7．如图1，在正方形中，点E，F分别是上的点，且，连接，过点E作，使，连接． (1)判断：与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　； (2)如图2，若点E，F分别是边延长线上的点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？ 请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边延长线上的点，正方形的边长为， ，其他条件不变，求四边形的面积．（用含a的式子表示） 【答案】(1)； (2)结论仍然成立．证明如下∶ 如图2， 设与交于点N． ∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴；． (3) 【分析】（1）如图1，设与交于点M．利用正方形的性质可证明可得．再证明四边形是平行四边形； （2）如图2，设与交于点N．然后利用（1）的思路即可证明结论； （3）利用正方形的性质可证明可得；再四边形是平行四边形可得，；利用勾股定理可得，进而得到，最后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解∶；． 如图1，设与交于点M． ∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴；． （2）略 （3）解：∵四边形是正方形， ∴，． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ， ∴， ∴． 8．数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等腰直角三角形中，，点D在边上，以为斜边在下方作等腰直角三角形，绕点B在平面内旋转、连接，取的中点O，连接，． 【特例感知】 (1)当点E在边上时，与的数量关系是 ，位置关系是 ． 【深入探究】 在旋转过程中，同学们发现（1）中的结论仍然成立，同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：取的中点M，的中点N，连接，，，…… (2)请你将同学们的解题过程补充完整． 【拓展应用】 (3)连接，若，将绕点旋转一周，当A，D，E三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)如图，取的中点M，的中点N，连接，，，，记与交于点， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， 是的中点，是的中点， 是的中位线， ，， ，是的中点， ，， 同理，可得，， ，，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， ． (3)或 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明，利用三角形的外角定理可得，再由是等腰直角三角形，可得，即可得； （2）利用三角形的中位线和等腰三角形的三线合一，可得，，，可证明，即可证明结论； （3）分点在线段上和点在的延长线上，即可求解． 【详解】（1）解：∵， O是的中点， ∴， ∵点E在边上，是以为斜边等腰直角三角形， ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解： 当点在线段上时， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是以为斜边等腰直角三角形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 由（2）可知，，， ∴； 当点在的延长线上时， 同理，则， ∵是的中点， ∴， ∴， 同理； 综上所述，线段 的长为或． 05 复盘笔记 → 集错题，析错因，重订正，常反思 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。 1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 107 页 第 1 页 共 107 页 学科网（北京）股份有限公司 $