精品解析：安徽合肥市庐阳中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

九年级数学 考试分值：150分；考试时间：120分钟； 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下面的函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】需先化简各选项的函数表达式，再判断是否为二次函数． 【详解】解：A．自变量最高次数为，不是二次函数； B．自变量最高次数为且为整式，是二次函数； C． ，自变量最高次数为，不是二次函数； D．不是整式函数，不是二次函数． 2. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位，则所得抛物线的表达式为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 3. 某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ） A. 4 B. 9 C. 32 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意，设，当时，， ∴， ∴； ∴当时，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的定义是解题关键． 4. 根据下列表格中二次函数（，a，b，c为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个根的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 5. 若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 6. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的增减性逐一判断，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小，故A选项不符合题意， ∵一次函数中，， ∴随增大而增大，故B选项符合题意， ∵二次函数中，对称轴为轴，， ∴抛物线开口向上，时，随增大而减小，故C选项不符合题意， ∵二次函数中，对称轴为轴，， ∴抛物线开口向下，时，随增大而减小，故D选项不符合题意． 7. 小勇、小冠、小明、小天四人共同探究函数的值的情况，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A. 小勇认为只有当时，函数值为2 B. 小冠认为找不到实数， 使函数值为0 C. 小明认为抛物线开口向上 D. 小天认为抛物线与轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数解析式写成顶点式，根据二次函数的性质逐个选项分析即可． 【详解】解： ， 顶点坐标为：， 只有当时，函数值为2，故A正确； 抛物线开口向上，顶点纵坐标值2为最小值，故找不到实数，使函数值为0，从而B正确； ，抛物线开口向上，从而C正确； 令得，，所以为抛物线与轴无交点，故D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论：或，注意抛物线与x轴两交点关于对称轴对称，故得到交点横坐标之间的关系. 【详解】解：当时，如图所示： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，且； 当时，如图所示： ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，且． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质和平移；由对称轴得到抛物线与x轴交点的横坐标之间的数量关系是解题的关键． 9. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2＋bx＋c≥﹣6；③9a﹣3b＋c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y＝ax2＋bx＋c上的点（﹣1，﹣4）的对称点为（﹣5，﹣4），则可对④进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，则根据二次函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△＝b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac，所以①正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6），开口向上， ∴当x＝﹣3时，函数有最小值， ∴ax2＋bx＋c≥﹣6，所以②正确； ∵抛物线的顶点坐标为（﹣3，﹣6）， ∴9a﹣3b＋c＝﹣6，所以③正确； ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（﹣1，﹣4），且抛物线的对称轴为直线x＝﹣3， ∴点（﹣1，﹣4）关于直线x＝﹣3的对称点（﹣5，﹣4）在抛物线上， ∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1，所以④正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣3， 而点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上， ∵﹣3﹣（﹣5）＞﹣2﹣（﹣3）， ∴m＜n，所以⑤错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 10. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象得出，，二次函数与x轴的交点坐标为和，从而判断出二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，，即可得出答案． 【详解】解：由二次函数的图象可知，，，二次函数与x轴的交点坐标为和， ∴二次函数的开口向上，与轴交于负半轴，且二次函数与正比例函数的交点的横坐标为，，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，得出，． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令得出y的值，从而得出与轴的交点坐标． 【详解】令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键． 12. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 13. 如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：如图， ∵点A在函数的图象上， ∴， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”． 例如，点，是点，的“级变换点”． (1)若函数的图象上存在点，的“级变换点”，则的值为____________； (2)若关于的二次函数() 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是______________． 【答案】 ①. ②. 且 【解析】 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【详解】解：（1）函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． （2）由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，二次函数的性质，根据题意理解新定义是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数的图象经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】将点代入可得答案． 【详解】将点代入， 解得：， 故二次函数的表达式为：． 【点睛】本题考查二次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 16. 已知抛物线，求证:无论为何值，抛物线与轴总有两个交点. 【答案】 证明: . 无论为何值，抛物线与轴总有两个交点. 【解析】 【分析】求得判别式并分解得到平方与正数的和，得到判别式大于0即可证明. 【详解】略 【点睛】此题考查一元二次方程的判别式，正确计算并掌握判别式的三种情况即可正确解题. 17. 已知抛物线：，抛物线图象与轴交于，两点（点在点的右边）． （1）求两点间的距离及抛物线的顶点坐标． （2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点．求平移后新的抛物线表达式． 【答案】（1）4，顶点坐标；（2）或 【解析】 【分析】（1），解一元二次方程，即可得到，两点的坐标，根据坐标可得到两点的距离，将抛物线解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）设新的抛物线的表达式为：，把代入得：，即可得到新的抛物线解析式． 【详解】解：（1）由， 得：， ． 由， ∴顶点坐标： （2）设新抛物线表达式：， 把代入得：． ∴新抛物线表达式是：或． 【点睛】本题考查了求二次函数与轴的交点，求二次函数的顶点式，二次函数的平移规律，熟悉二次函数的性质与平移规律是解本题的关键． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： ．．． 0 1 … ．．． 0 0 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围为_______________． 【答案】（1） （2） 如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，可设解析式为，然后再选择一个合适的值代入求解即可； （2）根据表格在网格中描出点的坐标，然后用圆滑的曲线连接即可； （3）根据时的函数值，再结合函数图象可知当时，，即可写出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得二次函数的顶点坐标为， 设二次函数的顶点式为：， 把点代入得，解得， 抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵， 由函数图象可得： 当时，函数最小值为， 当时，函数最大值为， ∴． 【点睛】本题主要考查求解二次函数的解析式，画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 19. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 【答案】（1）场景A中随变化的函数关系为，场景B中随变化的函数关系为 （2）场景B 【解析】 【分析】（1）由图象可知，场景A中随变化的函数关系为，将，代入，进而可得；场景B中随变化的函数关系为，将代入，进而可得； （2）场景A中当时，；场景B中，将代入，解得，,判断作答即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，场景A中随变化的函数关系为， 将，代入，得， 解得， ∴； 场景B中随变化的函数关系为， 将，代入，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：场景A中当时，； 场景B中，将代入，得，解得， ∵， ∴该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． 【点睛】本题考查了函数图象，一次函数解析式，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20. 小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） 已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元 【解析】 【分析】（1）当时，每天利润y等于每件利润乘以每天的销售量，化简即得；当时，每天利润y等于每件利润乘以每天的销售量，化简即得； （2）当时，二次函数，根据，得到当时，；当时，根据中y随x的增大而减小，得到当时，，比较两个最大值得到该商品销售第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 综上所述：y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 当时， 二次函数， ∵， ∴当时，， 当时， 中y随x的增大而减小， ∴当时，， 综上所述，该商品第10天时，当天销售利润最大，最大利润是3200元． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用——利润问题，解题的关键是熟练掌握“每天利润=每件利润×每天的销售量”，根据二次函数的顶点确定二次函数的最值，根据一次函数的增减性和自变量的取值范围确定一次函数的最值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第三象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）当点在轴上，的面积为6时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式是 （2）自变量x的取值范围为或． （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将与坐标代入一次函数解析式中求出与的值，即可确定出一次函数解析式；再求解C的坐标，将C坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可确定出反比例函数解析式； （2）先求解两函数的另一个交点坐标，再直接由图象法求解即可； （3）如图所示，，，设，结合， 可得：，从而可得答案. 【小问1详解】 解： 一次函数的图象经过、两点， ， 解得：， 一次函数的解析式是； 把代入得：， ∴ 反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式是； 【小问2详解】 解：联立， 解得：，， ∴一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． ∴由图象可得当时，自变量x的取值范围为或． 【小问3详解】 解：如图， ∵，，设， 根据题意得：， 解得：， 则或． ∴点P的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点求不等式解集，坐标与图形性质，以及三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 22. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线． 已知，，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如表： ．．． 9 12 15 18 21 … ．．． 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，____________； （2）求关于的函数解析式； （3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．一次防守中守门员面对足球后退，已知后退过程中守门员速度为2.5， 最大防守高度为2.6． ①求守门员后退到足球正下方所需时间； ②这次守门员能否防守成功？ 试通过计算说明． 【答案】（1）30 （2） （3）①； ②不能成功，理由： 当时，， ∴， 所以守门员不能成功防守． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论； （2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答； （3）①根据路程建立方程计算当足球在守门员正上方时的时间即可，②先求出对应的，再代入二次函数解析式求出，再与最大防守高度比较即可． 【小问1详解】 解：由表格可知，时和时，相等，时，时，相等， 抛物线关于对称， 当时，， 时，； 【小问2详解】 由（1）知，抛物线关于对称，设， 把代入上述解析式， ，解得， 【小问3详解】 ①设守门员到达足球正下方的时间为． 由题意得， 解得， ②略 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键． 23. 已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点． （1）当时，求此抛物线顶点的坐标； （2）当时，若△的面积为4，求此抛物线的解析式； （3）将抛物线向左平移2个单位，向下平移 个单位，得到新抛物线的顶点为A，与轴交点为B，点M在直线上，点N在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线，可得函数解析式，即可解答； （2）先求出点P坐标，求得抛物线对称轴与直线的交点C的坐标，根据，即可解答； （3）写出新抛物线的解析式为，可得，，如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点，连接交、于点，此时四边形的周长最小，再求解直线的解析式，直线的解析式，结合建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将，代入抛物线，得， 解得， 抛物线的解析式为 ， ； 【小问2详解】 如图，的对称轴为直线，顶点P坐标为，而，过作轴交于C， 设直线的解析式为， 将代入， ∴， 直线的解析式为， ， 将代入，得， ， ， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问3详解】 如图， ∵抛物线为， 而，则， ∴平移后的抛物线 ，， 如图，作B点关于的对称点，作A点关于的对称点， 连接交、于点，此时四边形的周长最小， 设直线的解析式为，将，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， 设直线的解析式为，将，代入可得 ，解得， 直线的解析式为， ， ，解得． 【点睛】本题为二次函数综合题目，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练画出大概图形并作出四边形周长最小时的图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 考试分值：150分；考试时间：120分钟； 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 下面的函数是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ） A. 4 B. 9 C. 32 D. 0 4. 根据下列表格中二次函数（，a，b，c为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，， 的大小关系是( ) A. B. C. D. 6. 下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 小勇、小冠、小明、小天四人共同探究函数的值的情况，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A. 小勇认为只有当时，函数值为2 B. 小冠认为找不到实数， 使函数值为0 C. 小明认为抛物线开口向上 D. 小天认为抛物线与轴有两个交点 8. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，其中．将此抛物线向下平移，与轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ） A. 当时，， B. 当时，， C. 当时，， D. 当时，， 9. 如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①b2＞4ac；②ax2＋bx＋c≥﹣6；③9a﹣3b＋c＝﹣6；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的根为﹣5和﹣1；⑤若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n，其中正确结论的个数共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 已知二次函数的图象如图所示，则二次函数与正比例函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 12. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 13. 如图，在函数的图象上任取一点A，过点作轴的垂线交函数的图象于点B，连接，则的面积是_____． 14. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”． 例如，点，是点，的“级变换点”． (1)若函数的图象上存在点，的“级变换点”，则的值为____________； (2)若关于的二次函数() 的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，则的取值范围是______________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知二次函数的图象经过点，求这个二次函数的表达式． 16. 已知抛物线，求证:无论为何值，抛物线与轴总有两个交点. 17. 已知抛物线：，抛物线图象与轴交于，两点（点在点的右边）． （1）求两点间的距离及抛物线的顶点坐标． （2）若将该抛物线沿垂直方向向上平移1个单位，再沿水平方向向右平移若干个单位后，新的抛物线刚好经过点．求平移后新的抛物线表达式． 18. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： ．．． 0 1 … ．．． 0 0 … （1）求这个二次函数的解析式； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围为_______________． 19. 为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量y（克）随时间x（分钟）变化的数据（），并分别绘制在直角坐标系中，如下图所示． （1）从，，中，选择适当的函数模型分别模拟两种场景下随变化的函数关系，并求出相应的函数表达式； （2）查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？ 20. 小明在“生活中的数学”探究活动中，经过市场调查，研究了某种商品的售价、销量、利润之间的变化关系．小明整理出该商品的相关数据如下表所示． 时间x（天） 售价（元/件） 70 每天销量（件） 已知该商品的进价为每件10元，设销售该商品的每天利润为y元． （1）求y与x的函数关系式； （2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第三象限内的图象交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）当点在轴上，的面积为6时，直接写出点的坐标． 22. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线． 已知，，足球飞行的水平速度为，水平距离（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度的鹰眼数据如表： ．．． 9 12 15 18 21 … ．．． 4.2 4.8 5 4.8 4.2 … （1）根据表中数据预测足球落地时，____________； （2）求关于的函数解析式； （3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．一次防守中守门员面对足球后退，已知后退过程中守门员速度为2.5， 最大防守高度为2.6． ①求守门员后退到足球正下方所需时间； ②这次守门员能否防守成功？ 试通过计算说明． 23. 已知抛物线（为常数，）过点，顶点为点． （1）当时，求此抛物线顶点的坐标； （2）当时，若△的面积为4，求此抛物线的解析式； （3）将抛物线向左平移2个单位，向下平移 个单位，得到新抛物线的顶点为A，与轴交点为B，点M在直线上，点N在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $