精品解析：安徽合肥高新创新实验中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段学情检测数学试卷

九年级10月份问卷调查 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面由（、）改写的比例是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　） A. k＜1 B. k＞1 C. 0＜k＜1 D. k≤1 6. 若线段AB=4，点Р是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 若点、和分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点，设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图像如图2所示，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 12. 若，则______． 13. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接，并延长交于点E，若，，则的长为__________． 14. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是______． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 确定抛物线y＝﹣x2+6x+1的开口方向、对称轴和顶点． 16. 如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题． （1）求的度数． （2）求边x，y的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数，解答下列问题： （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． （2）判断点是否在这个函数图象上，说明理由． （3）求当时对应的函数图象在第一象限的点的坐标． 18. 如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． （1）若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ （2）当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数（为常数） （1）求证：不论为何值该函数图象与轴必有公共点； （2）已知点，在二次函数图象上，若，则的取值范围是______． 20. 已知a，b，c是的三边长，，且，试判断的形状． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． 七、（本题满分12分） 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，． （1）求二次函数的表达式． （2）动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点． ①点在抛物线上，与的面积相等，求点到直线的距离； ②在满足①的条件下，当线段的长度最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级10月份问卷调查 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、不是二次函数，不符合题意； B、中的最高次数为，不是二次函数，不符合题意； C、是二次函数，符合题意； D、不是二次函数，不符合题意． 2. 下面几对图形中，相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的判定．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似； C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 3. 下面由（、）改写的比例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的基本性质得到，进而把等积式改写成比例式． 【详解】解：， ， ． 4. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数图象的平移规律“左加右减,上加下减”,进而得出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向上平移3个单位长度，得. 5. 若双曲线的图象的一支位于第三象限，则k的取值范围是（　　） A. k＜1 B. k＞1 C. 0＜k＜1 D. k≤1 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】∵双曲线的图象的一支位于第三象限，∴k﹣1＞0，∴k＞1． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． 6. 若线段AB=4，点Р是线段AB的黄金分割点，则线段AP的长是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】据黄金分割点的定义，知AP可能是较长线段，也可能是较短线段，求解即可． 【详解】解：∵线段AB长是4，P是线段AB的黄金分割点， ∴AP＝， 或AP＝4−（）＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点． 7. 若点、和分别在反比例函数的图象上，且，则下列判断中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出各个点所在的象限，根据反比例函数的增减性可得其中两组点的大小关系，进而比较同一象限点的大小关系即可． 【详解】解：由题意，得点在第二象限，和在第四象限， ∴最大， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标的特点；用到的知识点为：第二象限点的纵坐标总大于第四象限点的纵坐标；在同一象限内，比例系数小于0，y随x的增大而增大． 8. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二，四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，c的符号． 9. 二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③m为任意实数，则；④；⑤若且，则，其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ∴，，， ∴， ，故①正确； ②对称轴是直线，与轴交点在左边， 二次函数与轴的另一个交点在与之间， ，故②正确； ③对称轴是直线，图象开口向下， 时，函数最大值是； 为任意实数，则， ，故③错误； ④， 由②得， ，故④正确； ⑤， ， ， ， ， ， ，， ，故⑤错误； 故正确的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及掌握二次函数与方程之间的转换是解题关键． 10. 如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点，设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图像如图2所示，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即， 解得（负值已舍）． ； 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 二、填空题（每小题5分，满分20分） 11. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点坐标式．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：把二次函数化为顶点式为：； 顶点坐标为：． 故答案为：． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先设比值为，得到，，再代入式子化简计算得到结果 4． 【详解】解：∵ ∴ 设 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 13. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接，并延长交于点E，若，，则的长为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质．正确作出辅助线是解题的关键． 取的中点G，连接，根据三角形中位线性质得，，再证明，得，从而求得，然后根据，代入即可求解． 【详解】解：取的中点G，连接，如图， ∵D是的中点，G是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 14. 定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标一半的点，则把该函数称为“半值函数”，该点称为“半值点”．例如：“半值函数”，其“半值点”为． （1）函数的图象上的“半值点”是______． （2）若关于x的函数的图象上存在唯一的“半值点”，且当时，n的最小值为k，则k的值为______． 【答案】 ①. 和 ②. 0或 【解析】 【分析】（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则可求出，然后问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可分当时，当时，当时，进而根据二次函数的最值问题可进行求解． 【详解】解：（1）设函数的图象上的“半值点”的坐标是，则有： ， 解得：， ∴函数的图象上的“半值点”的坐标是和； （2）由题意得：， 整理得：， ∴，即， 此时可看作是n与m成二次函数关系， 即当时，n有最小值， ∵， ∴当时，则n的最小值为0，即，符合题意； 当时，此时n随m的增大而增大， ∴当时，n有最小值k，即，（此时方程无解）； 当时，此时n随m的增大而减小， ∴当时，n有最小值k，即， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上所述：k的值为0或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 确定抛物线y＝﹣x2+6x+1的开口方向、对称轴和顶点． 【答案】开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标（3，10） 【解析】 【分析】把二次函数化为顶点式，即可得出开口方向、对称轴及顶点坐标． 【详解】解：∵y＝﹣x2+6x+1＝﹣（x﹣3）2+10， ∴开口向下，对称轴x＝3，顶点坐标（3，10）． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）是解题的关键． 16. 如图四边形四边形，依据所标数据，解答下列问题． （1）求的度数． （2）求边x，y的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据相似图形对应角相等，即可求解； （2）根据相似图形对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形四边形， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数，解答下列问题： （1）根据已知的图象部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）． （2）判断点是否在这个函数图象上，说明理由． （3）求当时对应的函数图象在第一象限的点的坐标． 【答案】（1） 如图所示： （2）点不在这个函数图象上 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数图象上点的坐标特征是解答的关键． （1）根据二次函数的对称性画图即可； （2）将点代入函数表达式中求解即可； （3）解方程即可． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：当时，， ∴点不在这个函数图象上； 【小问3详解】 解：当时，由得， ∴时，函数图象上在第一象限的点的坐标为：． 18. 如图，现有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．设的长为，该矩形花圃的面积为． （1）若要围成面积为的矩形花圃，则的长为多少米？ （2）当的长为多少米时，矩形花圃的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1）的长为6米 （2）当的长为5米时，矩形花圃的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意得，为，利用长方形的面积公式列方程，求出的值，再结合题意求出符合的值； （2）根据题意得，再配方变为顶点式，根据的取值范围和二次函数的性质求得围成的花圃的最大面积． 【小问1详解】 解：根据题意得，为， ∴ 解得，， 又∵墙的最大可用长度为， ∴，解得， 舍去， ； 【小问2详解】 解：根据题意得， ， ， 有最大值，且当时，y随x的增大而减小， 由（1）得，， 当时，有最大值， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知二次函数（为常数） （1）求证：不论为何值该函数图象与轴必有公共点； （2）已知点，在二次函数图象上，若，则的取值范围是______． 【答案】（1）证明：令，得方程, 则 , ∵ 不论为何值，， ∴ ，即 ∴ 不论为何值，该方程总有实数根，即该函数图象与轴必有公共点； （2） 【解析】 【分析】（1）计算判别式的值得到，从而根据判别式的意义得到结论； （2）先把点的坐标代入解析式得到, , 则利用得到, 然后解不等式即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：把分别代入中, 得,, , , ∴, 即的取值范围是 . 20. 已知a，b，c是的三边长，，且，试判断的形状． 【答案】直角三角形 【解析】 【分析】本题主要考查的就是比例的性质以及直角三角形的判定．设，可以根据求得k的值，进而求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理，即可判断的形状， 【详解】解：设， 则，，． 因为， 所以．解得． 所以，，． 因为，， 所以． 所以为直角三角形． 六、（本题满分12分） 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足的的取值范围； （3）若点在线段上，且，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） 或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点代入反比例函数求出，再代入点横坐标求出，将、两点代入一次函数解析式，列方程组求出和． （2）对比一次函数图象在反比例函数图象上方部分，读出对应的自变量范围是或． （3）由两个三角形面积比为得到线段比，设，利用两点间距离公式列方程求出，得到． 【小问1详解】 解：∵ 反比例函数的图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数的解析式为． ∵ 点 在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵ 一次函数 的图象经过点 ，， ∴ ， 解得， ∴ 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：观察图象可得， ∴ 的取值范围是 或 ． 【小问3详解】 解：∵ 点 在线段 上，连接，，． ∴ 设，其中， ∵， ∴，即 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ，（不合题意，舍去） 当 时，， ∴ 点 的坐标为 ． 七、（本题满分12分） 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式　 　； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）25元 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式； （2）根据每周的利润＝每本的利润×每周的销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 将（22，36），（24，32）代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． 故答案为：y＝﹣2x+80（20≤x≤28）． （2）依题意，得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150， 整理，得：x2﹣60x+875＝0， 解得：x1＝25，x2＝35（不合题意，舍去）． 答：每本纪念册的销售单价是25元． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用和一元二次方程的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数解析式及利用利润＝每本的利润×每周的销售数量列一元二次方程． 八、（本题满分14分） 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，． （1）求二次函数的表达式． （2）动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点． ①点在抛物线上，与的面积相等，求点到直线的距离； ②在满足①的条件下，当线段的长度最小时，求点的坐标． 【答案】（1）或． （2）①1 ②点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）根据，点在轴负半轴上，进而确定、两点坐标，代入解答即可； （2）①作，垂足为，设点，结合对称性确定点坐标，进而用含的代数式表示出、、； 再根据与的面积相等列式求得的值即可； ②分当点在直线左、右侧时，在中利用勾股定理列式进而解答即可． 【小问1详解】 解：∵，点在轴的负半轴上， ∴点，． 将，代入中， 得 解得 ∴或． 【小问2详解】 解：①作，垂足为，设点坐标为． ，点和点关于直线对称， ． ，，． ， ． ． 点到直线的距离是1． ②当点在直线的左侧时，，，． 在中，． 当时，取最小值1．此时点的坐标为． 当点在直线的右侧时，，，． 同理，． 当时，取最小值1． 此时点的坐标为． 综上可知，点的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $