四川省成都棠湖外国语学校2026-2027学年高二上学期期中数学模拟训练（一）（提升卷）

成都棠湖外国语学校高2025级高二上期期中模拟训练（一）（提升卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题． 根据斜率和倾斜角的关系，计算即可． 【解答】 解：设直线的倾斜角为， 直线，即， ，， ． 故选：． 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：因为， 所以，解得． 故选B． 3.若直线过点，，直线过点，，且，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.已知点的坐标为，直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查点关于直线对称点的求法，属于基础题． 设出点关于直线的对称点的坐标，利用斜率乘积等于，中点坐标在对称轴上，列出方程组求解即可． 【解答】  解：设点的坐标为． 因为点与关于直线对称，所以，且的中点在上，而直线的斜率是， 所以， 又因为，所以， 因为直线的方程为，的中点坐标是， 所以， 由和，解得，所以点的坐标为． 故答案选：． 5.已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：根据椭圆方程的特点，可得且，故B，C错误； 当时，点在椭圆内部， 所以直线与椭圆必有公共点，故 A错误． 故选：． 6.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，是中档题． 由题意分两种情况讨论，结合三角函数的最值即可得解． 【解答】 解：由题意， 当时，， 当时， 当时，  ， 其中， 当时，， 的最大值为． 故选C． 7.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于较难题． 设出椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，利用定义可得：，，解出，利用余弦定理可得关于，的等式，再由基本不等式求得当取最小值时，，的值． 【解答】 解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，， 设，． 则，， ，． ， 化为： ， ， ，则，即，当且仅当，时取等号． 故选：． 8.已知双曲线的下、上焦点分别为，，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为若恒成立，则的离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由题知，点到渐近线的距离由双曲线的定义可得，故，则的最小值为，由恒成立，得恒成立，即，即，即，即，故，即的离心率的取值范围为故选A． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，设方程为，则有(    ) A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和数形结合思想、运算能力，属于拔高题． 求得双曲线的，可得，可判断；设的内切圆的圆心为，由双曲线的定义和圆的切线的性质，结合图形可判断；由条件求得椭圆的，由离心率公式计算可判断；由勾股定理和椭圆的，，的关系，求得，，可得椭圆方程，进而判断． 【解答】 解：由双曲线：可得， 可得，故A错误； 设的内切圆的圆心为，与边，，相切于，，， 可得，，， 而，即， 又，解得，， 可得的横坐标为，即的横坐标为，故B正确； 椭圆中，，， 可得， 由， 则，解得． 则的离心率，故C正确； 若，可得， 又，， 解得，，则椭圆的方程为，故D正确． 故选：． 10.如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，设，，，且均为单位向量，若，，则下列说法中正确的是(    ) A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查空间向量的数量积运算、线性运算，空间向量基本定理． 根据向量的夹角判断；根据空间向量的线性运算判断；结合，将平方判断利用数量积判断． 【解答】 解：根据题意得 对于，与的夹角为与的夹角的补角，为，A错误；  ，B正确； ，C正确；  ，所以，D正确． 11.设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，线段是圆：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是    A. 一定垂直 B. 的最大值为 C. 点的轨迹方程为 D. 的最小值为 【答案】AD  【解析】解：直线，直线， 因为，所以，故正确； 易知过定点，过定点， 在中，设， 则，故错误； 设，则，， ，，即， 整理得，且点不能为点， 故点的轨迹方程为，故错误； 作，则， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 点轨迹方程为， ，的最小值为， 的最小值为，故正确． 故选AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆心为，且经过点的圆的方程是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题． 根据条件先求出圆的半径，然后根据圆的标准方程进行求解即可． 【解答】解：半径， 则圆的标准方程为， 故答案为：． 13.经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的定义，熟练掌握椭圆的定义是解题的关键，是基础题． 由椭圆的定义可得：即可得到三角形的周长． 【解答】 解：由椭圆，可得；  椭圆的定义可得：  的周长  故答案为． 14.如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是          ． 【答案】  【解析】【提示】如图，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设平面的法向量为， 则即 取，得 设，，，， 设，，， ，． 平面， ，， 易知平面，平面的一个法向量为 设与平面所成的角为， 则，，． 当时，，此时当时，，此时故与平面所成角的范围是 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线和直线． 若，求实数的值； 若，求实数的值． 【答案】解：若，则 ，解得或； 若，则 ，解得或． 时，，满足， 时，，此时与重合， 所以．   【解析】本题主要考查两条直线平行的判定及应用，两条直线垂直的判定及应用，属于基础题． 根据两直线垂直的公式有 ，即可求解； 根据两直线平行，，求解，再代回直线验证即可． 16.本小题分 如图，在三棱锥中，，，为的中点． 求证：平面； 若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】证明：因为，为的中点，所以，且由知所以平面． 由题意知，线棱角，二面角的大小是，由三正弦定理得．   【解析】略 17.本小题分 已知椭圆的离心率为，上顶点为． 求的方程 过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值． 【答案】解：因为椭圆  的离心率为，上顶点为， 所以，，即， 因为，解得， 所以椭圆的方程为； 根据题意，设直线，设，， 则，整理得， ，即， ，， ， 即，解得：或舍去， ．  【解析】详见答案 18.本小题分 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． 求证：平面； 求与平面所成角的大小； 在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】解：证明： 因为在中，，，且， 所以，， 则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面， 所以， 又已知，且都在面内， 所以平面； 由知，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系 ， 因为，故， 由几何关系可知， ，，， 故，，， ，，， ，， ， 设平面的法向量为， 则，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设与平面所成角的大小为， 则有 ， 所以， 即与平面所成角的大小为； 假设在线段上存在点， 使平面与平面成角余弦值为， 在空间直角坐标系中， ，，， 设，则，， 设平面的法向量为， 则有，即 不妨令，则，， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则有，即 不妨令，则，， 所以平面的一个法向量为 ， 若平面与平面成角余弦值为， 则满足 ， 化简得， 解得或， 即或， 故在线段上存在这样的点， 使平面与平面成角余弦值为， 此时的长度为或．   【解析】本题考查平面与平面所成角的向量求法，直线与平面所成角的向量求法，线面垂直的判定，棱锥的结构特征，属于较难题． 应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； 以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系用向量法求与平面所成角的大小； 假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得． 19.本小题分 设常数在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点． 用表示点到点的距离； 设，，线段的中点在直线上，求的面积； 设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：由题意设， 由抛物线的性质可知：， ．  ，，，，则， ，， 设的中点， ，， 则直线方程：， 联立，整理得：， 解得：，舍去， 的面积． 存在， 设，， 则且，， 直线方程为， ，， 又因为四边形为矩形， 所以，则， ，解得，即， 存在以、为邻边的矩形，使得点在上，且．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都棠湖外国语学校高2025级高二上期期中模拟训练（一）（提升卷） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.直线的倾斜角为(    ) A. B. C. D. 2.已知向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 3.若直线过点，，直线过点，，且，则等于(    ) A. B. C. D. 4.已知点的坐标为，直线的方程为，则点关于的对称点的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为  (    ) A. B. C. D. 8.已知双曲线的下、上焦点分别为，，点在的下支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为若恒成立，则的离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，设方程为，则有(    ) A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 10.如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，设，，，且均为单位向量，若，，则下列说法中正确的是(    ) A. 与的夹角为 B. C. D. 11.设，过定点的直线与过定点的直线相交于点，线段是圆：的一条动弦，且，则下列结论中正确的是    A. 一定垂直 B. 的最大值为 C. 点的轨迹方程为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.圆心为，且经过点的圆的方程是          ． 13.经过椭圆的左焦点作直线交椭圆于，两点，为椭圆的右焦点，则的周长为          ． 14.如图，在棱长为的正方体中，，分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知直线和直线． 若，求实数的值； 若，求实数的值． 16.本小题分 如图，在三棱锥中，，，为的中点． 求证：平面； 若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 已知椭圆的离心率为，上顶点为． 求的方程 过点斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值． 18.本小题分 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． 求证：平面； 求与平面所成角的大小； 在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 19.本小题分 设常数在平面直角坐标系中，已知点，直线：，曲线：与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点． 用表示点到点的距离； 设，，线段的中点在直线上，求的面积； 设，是否存在以、为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $