精品解析：四川省成都市玉林中学2025-2026学年高二上学期12月期中数学试题

成都玉林中学高2024级高二上期12月诊断性评价试题 数学 命题人：宋永祥 审题人：彭晓夏 审核人：陈虹君 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一般式直线方程求出斜率，进而求出倾斜角. 【详解】由直线方程，则直线的斜率为，即为倾斜角的正切值， 所以倾斜角的大小为. 故选：D 2. 已知空间三点，，，若三点共线，则（ ）． A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量与向量的坐标，根据三点共线，可得向量与向量共线，由此即可求出结果. 【详解】因为，，且三点共线， 所以向量与向量共线， 所以，得． 故选：C. 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 B. 一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 C. 如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】C 【解析】 【分析】由分层抽样公式求样本容量判断A选项；分别计算这组数据的平均数、众数、中位数，即可判断B选项；根据方差和极差的定义判断C选项；利用方差的性质可求得变化之后数据的标准差判断D选项. 【详解】对于A：设样本容量为，则，解得，故A为真命题； 对于B：平均数为，众数为3，中位数为，故B为真命题； 对于C：如果一组数据的方差为零，则这组数据中的每个数据都相等，所以这组数据的极差一定为零，故C为假命题. 对于D：，则， 故数据的标准差为16，故D为真命题. 故选：C 4. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可. 【详解】圆：，所以圆心，半径， 所以弦心距为， 所以弦长为. 故选：B 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件，判断“”和“直线与平行”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】当时，直线与平行； 当直线与平行时， 有，解得或， 当时，与重合，不合题意； 当时，直线与平行； 故“”是“直线与平行”的充要条件， 故选：C 6. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 【答案】B 【解析】 【详解】A1、A2同时不能工作的概率为0.2×0.2＝0.04，所以A1、A2至少有一个正常工作的概率为1－0.04＝0.96，所以系统正常工作的概率为0.9×0.96＝0.864.故选B. 考点：相互独立事件的概率. 7. 已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出直线过定点，再求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可. 【详解】因为直线：，即， 令，解得， 所以直线过定点， 又，，直线的斜率为， 要使直线与线段有公共点，由图可知，即的取值范围是.    故选：A 8. 已知，且，则代数式的最小值为（ ） A. B. 18 C. 12 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设与，为的中点，可证明点在以为圆心，为半径的圆上，由，结合两点距离的几何意义即可求解. 【详解】 设与为圆上一点， 则，得， ，即为等腰直角三角形， 设为的中点，则， 得，即点在以为圆心，为半径的圆上， 故， 所以点到定点的距离的最小值为， 因此的最小值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆：与圆：相交，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系列不等式即可得的取值范围，从而得所求. 【详解】因为圆：的圆心为，半径为， 圆：的圆心，半径为， 由于两圆相交，则， 所以，解得， 故的值可以是4,5,6. 故选：ABC. 10. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例判断A；根据互斥事件的概念及加法概率公式判断B；根据对立事件的概念判断C；根据独立事件的概念判断D. 【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中， 设 “至少有一次正面向上”， “两次都是正面”， 显然，但与不是对立事件，故A错误； 选项B：因为，是互斥事件，所以，，故B正确； 选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； 选项D：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立， 因为，，，满足， 因此事件，相互独立，故D正确. 故选： BD 11. 已知直线：，圆：，动点在直线上，过点作圆的两条切线；切点分别为、，则下列描述正确的有（ ） A. 若，则 B. 圆上有2个点到直线的距离为1 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用切线长公式求解判定A；圆心到直线的距离及点与圆的位置关系可判定B；由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值即可判定C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程判定D. 【详解】圆：的圆心，半径，连接， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，点到直线的距离，故直线与圆相离， 因为，所以圆上有2个点到直线的距离为1，故B正确； 对于C，由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为，故存在点，使得，故C正确； 对于D，设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由，解得， 即直线过定点，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用线面平行的向量性质，将几何问题转化为向量的数量积运算问题，通过解方程求解实数即可. 【详解】因为直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 当，可得，所以， 即，所以，解得. 故答案为：. 13. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________. 【答案】1500只 【解析】 【分析】根据样本数据估计总体数据即可. 【详解】由题可设该自然保护区中天鹅的数量的估计值为， 从而可得，解得， 故该自然保护区中天鹅的数量估计值为1500只. 故答案为：1500只. 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，应用两点距离公式列方程求轨迹，结合已知圆的方程求出及点的坐标，再由，数形结合求目标式最小值. 【详解】设，依题意，，即， 整理得，则，解得，即， 点到直线的距离为， 由得， 当且仅当三点共线时取等号， 此时直线的斜率为，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，故存在点使得三点共线， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程； （2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系好点斜式方程可得； （2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得. 【小问1详解】 由题知，直线的斜率为，所以，所求直线的斜率为， 又直线过点，由点斜式方程得所求直线方程为， 整理得． 【小问2详解】 设所求直线方程为：， 则，，或， 或为所求． 16. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 由题可知,所以线段的中垂线的斜率等于1， 又因为的中点为， 所以线段的中垂线的直线方程为， 即， 联立 解得 ，所以圆心 又因为半径等于,所以圆的方程为. 【小问2详解】 设圆的半径为，则， 若直线的斜率不存在，因为直线过点， 所以直线方程为， 此时圆心到直线的距离，满足题意; 若直线的斜率存在，设斜率为， 则切线方程为，即， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离， 解得， 所以切线方程为，即. 所以切线方程为或. 17. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 【答案】（1）， （2）众数为70；分位数为71.7 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得； （2）根据频率分布直方图中百分位数和中位数的计算求解即可； （3）先由分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以. 【小问2详解】 根据频率直方图可知，众数为； 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为． 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有 ，共有10种情况， 其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况， 故选出的两人来自不同组的概率为． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）是否存在正数，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；否则，请说明理由. 【答案】（1） 取中点，连接，， 因为，点为中点， 所以， 则，所以， 因为，，，所以， 又，则，故， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） （3） 设平面的一个法向量为， 又， 则，令，得， 因为，且直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，解得， 故存在 时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，根据等腰三角形得，再根据几何计算结合勾股定理逆定理可得，由线面垂直判定定理得平面，再根据面面垂直判定定理证得结论； （2）建立空间直角坐标系，计算平面平面与平面的法向量，利用空间向量坐标运算即可得平面与平面夹角的余弦值； （3）确定平面的法向量以及直线的方向向量，根据线面夹角正弦值与向量夹角余弦值关系列方程求解的值即可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得平面，如图作，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 又， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 又， 则，令，得， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 略 19. 已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）设动点坐标，方法1由直线垂直斜率乘积为求得轨迹方程；方法2由直角三角形斜边上的中线得到即可求得轨迹方程；方法3,由勾股定理建立方程求得轨迹方程； （2）方法1设，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，然后借助双勾函数的单调性求得最值；方法2讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出的代数式，换元后借助二次函数求出最值； （3）由（2）中方法1得到交点纵坐标的关系，列出代数式，由圆的方程和直线方程消元，将代数式整理成关于纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由为定值得到方程，解得参数，即解得Q点坐标 【小问1详解】 法1：设，由题意、存在， ∴， ∴曲线T的方程为：． 法2：由，得，∴曲线T的方程为：． 法3：∵，∴， 即曲线T的方程为：． 【小问2详解】 法1：由题意可知：直线l一定与T相交于不同的两点，且直线l的斜率不为0， 不妨设，，， 由，解得． 由韦达定理得：，． ∵ ． 令，则，． 又∵，∴，∴． 法2：当直线不存在斜率时，即， 则，，； 当直线存在斜率时，不妨设，，， 由，解得：， 由韦达定可得：，， 则，， 则， 令 则，，则， 综上所述，∴． 【小问3详解】 由（2）中方法1可知，，， ， 因为，所以， 同理， 所以， 将，代入上式，可得 使得为定值，则，则或或， 即存在，，满足要求． 【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，动直线与圆交点形成的交点三角形，以及圆中动点问题.本题的关键在于找到设动直线方程，与圆的方程联立方程组，借助韦达定理，即可解答本题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都玉林中学高2024级高二上期12月诊断性评价试题 数学 命题人：宋永祥 审题人：彭晓夏 审核人：陈虹君 （时间：120分钟；总分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间三点，，，若三点共线，则（ ）． A. B. 1 C. D. 2 3. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 B. 一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同 C. 如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 4. 直线：被圆：所截得的弦长为（ ） A. B. 1 C. D. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576 7. 已知点，.若直线：与线段相交，则的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则代数式的最小值为（ ） A. B. 18 C. 12 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 圆：与圆：相交，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么与相互对立 B. 若，是互斥事件，则 C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件 D. 已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 11. 已知直线：，圆：，动点在直线上，过点作圆的两条切线；切点分别为、，则下列描述正确的有（ ） A. 若，则 B. 圆上有2个点到直线的距离为1 C. 存在点，使得 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则______. 13. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只.根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________. 14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点与两定点，的距离之比，那么点的轨迹是圆.已知动点与定点和定点的距离之比为2，动点的轨迹方程为.若点在直线上，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）求经过点，且垂直于直线的直线的方程； （2）求与直线平行，且到直线的距离为的直线的方程． 16. 已知圆经过和两点，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）从点向圆C作切线，求切线方程． 17. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，，，，点是的中点. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）是否存在正数，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；否则，请说明理由. 19. 已知的两个顶点，，直角顶点C的轨迹记为曲线T，过点的直线l与曲线T相交于M，N两点． （1）求曲线T的方程； （2）若点，记的面积为，求的取值范围； （3）是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的Q点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $