专题09 二次函数实际应用七大题型突破-高频考点题型归纳与满分必刷题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题09 二次函数实际应用七大题型突破 【题型01 ：投球问题】 【题型02 ：喷泉问题】 【题型03 ：拱桥问题】 【题型04：面积问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：图形运动问题】 【题型07：其他问题】 【题型01 ：投球问题】 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是．其中正确结论的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令，解方程可得的值，即可得①正确；求出二次函数的最大值即可得④、②正确；根据小球从地面竖直向上抛出可得小球落地的水平距离为，则可得③错误． 【详解】解：令，则，解得，， ∴小球从抛出到落地需要；结论①正确； ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为9， 即当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是；结论④正确； ∵， ∴小球运动中的高度可以是；结论②正确； ∵小球是从地面竖直向上抛出， ∴小球落地的水平距离为；结论③错误； 综上，正确结论的个数为3个． 2．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：函数， ， 该函数图象开口向下，有最大值， 对称轴为， 将代入得：， 即小球速度的最大值为． 3．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． 4．在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式； (2)如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)球出手时，他跳离地面的高度是米 【分析】（1）根据题中建立的平面直角坐标系，将二次函数经过的点的坐标找出来，再利用待定系数法求解； （2）根据题意，小杨所在位置为轴处，令求出球出手时的高度，即可求出小杨跳离地面的高度． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过点， 其中点为抛物线的顶点， ∴设抛物线表达式为， 将代入中，得， 解得， ∴抛物线表达式为． （2）解：令，则， （米）， ∴球出手时，他跳离地面的高度是米． 5．【亚运赛场观察】年9月日，在第届亚运会羽毛球男单决赛中，中国选手通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一点，他在网前吊球时的运动路线可以近似抽象成一条抛物线，如图所示． 【数学建模】选手发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【答案】(1)直角坐标系如图所示： (2) (3) 【分析】（1）以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得该击球方式接球地点，由乙站在球网右侧和羽毛球离地高度不小于，即可得出结论． 【详解】（1）解：以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系； 连接，设抛物线解析式为， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 把，代入函数解析式得 解得 ∴； （2）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ∴． ∴； （3）解：把代入抛物线解析式得， 解得，， ∵乙站在球网右侧， ∴． ∵羽毛球离地高度不小于， ∴． ∵， ∴． ∵乙站在球网右侧， ∴的取值范围为． 【题型02 ：喷泉问题】 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为． 7．如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， 当时，， ∴高度为． 8．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)应把水管加长 【分析】（1）设抛物线的解析式为， 根据题意求出，得到抛物线的解析式，即可解答； （2）设应把水管加长，求出平移后抛物线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴水管的长度为； （2）解：设应把水管加长，在抛物线的形状、大小不变的情况下，相当于把抛物线向上平移了个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴应把水管加长． 9．综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)点B的坐标为； (3) 【分析】（1）易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； （2）设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得：， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为； （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 10．综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能， 理由：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∵， ∴水柱不能喷中该目标顶端． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中函数解析式求出点M的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，然后把代入直线的解析式，求出函数值，最后与目标高度对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式为； （2）略 11．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【答案】(1)； (2)落水点到喷头立柱的水平距离为米； (3)不能，喷头至少向上调整高度米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程． (1)用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)当时，可得一元二次方程：，解方程求出或，因为落水点在右侧，所以； (3)根据船的宽度和高度可知，如果船安全通过则当时，实际上当时，所以船不能安全通过． 【详解】（1）解：从数据表可知，抛物线对称轴，顶点为， 设解析式为， 图象经过， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 整理得：， 解得：或， 喷头在，落水点在右侧， ， 落水点到喷头立柱的水平距离为米； （3）解：设船宽米，对称轴， 船边位置为与， 船顶高米，安全距离不小于米， ， 将代入， 可得：， ， 船不能安全通过， ， 喷头至少向上调整高度米． 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 可知当时，取得最大值，即水流的最大高度为． 7．如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示： 则：， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， ∴， 当时，， ∴高度为． 8．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)应把水管加长 【分析】（1）设抛物线的解析式为， 根据题意求出，得到抛物线的解析式，即可解答； （2）设应把水管加长，求出平移后抛物线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴水管的长度为； （2）解：设应把水管加长，在抛物线的形状、大小不变的情况下，相当于把抛物线向上平移了个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴应把水管加长． 9．综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)点B的坐标为； (3) 【分析】（1）易得的顶点A的坐标，用顶点式表示出的分析式，进而把点H的坐标代入可得a的值，取，可得的长度； （2）设出平移后的分析式，进而把点H的坐标代入可得m的值，取，求得相应的x的值可得抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，点D与点B重合或点F在上，分别求得对应的的长，可得的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得：点是外边缘抛物线的顶点， 设， 抛物线过点， ， ， 外边缘抛物线的函数解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 喷出水的最大射程为； （2）解：由左右平移得到， 设， 经过点， ， 解得：，（舍去）， ， 把代入，得：， 解得：，（舍去）， 点B的坐标为； （3）解：要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带， 点D与点B重合或点F在上， 当点D与点B重合时，， 当点F在上时，， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， 的取值范围是． 10．综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能， 理由：当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∵， ∴水柱不能喷中该目标顶端． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）中函数解析式求出点M的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，然后把代入直线的解析式，求出函数值，最后与目标高度对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， ∴水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式为； （2）略 11．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【答案】(1)； (2)落水点到喷头立柱的水平距离为米； (3)不能，喷头至少向上调整高度米． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程． (1)用待定系数法求出二次函数的解析式； (2)当时，可得一元二次方程：，解方程求出或，因为落水点在右侧，所以； (3)根据船的宽度和高度可知，如果船安全通过则当时，实际上当时，所以船不能安全通过． 【详解】（1）解：从数据表可知，抛物线对称轴，顶点为， 设解析式为， 图象经过， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，可得：， 整理得：， 解得：或， 喷头在，落水点在右侧， ， 落水点到喷头立柱的水平距离为米； （3）解：设船宽米，对称轴， 船边位置为与， 船顶高米，安全距离不小于米， ， 将代入， 可得：， ， 船不能安全通过， ， 喷头至少向上调整高度米． 【题型03 ：拱桥问题】 12．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 【答案】(1) (2)隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶．理由如下： 当最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶时， ∴，， ∴将代入解析式得：； ∴， ∴隧道能让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶． 【分析】（1）利用顶点式求出二次函数解析式即可； （2）根据已知条件可知当时，正好是汽车宽度，求出此时抛物线的纵坐标，然后判断是否满足题意即可解答． 【详解】（1）解：根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴． （2）略 13．综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 【答案】(1)直角坐标系见详解， (2)， 【分析】（1）以拱顶为原点建立平面直角坐标系，这样抛物线的顶点就是，已知水面宽，拱顶离水面，那么抛物线过点，据此求解即可； （2）分析安全条件，该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长，分析悬挂点的纵坐标需满足的条件即可． 【详解】（1）解：以拱顶为原点，建立如图1所示的平面直角坐标系，则顶点为，且过点， 设抛物线的解析式为：，把点代入得：， ∴， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：∵该河段水位再涨达到最高，灯笼底部距离水面不小于，灯笼长， ∴当悬挂点的纵坐标， 即悬挂点的纵坐标的最小值是， 当时，， ∴， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是：． 14．某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法得到抛物线的解析式． （2）根据射灯的放置方式得到射灯的横坐标，进而得到射灯的坐标． 【详解】（1）解：由图可知抛物线的顶点坐标为，即， ∴设抛物线的解析式为， ∴将代入，得：， ∴解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等， ∴射灯之间的距离为，最外侧射灯的横坐标到轴的距离为， ∴盏射灯的横坐标分别为， 当和时，， 当和时，， ∴四盏射灯的位置坐标分别为． 15．温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳．小明家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面由抛物线和矩形构成，如图，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在横梁上方至顶端部分加装两根与轴平行的支撑柱、，并沿、安装斜支撑杆，已知、、为的四等分点（即），且、均在抛物线上，求两根斜支撑杆的总长度（即求的长）． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，把代入，求出的值即可； （2）根据矩形的性质得出米，根据、、为的四等分点得出米，把代入抛物线的解析式即可求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，得，抛物线的顶点， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线AEC的函数表达式为． （2）解：∵四边形是矩形，米， ∴米， ∵、、为的四等分点， ∴（米）， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴两根斜支撑杆的总长度为米． 16．某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． (1)请求出拱门最高点距地面的高度． (2)若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． (3)若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)可以安全通过拱门，理由见解析 (3)每两人的间距d的范围为米时，队伍才能安全通过拱门 【分析】（1）求出点，，利用待定系数法求出函数解析式，进一步即可求出答案； （2）求出当的自变量的值，进行解答和比较即可； （3）求出每两人的间距d的范围即可求出答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为． 由题意得米， ∴米，， ∵米， ∴． 将点，代入得 ， 解得， ∴该抛物线的解析式是．   当时，． 答：拱门最高点距地面的高度为米． （2）可以安全通过拱门． 理由如下：由题意得，当时，， 解得，． ∵（米），（米）， ， ∴可以安全通过拱门． （3）解：由题意得（米）， ∴每两人的间距d的范围为米时，队伍才能安全通过拱门． 17．如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边的长为，面积为已知篱笆总长为． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当边的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意得的长为，可得，根据矩形的面积公式可得出y与x的函数关系式，由矩形的边长可列不等式求出x的取值范围； （2）根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得的长为，可得， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：， ， ∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 18．如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，取最大值，最大值为108 【分析】（1）根据篱笆总长列方程：三条竖直段（、中间隔墙、）各长米，水平段扣除两个1.5米宽的门后使用篱笆，总长33米，由此表示，再用矩形面积公式得与的关系． （2）将关于的二次函数配方为顶点式，结合确定的取值范围，在范围内求最大值． 【详解】（1）解：篱笆用于、、中间隔墙和（扣除两个门）， ， ， ． （2）解：， 墙长18米，， ，解得， 又， ，解得， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值108． 19．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质： （1）根据题意，可设点的坐标为，因为点在直线的图象上，可得 ； （2）因为的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值． 【详解】（1）根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 根据题意，可设点的坐标为． 因为点在直线的图象上，可得 ． 所以点的坐标为． 所以． 所以，即 ． （2）因为的图象开口向下，对称轴为， 所以，当时，可以取得最大值，最大值为，此时点的坐标为． 20．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)时，的最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键． （1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可； （2）利用矩形的性质得出邻边关系进而得出，由根据二次函数的最值即可求． 【详解】（1）解：如图，设交于点N， 由题意知四边形是矩形，则， 设正方形的边长为，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个正方形的边长是；     （2）解：在矩形中，，， 由（1）可得：， ∴（）； ∴ ， ∴时，的最大值是． 【题型04：面积问题】 17．如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边的长为，面积为已知篱笆总长为． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当边的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据题意得的长为，可得，根据矩形的面积公式可得出y与x的函数关系式，由矩形的边长可列不等式求出x的取值范围； （2）根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得的长为，可得， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：， ， ∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 18．如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，取最大值，最大值为108 【分析】（1）根据篱笆总长列方程：三条竖直段（、中间隔墙、）各长米，水平段扣除两个1.5米宽的门后使用篱笆，总长33米，由此表示，再用矩形面积公式得与的关系． （2）将关于的二次函数配方为顶点式，结合确定的取值范围，在范围内求最大值． 【详解】（1）解：篱笆用于、、中间隔墙和（扣除两个门）， ， ， ． （2）解：， 墙长18米，， ，解得， 又， ，解得， ， ，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值108． 19．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 【答案】(1) (2)最大值为，此时点的坐标为 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象和性质： （1）根据题意，可设点的坐标为，因为点在直线的图象上，可得 ； （2）因为的图象开口向下，对称轴为，所以，当时，可以取得最大值． 【详解】（1）根据题意可知，点的坐标为，点的坐标为． 根据题意，可设点的坐标为． 因为点在直线的图象上，可得 ． 所以点的坐标为． 所以． 所以，即 ． （2）因为的图象开口向下，对称轴为， 所以，当时，可以取得最大值，最大值为，此时点的坐标为． 20．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？ 【答案】(1) (2)时，的最大值是 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定、二次函数的应用，得出是解题关键． （1）首先得出，进而利用相似三角形的性质求出即可； （2）利用矩形的性质得出邻边关系进而得出，由根据二次函数的最值即可求． 【详解】（1）解：如图，设交于点N， 由题意知四边形是矩形，则， 设正方形的边长为，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 答：这个正方形的边长是；     （2）解：在矩形中，，， 由（1）可得：， ∴（）； ∴ ， ∴时，的最大值是． 【题型05：每每问题】 21．商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元 【分析】（1）根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件，根据总利润=每件的利润乘以销售的总件数，解答即可． （2）根据题意，得，利用二次函数的性质 解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得降价后每件商品的实际利润为元，实际的销售量为件， 故， 且， 故． （2）解：根据题意，得 ， ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为1800元． 故每件商品降价20元时，商场每天销售这种商品的利润最大，最大利润是1800元． 22．年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为. (2)售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 【详解】（1）解：设月平均增长率是，根据题意得： ，解得：，（舍）， ∴月平均增长率为. （2）解：设售价降低元，收入为，则根据题意得：， 化简得：， 配方得：， ∵， ∴此二次函数开口向下，对称轴是直线，有最大值，当时，（元）， ∴售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 23．根据以下生活素材，探索、解决问题： 【生活素材】 素材1：某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为． 素材2：保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用． 【解决问题】 批发商将这批水果保存天后一次性卖出，获得的总利润为（元）． (1)问题1：当时，则卖出时水果的售价为__________元/千克，获得的总利润为__________元； (2)问题2：设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； (3)问题3：求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 【答案】(1)62； (2)（，且为整数） (3)11600元 【分析】（1）根据售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系即可求出卖出时水果的售价，根据题意计算利润即可； （2）根据利润的计算方法列出函数解析式即可； （3）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 即卖出时水果的售价为62元/千克， （元） 即卖出时水果获得的总利润为元； （2）解：由题意可得， （，且为整数） （3）解：， 为整数，当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，， 答：批发商所获利润最大为11600元． 24．综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每把元时，每月可销售把；若塑料椅的售价每降价元，则销售量增加把，塑料椅的进价为每把元，假设塑料椅全部售完（进货量销售量），设每把塑料椅降价元，备注：总利润（售价进价）销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务：每把塑料椅的实际利润为________元（用含的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含的代数式表示）． (2)任务：若经销商计划进货不超过把，能否让每月利润达到元？若能，请求出此时塑料椅的售价，若不能，请说明理由． (3)任务：根据试售情况，经销商计划进货不超过把，试问经销商每月利润有最大值吗？若有，求出最大值，并求此时塑料椅的售价，若没有请说明理由． 【答案】(1)； (2)解：能让每月利润达到元；此时塑料椅的售价为45元．理由如下： 根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，塑料椅的销售量为把，小于200把，符合题意； 当时，塑料椅的销售量为把，大于200把，不符合题意，舍去； 故能让每月利润达到元；此时塑料椅的售价为45元． (3)解：有最大值，最大值为3960元，此时塑料椅的售价为42元.理由如下： 根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． 设总获利记作y元， 根据题意，得， ， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为4000元，此时塑料椅的售价为40元． 当时，塑料椅的销售量为把，不满足进货不超过把， 故不符合要求； 根据题意，得。 ， 当时，塑料椅的销售量为把，符合要求， 故y有最大值，当时，函数取得最大值，且最大值为3960元，此时塑料椅的售价为元． 【分析】（1）根据题意，得每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． （2）塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把．根据题意，得，解答即可． （3）根据题意，得塑料椅的售价为元，每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把．设总获利记作y元，根据题意，得，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得每把塑料椅的实际利润为元，塑料椅的销售量为把． （2）略 （3）略 25．某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用． (1)若每个房间的定价为每天210元时，则会住满______个房间，宾馆的总利润是______元． (2)房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？ 【答案】(1)，； (2)房价定为元时，宾馆利润取得最大值． 【分析】（1）根据题意列式计算即可得到答案； （2）设每个房间定价增加元，根据题意，得出利润的关系式，再根据二次函数的性质，即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意得：；元， 即会住满个房间，宾馆的总利润是元． （2）解：设每个房间定价增加x元， 依题意得：所获利润， 当元时，利润最大， 元， 即房价定为元时，宾馆利润取得最大值． 【题型06：图形运动问题】 26．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； (2)当四边形的面积等于时，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据，的长度以及点P和点Q的速度求出x的取值范围，再根据代入计算即可得出y与x之间的函数关系式； （2）根据题意得，因式分解法解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：，，故， 设运动的时间为，则，， ∴， ∴ ， 即． （2）解：根据题意：， 整理得：， 解得：，， 即当四边形的面积等于时， x的值为或． 27．在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 (3)存在，当时，的面积最大，则． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴, ∵点从点开始沿边向终点以的速度移动， ∴， ∴； （2）解：根据勾股定理可得， ∴ 解得：或， ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题可得：， ∵， ∴当时，的面积最大，则． 28．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①（）②的取值范围为 【分析】（1）过点作于点，根据是等腰直角三角形，得到，得到点的坐标，根据正方形的性质得到点的坐标． （2）①先根据平移规律表示出平移后正方形各顶点的坐标，求出直线的解析式，结合重叠部分为五边形的图形特征，通过“正方形面积减去空白等腰直角三角形面积”的方法表示出重叠面积，并根据交点的位置范围确定的取值范围； ②根据平移过程中重叠部分的形状变化进行分段讨论，结合各段对应函数的增减性，分别求出给定区间内的最大值与最小值，最终得到的取值范围． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是等腰直角三角形， ，， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是, 正方形的顶点， ， ， 点的坐标是； 故答案为：；； （2）解：正方形沿轴向右平移个单位后，顶点坐标为： ，，，， 直线：过、，解析式为； 直线：过、，斜率为，解析式为 ①是竖直线，与交于； 是水平线，与交于， 重叠部分为五边形时，在边上，在边上， 解得， 此时重叠面积正方形面积左上角的面积， 是等腰直角三角形，直角边长， ， 正方形面积为，因此： ； ②分三段分析函数单调性与最值： 当时，，开口向下，对称轴为，随增大而增大， 时，；时，； 当时，正方形右上角被切去等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 当时，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为，面积，随增大而减小， 时，； 的取值范围为． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中图形在坐标系中的位置与平移，等腰直角三角形的性质、正方形的性质，分情况讨论确定重叠部分的面积． 29．如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动． (1)当______s时，的面积是2． (2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分． ①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象； ②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值． 【答案】(1)当或时，的面积是2 (2)①； 画出时的函数图象如下： ②或 【分析】（1）分三种情况，当点P在上时；当点P在上，点Q未到达点C时；当点P在上，点Q到达点C时，即可求解； （2）①结合（1）分三种情况：当时；当时；当时，结合二次函数的和一次函数的性质解答即可；②结合①中函数关系式，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：当点P在上时，此时，其中， ∵，的面积是2， ∴，即， 解得：（负值舍去）； 当点P在上，点Q未到达点C时，过点Q作于点D，过点A作于点E，此时，，，其中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是2， ∴， 即， 解得：（均不符合题意）； 当点P在上，点Q到达点C时，过点A作于点E，此时，，其中， ∵的面积是2， ∴，即， 解得：； 综上所述，当或时，的面积是2； （2）解：①由（1）得：当时，， 此时当时，S取得最大值，为； 当时，， ∵， 此时当时，S取得最大值，为； 当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴此时当时，S取得最大值，为； 综上所述，S的最大值为； 对于，当时，， ∴函数的图象过点． ②当时，， 此时（负值舍去）； 当时，， 此时（不符合题意，舍去）； 当时，， 此时； 综上所述，的面积为3时，对应的的值为或． 30．如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 【答案】（1）①1；②；（2）①16；②（），最大值为；（3） 【分析】（1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）②中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据当时，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）①点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．设运动时间为， 当时，，， 作于点E，如图1，    ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为：； ②由题意，得：，， ∴， ∴； （2）①由图象可知，当时，此时点P恰好运动到点C， 由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，， 将两点坐标分别代入，得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为（）； 当时，S取得最大值，最大值为； （3）由题图2可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴，， 由题意可知，， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴，， 当时，， ∴当时，的值为． 【题型07：其他问题】 31．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； (2)进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 【答案】(1)函数，的大致图像如下： (2)场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为 (3)该化学试剂在A场景下效果更好，理由如下： 令得，解得或（舍去）， 令得，解得， ，当时，， 两种场景有效时长相同，但同一时刻场景A剩余质量更高， 该化学试剂在A场景下效果更好． 【分析】（1）根据表格的数据在平面直角坐标系中依次描出点、，再分别用光滑曲线顺次连接对应点，画出函数，的大致图像； （2）场景A是二次函数，把表格里两组点坐标代入解析式，列二元一次方程组求出b，c，得到关系式；场景B是一次函数，代入一组点坐标求出a，得到关系式； （3）别令、，解方程求出两种场景下试剂降到最低有效质量克对应的时间，对比得到二者有效时长相等，再比较范围内同一时刻和的大小，结合“同一时刻剩余质量越高效果越好”的条件，判断场景A效果更好． 【详解】（1）略 （2）解：过点和， ，解得， ， 过点， ，解得， ， 综上所述，场景A满足的函数关系式为，场景B满足的函数关系式为； （3）略 32．综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合，某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用情境． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为x轴，锅的竖直对称轴为y轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】 如图1，建立基础模型 (1)求抛物线． (2)初始状态下的函数表达式为______． 【任务二】 如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的小蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为____________． 【任务三】 使用空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点P是锅盖上任意一点，平行于y轴交进风口于点Q，小明说：存在，使得线段，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由．（线段的长度等于Q点纵坐标减去P点纵坐标） 【答案】(1) (2) (3) (4)解：小明的说法正确，理由： 设， 则 ， 是m的二次函数， ， 开口向上， 对称轴为直线， 当时，， 当时，， ， 小明的说法正确． 【分析】（1）先求出顶点坐标，设顶点式，利用待定系数法求解； （2）设初始状态下抛物线的解析式为，将B点坐标代入即可求解； （3）在锅口上放上高的蒸笼时，抛物线向上平移，由此可解； （4）设出P，Q坐标，列出关于m的二次函数，结合m的取值范围求出的最小值和最大值，即可判断． 【详解】（1）解：由题意知，，， ，， 为抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线可由基础抛物线上下平移得到， 设初始状态下抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 初始状态下的函数表达式为； （3）解：由题意知，平移后抛物线的函数表达式为：． （4）略 33．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 【答案】(1); (2) (3) 【分析】（1）根据直线的表达式可知点的坐标，根据无人机的水平距离可知点的坐标； （2）将点的坐标代入即可求解； （3）根据平移的性质可知平移后的函数解析式，代入点的坐标即可求解范围． 【详解】（1）解：∵直线的表达式为，A的高度为：千米， 则得， 解得：， ∴ 无人机的速度为20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点， 则水平距离为：（千米） 则点的横坐标为：， 则点； （2）解：∵抛物线经过点, 则将点代入抛物线的表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （3）解：由题可知点, 由（2）可知抛物线的顶点坐标为：, 则平移后得顶点坐标为， 点平移后的坐标为： 则新抛物线的表达式为：， ∴抛物线的轨迹在点的上方， 将点的坐标代入可得， 解得： 则的最大值为：． 34．兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时发现：兔子某次跳跃的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．以起跳点O为原点，落地点M所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； (2)若兔子从点O正上方的点处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离； (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形，其中，，兔子在距离灌木丛B的的E处起跳．判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛．若能，说明理由；若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过． 【答案】(1)， (2) (3)不能，起跳处放一个高为的台阶就可以通过 【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，然后可设二次函数表达式为，进而利用待定系数法进行求解即可； （2）由题意可知新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到，则有表达式为，然后问题可求解； （3）根据题意可分别把和代入函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为40， 顶点的坐标为， 设二次函数表达式为， 把代入得：， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵运动路线形状不变，过点， ∴新的函数可以看作把抛物线向上平移45个单位长度得到， ∴表达式为， 令，解得， ， ， ； （3）解：不能，由题意知，，则有， 令，代入表达式得：， 令，代入表达式得：， ， ∴在起跳处放一个高为的台阶就可以通过． 35．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 【答案】(1) (2)当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学 【分析】（1）根据题意得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意确定最边侧同学的横坐标，纵坐标，代入计算函数值进行比较即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∴， 设绳子摇至最高点时的抛物线为，把代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：9名同学中，身高最小的是，在最右（左）边， ∵将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距， ∴最右则同学的横坐标为， ∵当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，头顶到地面的高度是身高的， ∴此时，头顶到地面的高度是， 在抛物线中， 当时，， ∵， ∴当绳子在最高点时，长绳不会触碰到最边侧的同学． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数实际应用七大题型突破 【题型01 ：投球问题】 【题型02 ：喷泉问题】 【题型03 ：拱桥问题】 【题型04：面积问题】 【题型05：每每问题】 【题型06：图形运动问题】 【题型07：其他问题】 【题型01 ：投球问题】 1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：①小球从抛出到落地需要；②小球运动中的高度可以是；③小球落地的水平距离是；④当小球运动的时间是时，小球运动的最大高度是．其中正确结论的个数为（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，实心小球从某处由静止状态下落到正下方竖直放置的弹簧上并压缩弹簧．已知从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中，小球的速度与弹簧被压缩的长度之间的函数关系式为，则这个过程中，小球速度的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（    ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 4．在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为米时，到达最高点，此时球离地面的距离是米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为米．如图建立平面直角坐标系． (1)求此抛物线的表达式； (2)如果小杨的身高是米，在这次跳投中，球在头顶上方米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ 5．【亚运赛场观察】年9月日，在第届亚运会羽毛球男单决赛中，中国选手通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一点，他在网前吊球时的运动路线可以近似抽象成一条抛物线，如图所示． 【数学建模】选手发现网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图2所示，从点击球，击球点是抛物线的最高点，点到地面的距离，球网的上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设击球路线经过点正上方处的点，网前吊球的落点为点． (1)请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求出击球路线的函数表达式． 【模型应用】 (2)网前吊球的落点到球网的距离 ； (3)甲在处网前吊球，乙站在球网右侧，只有当羽毛球离地高度不小于时，乙才能成功接球，求乙能接到球时拍面距离球网的水平距离的取值范围． 【题型02 ：喷泉问题】 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 8．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 9．综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 10．综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 11．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 6．某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在地面上的A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与点A的水平距离为处达到最高点C，点C距离地面的高度为，水柱落地点D到A处的距离为，则水管的顶端B距地面的高度为（     ） A． B． C． D． 8．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 9．综合与实践 【主题】优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率 【问题背景】如图1，洒水车沿着平行于公路绿化带方向行驶，同时向右侧绿化带浇水．数学兴趣小组的同学想了解洒水车要如何控制行驶路线与绿化带之间的距离，才能保证喷出的水能浇灌到整个绿化带，为解决这个问题，数学兴趣小组同学通过建立数学模型进行探索． 【数学建模】如图2，建立平面直角坐标系，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；喷水口H离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，表示洒水车和绿化带之间的距离．内边缘抛物线是由外边缘抛物线向左平移得到，外边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 【解决问题】 (1)直接写出外边缘抛物线的函数解析式 ，此时喷出水的最大射程为 ； (2)请求出内边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标； (3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 10．综合与实践 【问题情境】如图1，水枪是孩子们比较喜欢的一种玩具，玩水枪能锻炼孩子们的手眼协调能力与反应力，让孩子们远离屏幕，在欢笑中收获清凉、友谊与健康体魄． 【数学建模】小明在平地上玩水枪，水枪喷出的水柱轨迹可以看作两部分，当运行的水平距离在时，可以近似看作一条抛物线，当运行的水平距离在时，即从点M开始，可以近似看作一条直线，水柱的发射点A距离地面高度为，已知水柱在水平方向前进（即的距离）时，水柱达到最大高度为（即的高度），最终水柱在水平距离为的落地点落到地面点D处．以水柱轨迹在地面的投影直线为x轴，水柱发射点所在的竖直方向为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列任务： (1)求水柱抛物线部分的轨迹对应的二次函数解析式． (2)若小明想用水枪喷中水平距离为、高度为的目标顶端，请问水柱能否喷中该目标顶端？请说明理由． 11．某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） （米） 请解决以下问题： (1)求关于的函数表达式； (2)求水柱落水点到喷头立柱的水平距离； (3)公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调整高度多少米？ 【题型03 ：拱桥问题】 12．九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践到应用的过程． (1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得一隧道的路面宽为．隧道顶部最高处P距地面，并画出了隧道截面图．建立了如图所示的直角坐标系，请你求出抛物线的解析式； (2)应用：按规定机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为．为了确保安全，问该隧道能否让最宽，最高的两辆厢式货车居中并列行驶（两车并列行驶时不考虑两车间的空隙）？并说明理由． 13．综合与实践 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材 图中有一座拱桥，图是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材 为迎佳节，拟在图桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图．为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 (1)确定桥拱形状：在图中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式． (2)探究悬挂范围：在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 14．某景区有一座石门，底部为矩形，其中长是，宽为．顶部为抛物线形，拱高．以的中点为原点，所在的直线为轴，竖直方向为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)若增加夜间照明效果，需在石门顶部装盏射灯，每相邻两盏射灯之间的水平距离相等，最外侧两盏与石门左右两侧边缘的水平距离均为，请用坐标表示这四盏射灯的位置． 15．温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳．小明家的菜地上有一个蔬菜大棚，其横截面由抛物线和矩形构成，如图，以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，已知大棚棚顶最高点到地面的距离为5米，支撑杆米，棚宽米，点与点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的函数表达式； (2)为了加固棚顶，现需在横梁上方至顶端部分加装两根与轴平行的支撑柱、，并沿、安装斜支撑杆，已知、、为的四等分点（即），且、均在抛物线上，求两根斜支撑杆的总长度（即求的长）． 16．某校在百日誓师仪式上设计了走红毯过拱门（拱门为抛物线形）环节，在升国旗时，身高都为米的仪仗队员也需要走红毯过拱门．负责人在设计队形时利用了数学中的抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后将一根长为米的木棒竖直接触地面并紧贴拱门的内壁，并测得此时米，然后在纸上画出图形，如图，以中点O为原点，所在直线为x轴，以的垂直平分线为y轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系． (1)请求出拱门最高点距地面的高度． (2)若仪仗队员平均肩宽为米，头和肩的宽差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排4人，每两人间的距离为米，则按四路纵队行进可以安全通过拱门吗?请说明理由． (3)若在（2）的基础上，将队形设计成每排6人，则每两人间的距离d的范围为多少时，队伍才能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）? 【题型04：面积问题】 17．如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆．设矩形花园垂直于墙的边的长为，面积为已知篱笆总长为． (1)直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)当边的长为多少m时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？ 18．如图，要修建一个中间设有一道隔墙的矩形菜园，菜园一边靠墙，墙长18米，菜园另三边和中间隔墙共用33米长的篱笆搭建．为方便进出，在下方两个小矩形的边上各预留一个1.5米宽的门，门的位置不使用篱笆，设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米． (1)用含x的代数式表示________，求面积S与x的函数关系式； (2)求当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 19．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于A、B两点，点是线段上一点（不与点，重合），过点分别作轴、轴，垂足分别为和，设，矩形的面积为． (1)求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求矩形的面积的最大值，并由此说明点的位置． 20．如图，一块三角形的铁皮，边为，边上的高为，要将它加工成矩形铁皮，使它的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)若四边形是正方形，那么正方形边长是多少？ (2)在矩形中，设，．问取多少时，最大，最大值是多少？ 【题型05：每每问题】 21．商场销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，在一定范围内，商品单价每降低1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元，商场每天销售这种商品的利润是y元． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)每件商品降价多少元时，商场每天销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 22．年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 23．根据以下生活素材，探索、解决问题： 【生活素材】 素材1：某批发商以40元/千克的价格购入了某种水果500千克．据市场预测，该种水果的售价（元/千克）与保存时间（天）的函数关系为． 素材2：保存这批水果平均每天将损耗10千克，且最多能保存8天．另外，批发商保存该批水果每天还需40元的费用． 【解决问题】 批发商将这批水果保存天后一次性卖出，获得的总利润为（元）． (1)问题1：当时，则卖出时水果的售价为__________元/千克，获得的总利润为__________元； (2)问题2：设批发商将这批水果保存天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润（元）与保存时间（天）之间的函数关系式； (3)问题3：求批发商经营这批水果所能获得的最大利润． 24．综合与实践：设计商品最优定价方案 【素材】某经销商计划销售一款塑料椅，根据试售统计，若塑料椅的售价定为每把元时，每月可销售把；若塑料椅的售价每降价元，则销售量增加把，塑料椅的进价为每把元，假设塑料椅全部售完（进货量销售量），设每把塑料椅降价元，备注：总利润（售价进价）销售量，回答下列问题： 【问题】 (1)任务：每把塑料椅的实际利润为________元（用含的代数式表示），塑料椅的销售量为________把（用含的代数式表示）． (2)任务：若经销商计划进货不超过把，能否让每月利润达到元？若能，请求出此时塑料椅的售价，若不能，请说明理由． (3)任务：根据试售情况，经销商计划进货不超过把，试问经销商每月利润有最大值吗？若有，求出最大值，并求此时塑料椅的售价，若没有请说明理由． 25．某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用． (1)若每个房间的定价为每天210元时，则会住满______个房间，宾馆的总利润是______元． (2)房价定为多少时，宾馆利润取得最大值？ 【题型06：图形运动问题】 26．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动（不与点C重合），如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为，四边形的面积为． (1)求y与x之间的函数关系式；写出自变量x的取值范围； (2)当四边形的面积等于时，求x的值． 27．在矩形中，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果分别从同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： （用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请求出此时的值与最大面积；若不存在，请说明理由． 28．在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，正方形的顶点，点在轴的正半轴上，点在第二象限． (1)填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点的对应点分别为，，，．设，平移后重叠部分的面积为． ①如图②，若边，与分别相交于点，且正方形与重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围； ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 29．如图1，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿折线运动，到达点时运动停止．动点同时从点出发以的速度沿射线向点运动，到达点时也停止运动． (1)当______s时，的面积是2． (2)数学兴趣小组决定借助函数图象研究的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系，图2是他们画出了图象的一部分． ①请你求出的面积的最大值，并在图2中画出时的函数图象； ②在点、运动的过程中，请直接写出的面积为3时，对应的的值． 30．如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 【题型07：其他问题】 31．学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况．在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为，（单位：克）． 下面是某研究小组的探究过程，请补充完整： 记录，与x的几组对应值如下： x（分钟） 0 5 … （克） 7 … （克） 5 … (1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点，，并用光滑曲线连接，大致画出函数，的图像； (2)进一步探究发现，场景A的图像是抛物线的一部分，与x之间近似满足函数关系．场景B的图像是直线的一部分，与x之间近似满足函数关系．请分别求出场景A，B满足的函数关系式； (3)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克，有效时间越长，且在同一时刻剩余质量越高，效果越好，在上述实验中，比较该化学试剂在两种场景下，哪种效果更好，并说明理由． 32．综合与实践 【问题情境】 厨房中的锅具设计常利用抛物线的特性，实现锅身的弧度与锅盖的贴合，某款锅的纵截面轮廓近似为两条抛物线，技术人员通过建立二次函数模型，分析锅具的使用情境． 【素材一】 以锅口中心为坐标原点，锅口水平方向为x轴，锅的竖直对称轴为y轴建立平面直角坐标系．锅身曲线为抛物线，开口向上，锅身的最低点离锅口是，锅口水平跨度为；锅盖曲线为抛物线，可由基础抛物线上下平移得到，初始状态刚好严实盖住锅口． 【素材二】 锅口上方设有一个抽油烟机的进风口，进风口表达式为． 【任务一】 如图1，建立基础模型 (1)求抛物线． (2)初始状态下的函数表达式为______． 【任务二】 如图2，调整锅盖位置 在保持锅身抛物线不变、锅口位置不变的前提下，在锅口上放上高的小蒸笼（支架纵截面为矩形），需将锅盖向上平移，保证锅盖刚好严实盖住蒸笼． (3)平移后抛物线的函数表达式为____________． 【任务三】 使用空间评估 (4)在任务二确定的锅盖抛物线轨迹下，如图3，点P是锅盖上任意一点，平行于y轴交进风口于点Q，小明说：存在，使得线段，请你判断小明的说法是否正确，并说明理由．（线段的长度等于Q点纵坐标减去P点纵坐标） 33．无人机融合了航空动力学、导航控制、无线通信等技术，可航拍记录生活、助力行业作业、支援应急救援等，成为贴近日常的实用科技伙伴．数学小组运用信息技术模拟无人机飞行过程，如图，以无人机的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．无人机在起飞后沿直线上升，到达点后，此时距离地面0.1千米，保持高度不变，以20千米/小时的速度水平飞行0.04小时后到达点，此时，发现前方距离起点水平距离2千米处出现一障碍物高度为0.275千米，无人机随即开启紧急避障模式，飞行轨迹呈抛物线形状，越过障碍物后降落到地面点处．已知直线的表达式为，抛物线的表达式为． (1)点的坐标为_________，点的坐标为_________； (2)求抛物线的表达式； (3)如图，若无人机在点发现障碍物后，可沿原水平方向继续飞行千米后再开启紧急避障模式，开启后飞行轨迹的形状不变，且飞行轨迹最高点的高度不变．为确保无人机飞行高度不低于障碍物高度，求的最大值． 34．兔子跳跃的运动路线可看作抛物线，某科研团队研究兔子跳跃特性时发现：兔子某次跳跃的最高点距地面，起跳点与落地点的水平距离为．以起跳点O为原点，落地点M所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． (1)直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； (2)若兔子从点O正上方的点处起跳，运动路线形状不变，求第二次起跳比第一次起跳多跳的距离； (3)实验表明：兔子跃过矮灌木丛时，与灌木丛上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于才能安全通过．如图2，水平地面上有一处灌木丛，其纵切面为矩形，其中，，兔子在距离灌木丛B的的E处起跳．判断兔子从E点起跳的原路线能否安全通过此灌木丛．若能，说明理由；若不能，在起跳处放一个多高的台阶就可以通过． 35．【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位学生组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中高、两低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为才能保证安全； 步骤四，如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离，手离地面的高度，绳子最高点距离地面时，效果最佳； 根据以下素材，探索完成任务． 设计跳长绳方案 素材1：某校组织跳长绳比赛，要求如下： （1）每班需要报名跳绳同学9人，摇绳同学2人； （2）跳绳同学需站成一路纵队，原地起跳，如图1． 素材2：某班进行赛前训练，发现： （1）当绳子摇至最高处或最低处时，可近似看作两条对称分布的抛物线，已知摇绳同学之间水平距离为，绳子最高点为，摇绳同学的出手高度均为，如图2： （2）9名跳绳同学身高如表． 身高（） 人数 素材3：观察跳绳同学的姿态（如图3），发现： （1）跳绳时，人的跳起高度在及以下较为舒服； （2）当长绳摇至最高处时，人正屈膝落地，此时头顶到地面的高度是身高的． (1)任务1：确定长绳形状．请在图2中以长绳触地点为原点建立直角坐标系，并求出长绳摇至最高处时，对应抛物线的解析式． (2)任务2：确定排列方案，该班班长决定：以长绳的触地点为中心，将同学按“中间高，两边低”的方式对称排列，同时保持的间距，请计算当绳子在最高点时，长绳是否会触碰到最边侧的同学． 1 学科网（北京）股份有限公司 $