强化练习4-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

强化练习4 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：_____ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(郑州质量预测二)已知集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B＝{x|x2－4x－2<0}，则A∩B＝ A.{－2，－1，0，1，2} B.{－1，0，1，2} C.{0，1，2} D.{0，1} 2.(湖南五市十校大联考)设复数z满足|z－2i|＝，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A.(x－2)2＋y2＝ B.x2＋(y－2)2＝ C.x2＋(y－2)2＝3 D.x2＋(y＋2)2＝3 3.(武汉二月调研)某批产品检验后的评分，由统计结果制成如下图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是 A.a＝0.05 B.评分的众数估值为70 C.评分的第25百分位数估值为67.5 D.评分的平均数估值为76 4.(武汉四月供题训练)如下图，某科技馆“人造太阳”模型外观为圆台，上底面半径为0.8 m，下底面半径为1.2 m，圆台母线长为1.5 m，模型外侧面需要喷漆，则喷漆面积为 A. m2 B.π m2 C.3π m2 D.6π m2 5.(辽宁锦州期末)将函数f(x)＝sin x的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(－π，0)上单调递增，则ω的取值范围是 A. B. C. D.(0，1] 6.(广东深圳阶段练习)不等式10xy≤ax2＋2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，则实数a的范围是 A.{a|a≥8} B.{a|a≥12} C. D. 7.(郑州质量预测二)已知函数f(x)＝|x|－|2－x|，若函数g(x)＝ln 与函数y＝f(x)的图象的交点有n个，记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则(xi＋yi)＝ A.1 B.2 C.3 D.4 8.(科技前沿|人工智能大模型)(重庆主城区二调)某科技公司研发人工智能大模型，训练该模型每月消耗的算力(单位：千PFLOPS·天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长.观测到第4个月消耗的算力为4，第3个月与第5个月消耗的算力之和为10，则 A.第3个月消耗的算力为1 B.前5个月消耗的总算力为16 C.第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D.前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力的比值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(福州4月适应性练习)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F(1，0)，准线为l，圆M过点F.下列说法正确的是 A.p＝1 B.l的方程为x＝－1 C.若圆心M在C上，则圆M与l相切 D.若圆M与l相切，则圆心M在C上 10.(原创)设函数f(x)＝ (x>0)，则 A.x＝3不是f(x)的极大值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当x>4时，f(x)>f(x2) D.f(x)的图象关于x＝3对称 11.(新定义|第k次操作Γk(θ))(杭州教学质检)选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作Γk(θ)为“将正方体绕直线PQ旋转θ角”.则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有 A.Γ1(90°)，Γ2(180°) B.Γ1(40°)，Γ2(40°)，Γ3(40°) C.Γ1(90°)，Γ2(60°) D.Γ1(75°)，Γ2(15°)，Γ3(60°) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(合肥教学质检二)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，a·b＝b2，则a与b的夹角为________. 13.(原创)已知α∈，若cos (α－β)tan (α＋β)＋sin (α－β)＝4cos (α－β)sin 2α，则cos2α＋cos2β＝________. 14.(广东佛山质检)已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，P是过椭圆右顶点且与长轴垂直的直线上的动点，则sin∠F1PF2的最大值为________. 强化练习4 1—5 CCCCB　　　6—8 DCD　　　9 BCD　　　10 AB 11 ABD　　　12 　　　13 　　　14 1.C　 集合的交集运算　由题意得集合A＝{－2，－1，0，1，2}，将x＝－2，－1，0，1，2分别代入x2－4x－2中，可得x＝0，1，2满足x2－4x－2<0，所以A∩B＝{0，1，2}，故选C. 2.C　复数的运算＋复数的模＋复数的几何意义　因为z在复平面内对应的点为(x，y)，所以z＝x＋yi，则z－2i＝x＋(y－2)i.又|z－2i|＝，所以＝，即x2＋(y－2)2＝3，故选C. 3.C　频率分布直方图＋数字特征　对于A，由频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1可得10×(2a＋3a＋4a＋5a＋6a)＝1，解得a＝＝0.005≠0.05，故A错误.对于B，评分的众数估值为＝75，故B错误.对于C，因为a＝0.005，易知评分的第25百分位数位于[60，70)之间，所以其估值为60＋×10＝67.5.故C正确.对于D，评分的平均数估值为55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.15＝76.5，故D错误.综上，故选C. 4.C　圆台的侧面积公式　S侧＝π(r上＋r下)l＝(0.8＋1.2)×1.5π＝3π(m2)，故选C. 5.B　三角函数图象的平移与伸缩变换＋正弦函数的图象与性质　将函数f(x)的图象先向左平移个单位长度，得y＝sin的图象，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的(ω>0)倍，纵坐标不变，得g(x)＝sin (ωx＋)(ω>0)的图象(题眼)(易错：容易直接乘ω而导致错误).令－＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.因为函数g(x)在(－π，0)上单调递增，所以即又ω>0，解得－≤k<.因为k∈Z，所以k＝0，所以0<ω≤，故 选B. 【技巧点拨】 已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(ω>0)在某个区间(m，n)上的单调性求解参数ω的取值范围或最值，此类题目的基本思路如下：(1)将三角函数化简，求出函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)的单调区间D；(2)已知函数单调区间A＝(m，n)是区间D的子集，即A⊆D，列出不等式组( * )； (3)根据单调区间(m，n)的长度不会超过半个周期，得到n－m≤＝( ** )；(4)结合(*)和(**)的公共部分，确定参数ω的取值范围或最值. 6.D　不等式性质的应用　因为不等式10xy≤ax2＋2y2对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立，所以a≥－2＋10对任意的1≤x≤2及2≤y≤3恒成立.令t＝，g(t)＝－2t2＋10t.因为1≤x≤2及2≤y≤3，所以1≤t＝≤3，则a≥－2t2＋10t在[1，3]上恒成立.因为g(t)＝－2t2＋10t＝－2＋图象的对称轴为直线t＝，t∈[1，3]，所以g(t)的最大值为g＝，所以a≥，所以实数a的范围是，故选D. 7.C　函数图象的对称性＋函数图象的交点 [第1步，判断出两函数的图象都关于点(1，0)对称，根据复合函数的性质判断出函数 y＝g(x)在(－1，3)上单调递增] 因为f(x)＝|x|－|2－x|＝ 且f(2－x)＝|2－x|－|2－(2－x)|＝|2－x|－|x|＝－f(x)，所以y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称(题眼)(关键：若f(2a－x)＋f(x)＝2b，则函数f(x)的图象关于点(a，b)对称).g(x)＝ln ，由>0，可得－1<x<3，由g(x)＝ln ＝ ln ，易知函数y＝g(x)在(－1，3)上单调递增.又g(2－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所以两函数图象的交点也关于点(1，0)对称. [第2步，在同一平面直角坐标系下作出两函数的图象，得图象的交点个数，根据函数图象的对称性求解] 当x<3且x→3时，g(x)→＋∞；当x>－1且x→－1时，g(x)→－∞.作出两函数的大致图象如下图所示，由此可得两函数图象共有3个交点，其中一个交点为(1，0)，设另外两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝0，所以(xi＋yi)＝x1＋x2＋1＋y1＋y2＋0＝3，故选C. 8.D　等比数列的通项公式与前n项和公式的应用 [第1步，由已知条件构造等比数列求首项与公比] 由题意可知，每月消耗的算力构成了一个公比q>1的等比数列.设第n个月消耗的算力为an，则an＝a1·qn-1.由题意知，a4＝4，a3＋a5＝10，即＋a4q＝10(规律：等比数列任意两项之间的关系为an＝amqn－m)，即＋4q＝10，整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝(舍)或q＝2，则(题眼).设前n个月消耗的总算力为Sn. [第2步，由等比数列的通项公式求a3] 对于A，a3＝＝＝2，故A错误； [第3步，由等比数列的通项公式求出各项，即可得S5] 对于B，已知a4＝4，q＝2，所以a5＝8，a3＝2，a2＝1，a1＝0.5，所以前5个月消耗的总算力S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.5＋1＋2＋4＋8＝15.5[另解：由a1＝0.5，q＝2，得S5＝＝15.5]，故B错误； [第3步，由等比数列的通项公式求a7，得解] 对于C，a7＝a4·q3＝4×23＝32，比第4个月增长×100%＝700%，故C错误； [第4步，由等比数列的前n项和公式求S8，即可得] 对于D，S8＝a1·＝0.5×(28－1)＝，＝＝，故D正确.综上，故选D. 9.BCD　直线与圆的位置关系＋抛物线的方程与定义　对于A，由题意可得＝1，解得p＝2，故A错误.对于B，准线l的方程为x＝－1，故B正确.对于C，当圆心M在C上时，设点M到准线l的距离为d，根据抛物线的定义，可得|MF|＝d.又圆M过点F，即点M到准线l的距离等于圆M的半径，故圆M与l相切，故C正确.对于D，若圆M与l相切，则点M到准线l的距离等于圆M的半径.又圆M过点F，即|MF|＝d，所以圆心M在C上，故 D正确.综上，故选BCD. 10.AB　导数的应用　对于A，由题得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，由3x2－6x－8＝0，得x＝1＋或x＝1－(舍去)，易知当x∈(0，2)或x∈时，f′(x)<0，当x∈或x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，即函数f(x)在x∈或x∈(4，＋∞)上单调递增，在x∈(0，2)或x∈上单调递减(题眼)，所以x＝1＋是函数f(x)的极大值点，故A正确.对于B，因为当0<x< 1时，x－x2＝x(1－x)>0，所以1>x>x2>0.由选项A可知，函数f(x)在(0，1)上单调递减，所以f(x)<f(x2).故B正确.对于C，因为当x>4时，函数f(x)在x∈(4，＋∞)上单调递增，x－x2＝ x(1－x)<0，所以x2>x>4.所以f(x2)>f(x)，故C错误.对于D，因为f(6－x)＝＝≠f(x)，所以f(x)的图象不关于x＝3对称，故D错误.综上，故选AB. 11.ABD　新定义　要使正方体经过旋转后能与自身重合，旋转轴必须是正方体的对称轴，且总旋转角度必须是该对称轴对应的基本对称角度(即满足重合的最小旋转角度)的整数倍(题眼)，正方体有三类旋转对称轴：面心轴(连接相对两个面的中心)，基本对称角度为90°；体对角线轴(连接相对两个顶点)，基本对称角度为120°；棱心轴(连接相对两条棱的中点)，基本对称角度为180°.由于点P，Q是在正方体表面上选取的，只要PQ连线经过正方体中心，PQ就可以成为上述三种对称轴之一.因为所有的操作都是绕同一条直线进行的，所以最终的总旋转角度就是各次角度之和[技巧：先确定正方体三类对称轴的基本对称角(面心轴90°，体对角线轴120°，棱心轴180°)，再验证总角度是否为其整数倍].对于A，总角度可以为90°＋180°＝270°＝90°×3，故A满足题意.对于B，总角度可以为40°＋40°＋40°＝120°，故B满足题意.对于C，总角度为90°＋60°＝150°或90°－60°＝30°，均不是90°，120°，180°的整数倍，故C不满足题意[易错：忽略旋转操作可顺时针(负角度)或逆时针旋转].对于D，总角度可以为75°－15°＋60°＝120°，故D满足题意.综上，故选ABD. 12.　平面向量的数量积运算　因为|a|＝2|b|，a·b＝b2，所以|a||b|cos 〈a，b〉＝|b|2(题眼)，所以cos 〈a，b〉＝＝＝.由〈a，b〉∈[0，π]，得〈a，b〉＝. 13.　两角和与差的正弦公式和余弦公式、同角三角函数的基本关系　由题可得cos (α－β)tan (α＋β)＋sin (α－β)＝＋sin (α－β)＝ ＝ ＝＝4cos (α－β)sin 2α(方法：对于三角函数化简求值问题，若条件中给出弦切的混合式，常需化切为弦).因为α∈，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α≠0，所以cos (α＋β)cos (α－β)＝(题眼)，所以cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，即cos2αcos2β－(1－cos2α)·(1－cos2β)＝，整理得cos2α＋cos2β＝. 14.　椭圆的几何性质＋直线斜率与倾斜角的关系＋基本不等式　由题意，知a＝2， b＝，所以c＝＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0).因为点P在直线x＝2上，设P(2，t)，当t＝0时，得点P(2，0)(提醒：不要忽略特殊位置的讨论)，则sin∠F1PF2＝0；如下图，当t≠0时，由对称性，不妨设点P在第一象限，则t>0(题眼)，设直线PF1，PF2的倾斜角分别为α，β，则tan α＝＝，tan β＝＝t(提示：直线倾斜角的正切值等于该直线的斜率)，所以tan ∠F1PF2＝tan (β－α)＝＝＝＝≤＝，当且仅当t＝，即t＝时等号成立.所以∠F1PF2的最大值为，所以sin ∠F1PF2≤sin ＝.综上，sin ∠F1PF2的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $