提升练习9-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习9 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(原创)对于两个非空数集A，B，定义数集如下：L(A，B)＝{logxy|x∈A，y∈B}，若 A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，则数集L(A，B)的非空子集的个数为 A.15 B.16 C.31 D.63 2.[福建名校联盟部分中学(厦门一中、厦门双十中学、福州一中、泉州五中)质检]若复数z满足i(z－i)＝2＋i，则|z|＝ A. B.2 C. D. 3.(江苏常州调研)已知a，b∈R，则“b＝ea”是“a＝ln b”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.(原创)已知向量a＝(3，－1)，单位向量c与向量b＝(2，1)同向共线，则向量c在向量a方向上的投影向量为 A. B. C. D. 5.(贵州贵阳、六盘水、安顺、铜阳、黔南州适应性考试一)记Sn为各项均不相同的等差数列{an}的前n项和，若S3＝9，a2是a1与a5的等比中项，则a5＝ A.9 B.10 C.11 D.12 6.(广东模拟二)函数f(x)的定义域为R，f(2)＝3，若∀x∈R，f′(x)>1，则f(x)>x＋1的解集为 A.(－2，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，＋∞) 7.(山东烟台、德州诊断性测试)已知变量x，y线性相关，其一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，9)，满足i＝33，用最小二乘法得到的经验回归方程为y＝2x－1.若增加一个数据(－3，3)后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据(4，8)的残差的绝对值为 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 8.(湖北省部分重点中学二联)已知函数f(x)(f(x)不恒为零)，其中f′(x)为f(x)的导函数，对于任意的x，y∈R，满足f(x＋y)·f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，且f(1)＝2，f(2)＝0，则 A.f(0)＝1 B.f(x＋4)是偶函数 C.f′(x＋1)图象关于点(1，0)对称 D.(k)＝－2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(江苏七市二调)设α，β，γ表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得α∥β的是 A.m∥α，m∥β B.m⊥α，m⊥β C.γ∥α，γ∥β D.γ⊥α，γ⊥β 10.(广东、湖北部分重点中学联合测评)已知a，b均为正实数，且过点M(a，b)的直线与抛物线y2＝－2px(p>0)相切于点N，下列说法正确的是 A.a＋3b＝2 B.a2＋b2的最小值为 C.＋的最小值为3 D.＋的最小值为 11.(陕西宝鸡二模)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如下图所示，则 A.f(x)的图象关于直线x＝－对称 B.f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝3cos 2x的图象 C.f的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ](k∈Z) D.若方程f(x)＝在(0，m)上有且只有6个根，则m∈ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(济南一模)若(1＋x2)4＝a0＋a1x2＋a2x4＋a3x6＋a4x8，则a0－a1＋a2－a3＋a4的值为________. 13.(生产生活|麦种)(南京调研)某批麦种中，一等麦种占90%，二等麦种占10%，一、二等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为________. 14.(广东六校四联)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，下顶点为A，直线AF2交椭圆C于点B，△ABF1的内切圆与BF1相切于点P，若＝，则椭圆 C的离心率为________. 提升练习9 1—5 AAABA　　　6—8 BAD　　　9 BC　　　10 ACD 11 ACD　　　12 0　　　13 0.56　　　14 1.A　对数的概念＋集合的非空子集的个数　因为L(A，B)＝{logxy|x∈A，y∈B}，且集合A＝{1，3，5}，B＝{2，4}，所以L(A，B)＝{log32，log34，log52，log54}，共有4个元素，则数集L(A，B)的非空子集的个数为24－1＝15，故选A. 2.A　复数的运算＋复数的模 解法一：复数z＝＋i＝1－i，所以|z|＝，故选A. 解法二：|z|＝＝＝＝，故选A. 3.A　指数与对数的互化＋充分条件与必要条件的判断　由指数式和对数式的互化公式得b＝ea⇔a＝ln b，所以“b＝ea”是“a＝ln b”的充要条件.故选A. 4.B　单位向量、投影向量　由已知得c＝＝，则c在a方向上的投影向量为|c|cos 〈c，a〉＝·＝，故选B. 5.A　等差数列的通项公式与前n项和公式＋等比中项　由题意可得(题眼)，解得或(舍去)，所以a5＝a1＋4d＝1＋4×2＝9，故选A. 6.B　利用导数研究函数单调性　设F(x)＝f(x)－x－1(关键：构造函数)，则F′(x)＝f′(x)－1.因为∀x∈R，f′(x)>1，所以F′(x)>0，所以F(x)在R上单调递增(题眼).因为f(2)＝3，所以F(2)＝0，所以不等式f(x)>x＋1的解集为(2，＋∞)，故选B. 7.A　回归直线方程＋残差的绝对值　由题意得＝＝，则＝2－1＝2×－1＝，增加数据(－3，3)后，变量x的平均数1＝＝3，变量y的平均数1＝＝6(易错：注意数据个数的变化，原数据是9个，增加一组数据后变为10个，计算总和时别遗漏或算错新加数据).设修正后的回归直线方程为y＝2.1x＋b，则6＝2.1×3＋b，解得b＝－0.3.所以修正后的回归直线方程为y＝2.1x－0.3.当x＝4时，y＝2.1×4－0.3＝8.1，故数据(4，8)的残差的绝对值为|8－8.1|＝0.1(提示：残差是实际值与预测值的差)，故选A. 8.D　抽象函数的性质＋抽象函数求和 [第1步，令x＝y＝0] 对于A，令x＝y＝0，得f2(0)＝0(题眼)，解得f(0)＝0，故A错误. [第2步，求出f(3)，f(5)，假设结论成立，推出矛盾] 对于B，令x＝2，y＝1，得f(3)f(1)＝f2(2)－f2(1)(题眼)，所以f(3)＝－2.令x＝3，y＝2，得f(5)f(1)＝f2(3)－f2(2)，所以f(5)＝2.若f(x＋4)是偶函数，则f(x＋4)＝f(－x＋4).所以f(5)＝f(3).矛盾，故B错误. [第3步，证明f′(y)＝f′(－y)，再由偶函数的定义解题] 对于C，令x＝0，得f(y)f(－y)＝f2(0)－f2(y)＝－f2(y).又f(x)不恒为0，所以f(y)＝－f(－y)(题眼).所以f′(y)＝f′(－y).所以f′(x)是偶函数，图象关于y轴对称.所以f′(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称.故C错误. [第4步，由枚举法证明f(x)是周期函数，再求和] 对于D，同理选项B可得f(4)＝0，f(6)＝0，f(7)＝－2，f(8)＝0，……以此类推，可得f(x)是周期为4的周期函数(题眼).令x＝1，y＝2，得f(3)f(－1)＝f2(1)－f2(2)，得f(－1)＝－2.又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以(k)＝f(－1)＋f(0)＋3[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝－2.故D正确.综上，故选D. 【方法技巧】 解决抽象函数问题的常用方法 (1)尽可能把抽象函数与数学的具体模型联系起来，如f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，原型是y＝kx. (2)可通过赋值法使问题得以解决，例：f(xy)＝f(x)＋f(y)，求证f(1)＝f(－1)＝0. 令x＝y＝1，则f(1)＝2f(1)，可以推出f(1)＝0；令x＝y＝－1，同理可推出f(－1)＝0. (3)可以运用相关的函数性质推断它的单调性进而求解. 9.BC　空间中直线与平面的位置关系　对于A，若m∥α，m∥β，则α，β可能平行，也可能相交，故A错误.对于B，若m⊥α，m⊥β，由线面垂直的性质定理可得α∥β，故B正确.对于C，若γ∥α，γ∥β，由平面与平面平行的传递性可得α∥β，故C正确.对于D，若γ⊥α，γ⊥β，则α，β可能平行，也可能相交，故D错误.综上所述，故选BC. 10.ACD　抛物线的切线方程＋基本不等式　由题意知，抛物线y2＝－2px在点N处的切线方程为＝－p(x－2)，且4p＝，所以切线方程为x＋3y－2＝0.又切线过点M(a，b)，故a＋3b＝2，故A正确.因为a＋3b＝2，所以a＝2－3b.又a，b均为正实数，所以0<b<.a2＋b2＝(2－3b)2＋b2＝10b2－12b＋4＝10＋，当b＝时，a2＋b2取得最小值，最小值为，故B错误.＋＝＋＝1＋＋≥1＋2＝3，当且仅当＝，即a＝3b＝1时等号成立，故C正确.因为a＋3b＝2，所以(a＋1)＋3(b＋2)＝9.所以＋＝＋＝[(a＋1)＋3(b＋2)]·[＋]＝[10＋＋]≥(10＋6)＝，当且仅当＝，即a＋1＝b＋2＝时等号成立，故D正确.综上，故选ACD. 11.ACD　正弦型函数的图象与性质 [第1步，求函数f(x)的解析式] 由题图可知，A＝3，函数f(x)的图象经过点，， 由①结合|φ|<，得φ＝，代入②，得ω＋＝kπ，k∈Z，解得ω＝－＋k，k∈Z.由题图可知，函数f(x)的最小正周期T满足＝>，所以0<ω<，故ω＝2，所以f(x)＝(题眼)[技巧：由图象确定f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式.先求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；再求ω，确定函数的周期T，则ω＝；最后求φ，将图象上一个点的坐标代入求解，也可以用五点法中的某一个点来求]. [第2步，由正弦型函数的图象与性质判断A，B，C] 对于A，当x＝－时，f＝3sin ＝3sin ＝－3，故直线x＝－是函数f(x)图象的一条对称轴，故A正确；对于B，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为y＝3sin [2(x＋)＋]＝3cos (易错：函数图象的平移注意自变量的系数)，故B错误；对于C，f＝3sin ＝－3sin ，由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可得x∈，k∈Z，即f的单调递增区间为[＋kπ，＋kπ]，k∈Z，故C正确； [第3步，利用数形结合法确定参数范围，从而判断D] 对于D，由f(x)＝可得sin ＝，令t＝2x＋，因为x∈(0，m)，所以t∈，根据题意，得函数y＝sin t的图象与直线y＝在上有且只有6个交点(难点：将题干条件等价转换，利用数形结合法求解)，作出函数图象如下图所示，由图可知，<2m＋≤，解得3π<m≤，故D正确.综上，故选ACD. 12.0　二项式定理　因为a0＝C＝1，a1＝C＝4，a2＝C＝6，a3＝C＝4，a4＝C＝1(题眼)，所以a0－a1＋a2－a3＋a4＝1－4＋6－4＋1＝0. 13.0.56　全概率公式　分别记取到一等麦种和二等麦种为事件A1，A2，所结麦穗含有50粒以上麦粒为事件B.由已知可得，P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式可得，P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.54＋0.02＝0.56. 14.　椭圆的定义＋椭圆的离心率 [第1步，根据圆的切线长定理、椭圆的定义求相关线段长] 如下图，设△ABF1的内切圆与F1A，BA分别相切于点M，N.因为|F1M|＝|F1P|，|AM|＝|AN|，|BP|＝|BN|，|AF1|＝|AF2|＝a，所以|F1M|＝|F2N|，即|F1P|＝|F2N|(题眼).由椭圆的定义可得|BF1|＋|BF2|＝2a(关键：椭圆中的隐藏条件)，即|PB|＋|F1P|＋|BF2|＝|PB|＋|NF2|＋|BF2|＝2|PB|＝2a，所以|PB|＝a.又＝，即|PF1|＝a，所以|BF2|＝a，|BF1|＝a.所以|BA|＝a. [第2步，由余弦定理的推论得出a，c的数量关系，从而可得椭圆的离心率] 在△ABF1中，cos ∠F1BA＝＝＝.在△F1F2B中，cos∠F1BF2＝＝ ＝，化简可得3c2＝a2，即＝，所以椭圆C的离心率e＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $