提升练习7-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习7 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.(武汉调研)已知复数z＝的实部与虚部相等，则实数a的值为 A.－3 B.3 C.－1 D.1 2.(原创)已知全集U＝R，A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{x|x2<2－x}，则{x|－2<x<0}＝ A.A∪B B.(∁UA)∩B C.A∩(∁UB) D.∁U(A∩B) 3.(2025·北京卷)已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝－2.若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝ A.－20 B.－18 C.16 D.18 4.(原创)已知向量a＝(4，2)，b＝(1，t)，若a与b垂直，则向量－b在向量j＝(0，1)上的投影向量为 A.j B.－j C.2j D.－2j 5.(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则 A＝ A.45° B.60° C.120° D.135° 6.(新定义|雷劈数)(广东佛山顺德一检)印度数学家卡普列加在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边写有3 025的一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半上写着25.这时，他发现30＋25＝55，552＝3 025，即将劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字.数学家将3 025等符合上述规律的数字称之为雷劈数(或卡普列加数).则在下列数组：92，81，52，40，21，14中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率是 A. B. C. D.0 7.(山东青岛期末)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F是线段AC1上的点，且AE＝ EF＝FC1，分别过点E，F作与直线AC1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分的体积占整个正方体体积的 A. B. C. D. 8.(2026·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，f(x)＋f(x－2)＝0，且当x∈时，f(x)＝x2＋ax＋b，则 A.a＝－2，b＝－3 B.a＝－2，b＝3 C.a＝－4，b＝－3 D.a＝－4，b＝3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(湖北检测训练)已知一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为(≠0)，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据x1＋，x2＋，x3＋，…，xn＋，则新数据与原数据相比 A.极差相同 B.平均数不同 C.方差不同 D.中位数相同 10.(广东模拟二)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E，F分别为棱BB1，A1D1上的点(含端点)，则 A.当E为BB1的中点时，存在点F，使得C1F∥平面ACE B.当F为A1D1的中点时，存在点E，使得平面C1DF∥平面ACE C.对任意给定的点E，存在点F，使得D1E⊥C1F D.对任意给定的点F，存在点E，使得EF⊥CE 11.(山东泰安检测)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，则下列选项正确的是 A.若a＝2，b＝，则双曲线的任一焦点到渐近线的距离为 B.若点P在双曲线C上，则直线PF1与PF2的斜率之积为 C.以线段F1F2为直径的圆与双曲线C在第一象限交于点P，且|PO|＝|PF2|(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率e＝＋1 D.若过F2的直线l与x轴垂直且与渐近线交于A，B两点，∠AF1O＝(O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(广州综测一)已知cos αsin (α－β)－sin αcos (β－α)＝，则sin β＝________. 13.(江苏南京、盐城二模)已知椭圆C：＋y2＝1的上顶点为A，直线l：y＝kx＋m交 C于M，N两点.若△AMN的重心为，则实数k的值是________. 14.(安徽江淮十校二联)已知k>0，对任意的x∈，不等式ekx(kx－1)≥ex ln x恒成立，则k的取值范围是________. 提升练习7 1—5 ABCCA　　　6—8 CCD　　　9 AB　　　10 ACD 11 ACD　　　12 －　　　13 　　　14 [1，＋∞) 1.A　复数的运算＋复数的概念 解法一(直接法)：因为z＝＝＝＋i，所以＝，解得a＝－3，故选A. 解法二(设参法)：因为复数z的实部与虚部相等，所以设z＝b＋bi(b∈R)，所以由z＝，得(b＋bi)(1－2i)＝a＋i，即3b－bi＝a＋i，所以 解得a＝－3，故选A. 2.B　集合的交集与补集运算＋解一元二次不等式　因为全集U＝R，A＝{y|y≥0}，所以∁UA＝{x|x<0}.因为B＝{x|－2<x<1}，所以{x|－2<x<0}＝(∁UA)∩B，故选B. 3.C　等差数列的通项公式＋等比数列的性质 设{an}的公差为d，d≠0，因为a3，a4，a6成等比数列，所以a＝a3a6，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋5d)，即a1＋d＝0(题眼).因为a1＝－2，所以d＝2，所以a10＝a1＋9d＝16，故选C. 4.C　投影向量、平面向量的坐标运算　因为向量a＝(4，2)，b＝(1，t)，a与b垂直，所以4＋2t＝0，所以t＝－2，所以－b＝(－1，2)，所以向量－b在向量j＝(0，1)上的投影向量为·＝·j＝2j，故选C. 5.A　余弦定理的推论＋特殊角的三角函数值　根据余弦定理的推论得cos A＝，将题中数值代入可得cos A＝＝.因为A∈(0，π)，且cos ＝，所以A＝，故选A. 6.C　新定义＋组合＋随机事件的概率　因为9＋2＝11，112＝121≠92，故92不是雷劈数.因为8＋1＝9，92＝81，故81是雷劈数.因为5＋2＝7，72＝49≠52，故52不是雷劈数.因为4＋0＝4，42＝16≠40，故40不是雷劈数.因为2＋1＝3，32＝9≠21，故21不是雷劈数.因为1＋4＝5，52＝25≠14，故14不是雷劈数.所以92，81，52，40，21，14中有1个雷劈数，5个非雷劈数.从中随机选择两个数，其中恰有一个数是雷劈数的概率为＝＝，故选C. 7.C　空间几何体的体积　如下图，连接A1B，A1D，BD，CB1，CD1，B1D1，则AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1.设正方体的棱长为1，则AC1＝，A1B＝A1D＝BD＝，所以AE＝EF＝FC1＝.VA1－ABD＝VC－B1C1D1＝××1×1×1＝.设点A到平面A1BD的距离为h，则VA－A1BD＝××()2h＝，解得h＝，所以E∈平面A1BD，同理可得F∈平面CB1D1.所以正方体夹在平面α与β之间的部分的体积为1－×2＝，则占整个正方体体积的，故选C. 8.D　函数的周期性、奇偶性及其图象的对称性 [第1步，确定函数f(x)的周期] 由f(x)＋f(x－2)＝0，可得f(x＋2)＋f(x)＝0，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4. [第2步，结合f(x)是偶函数，得到a的值] 因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x).又f(x)＋f(x－2)＝0，所以f(－x)＋f(x－2)＝0，从而可得f(－1)＝0(题眼).由f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)可得x＝2是函数f(x)图象的一条对称轴，所以－＝2，则a＝－4. [第3步，利用周期性求b的值] 因为函数f(x)的周期T＝4，所以f(3)＝f(－1)＝0，即9＋3a＋b＝0，解得b＝3，故选D. 9.AB　极差＋平均数＋方差＋中位数　对于A，极差为最大值与最小值的差，所以极差相同，故A正确；对于B，原数据的平均数＝，新数据的平均数为＝＋＝2，所以平均数不同，故B正确；对于C，原数据的方差s＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，新数据的方差s＝[(x1＋－2 )2＋(x2＋－2 )2＋…＋(xn＋－2 )2]＝s，所以方差相同，故C错误；对于D，中位数显然不同，故D错误.综上，故选AB. 10.ACD　正四棱柱的结构特征＋线面平行的判定定理＋线面垂直的性质定理＋向量垂直的充要条件　对于A，如图1所示，当点F与点A1重合时，C1F∥AC，因为C1F⊄平面ACE，AC⊂平面ACE，所以C1F∥平面ACE，故A正确；对于B，如图2所示，取AD的中点G，连接CG，A1C，A1G，易证明平面C1DF∥平面CGA1，此时平面CGA1与平面ACE有一个公共点C，且显然与平面ACE不重合，所以不存在点E使得平面C1DF与平面ACE平行，故B错误；对于C，如图3所示，因为A1C1⊥平面BDD1B1，D1E⊂平面BDD1B1，所以A1C1⊥D1E，所以对任意给定的点E，存在与点A1重合的点F，使得D1E⊥C1F，故C正确；对于D，如图4所示，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，不妨设AA1＝2AB＝2，则C(0，1，0)，设F(m，0，2)，E(1，1，h)，m∈[0，1]，h∈[0，2]，则＝(m－1，－1，2－h)，＝(1，0，h)，假设EF⊥CE，则·＝0，即m－1＋h(2－h)＝0，所以m＝h2－2h＋1＝(h－1)2.因为m∈[0，1]，(h－1)2∈[0，1]，所以对于任意m，存在h使得m＝(h－1)2成立，即对任意给定的点F，存在点E，使得EF⊥CE，故D正确.综上，故选ACD. 11.ACD　双曲线的定义及几何性质　对于A，若a＝2，b＝，则c＝＝，双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，焦点F2(，0)，根据对称性不妨取渐近线方程y＝－x，所以双曲线的任一焦点到渐近线的距离为＝.故A正确.对于B，设P(x1，y1)，则－＝1，可得y＝－b2(提醒：注意点在双曲线上).又由F1(－c，0)，F2(c，0)，则kPF1·kPF2＝·＝＝＝，不为定值，故B不正确.对于C，由题意知，∠F1PF2＝90°，所以|PO|＝|OF2|＝|OF1|＝|PF2|＝c，所以△POF2为等边三角形(题眼)，|PF1|＝＝c.由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝c－c＝2a(关键：利用双曲线的定义得到a，c的关系式)，所以e＝＝＝＋1.故C正确.对于D，如下图，不妨设点A在x轴的上方，将x＝c代入y＝x，得点A，则B，所以|AB|＝.所以tan ∠AF1O＝＝＝＝.所以＝2.所以双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故D正确.综上，故选ACD. 【知识延伸】 双曲线－＝1(a>0，b>0)的常用结论　 (1)点M，N为双曲线上关于原点对称的两点，点P是双曲线上异于M，N的任意一点，若直线PM，PN的斜率存在，则必有kPMkPN＝； (2)双曲线的任意一个焦点到任意一条渐近线的距离为b.　 12.－　三角恒等变换　由题知cos αsin (α－β)－sin αcos (α－β)＝，即sin [(α－β)－α]＝，即－sin β＝，所以sin β＝－. 13.　直线与椭圆的位置关系　由题知，A(0，1)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为△AMN的重心为，所以(题眼).所以x1＋x2＝，y1＋y2＝－1.联立消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，所以Δ＝8(2k2－m2＋1)>0，即m2<1＋2k2，x1＋x2＝－.所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝k＋2m＝.由y1＋y2＝－1，得＝－1，所以m＝－.由x1＋x2＝，得－＝，所以－＝，解得k＝.当k＝时，m＝－，此时满足m2<1＋2k2，即Δ>0，符合题意(易错：忽视对k的检验)，故实数k的值是. 14.[1，＋∞)　利用导数研究函数的单调性＋不等式恒成立问题　由条件得ekx-1(kx－1)≥x ln x＝eln x·ln x，设f(x)＝xex(x∈R)(提示：将已知不等式变形并构造函数)，f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>－1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.因为k>0，x∈，所以kx－1>－1，ln x≥－1.由f(kx－1)≥f(ln x)，得kx－1≥ln x，故(题眼)，则只需k≥.令g(x)＝，x∈[，＋∞)，g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，所以当≤x<1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增；当x>1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，则g(x)max＝g(1)＝1，所以k≥1.所以k的取值范围是[1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $