提升练习2-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习小题专练

提升练习2 　　　　　　　　　建议用时：60分钟　　实际用时：______答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[湖北部分重点中学(武汉一中、武汉三中、武汉六中、武汉十一中、武钢三中)一联]已知集合A＝，B＝{x∈N|x2＋x－2≤0}，则A∩B＝ A.(－1，1] B.{0，1，2} C.{0，1} D.{－1，0，1} 2.(湖南师大附中月考三)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a，4a)，其中a≠0，则 sin 2α＝ A.　　　 B.　　 C.　　　 D.－ 3.(长沙模拟)已知函数f(x)＝ 若f(x)是R上的增函数，则实数 a的取值范围是 A. B. C. D. 4.(济南3月模拟)抛物线y＝x2＋2x＋2的焦点坐标为 A. B. C. D. 5.(湖北部分重点中学一联)一条河的两岸平行，河宽240 m，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸，已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝5 m/s，水流速度v2的大小为|v2|＝3 m/s，则当该船的行驶路程最短时，其航行时间为 A.20 s B.48 s C.60 s D.80 s 6.(南京5月模拟)已知P(A)＝，P(A)＝，P(A|B)＝，则P(B)＝ A. B. C. D. 7.(福州质检)当x∈[0，2π)时，函数f(x)＝2cos ＋sin x的零点个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 8.(广州综测一)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，D是平面ABC上的动点，则A1D＋CD的最小值是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(江苏南京、盐城一模)已知复数z＝a＋bi，a，b∈R，且b≠0，下列说法正确的是 A.z－是纯虚数 B.z2是实数 C.z·i是虚数 D.若|z|＝1，则z＋是实数 10.(浙江名校协作体联考)若正实数a，b满足a＋b＝4，则下列不等式正确的是 A.＋≤1 B.＋≤2 C.a2＋4b2≥ D.log4a＋log4b≤1 11.(南京六校联合体调研)已知函数f(x)＝x3＋mx＋1，则 A.当m＝－1时，过点(2，2)可作3条直线与函数f(x)的图象相切 B.对任意实数m，函数f(x)的图象都关于点(0，1)对称 C.若f(x)存在极值点x0，当f(x1)＝f(x0)且x1≠x0时，x1＋x0＝0 D.若有唯一正方形使其4个顶点都在函数f(x)的图象上，则m＝－2　 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(原创)(x－1)5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋a4(x－2)4＋a5(x－2)5，则a3＝________. 13.(石家庄质检一)已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为－2的直线与双曲线交于A，B两点，其中点A在x轴上方，设△AF1F2与△BF1F2的面积分别为S1，S2，则＝________. 14.(重庆主城六区调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，记Tn＝a＋a＋a＋…＋a，则Tn＝________；若数列{bn}满足bn＝3Tn－20n－3，则b1＋b2＋b3＋…＋bn的最小值是________.(本题第一空2分，第二空3分) 提升练习2 1—5 CCBBC　　　6—8 DCB　　　9 AD　　　10 BCD 11 ABD　　　12 10　　　13 　　　14 　－48 1.C　不等式的解法＋集合的交集运算 通解：由≤0得(x－2)(x＋1)≤0且x＋1≠0，解得－1<x≤2，所以A＝{x|－1<x≤2}.又B＝{x∈N|x2＋x－2≤0}＝{x∈N|－2≤x≤1}＝{0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选C. 快解：因为集合B中的元素为自然数，故排除A；又－1∉A，2∉B，所以－1∉A∩B且2∉A∩B，故排除B，D.故选C. 2.C　三角函数的定义＋二倍角公式 解法一：由点P(3a，4a)在角α的终边上，所以sin α＝＝，cos α＝＝.当a>0时，sin α＝，cos α＝，此时sin 2α＝2sin αcos α＝；当a<0时，sin α＝－，cos α＝－，此时sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin 2α＝，故选C. 解法二：根据三角函数的概念得，tan α＝＝，则sin 2α＝＝＝，故选C. 3.B　分段函数的单调性　由题意可知，(易错：忽视临界值的大小关系导致错解)，解得<a≤1，所以实数a的取值范围是，故选B. 4.B　抛物线的几何性质　因为y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1，抛物线y＝x2的焦点坐标为(题眼)，所以抛物线y＝(x＋1)2的焦点坐标为，则抛物线y＝(x＋1)2＋1的焦点坐标为，故选B. 【方法技巧】 函数图象平移变换 (1)水平平移：函数y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位长度而得到. (2)竖直平移：函数y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位长度而得到. 5.C　平面向量的应用　如下图，设B，C分别为河岸AD对岸的点，当行驶路线垂直于河岸时，行驶路程最短.设v＝v1＋v2，则|v|＝＝＝4，即船的实际航行速度为4 m/s，则航行时间为＝60 s，故选C. 6.D　条件概率＋独立事件的概率　因为P(A)＝P(AB)＋P(A)，所以P(AB)＝P(A)－(题眼)，所以P(A |B)＝＝(提示：条件概率公式)，所以P(B)＝＝＝，故选D. 7.C　正弦函数与余弦函数的图象＋函数的零点　令f(x)＝0，即2cos ＋sin x＝0，可得2cos (3x＋)＝－sin x，则函数f(x)的零点个数等价于函数y＝2cos (3x＋)与函数y＝－sin x图象的交点个数(题眼)(技巧：函数零点问题可通过转化为两个函数图象的交点问题来求解，核心是将方程f(x)＝0转化为g(x)＝h(x)，通过绘制g(x)和h(x)的图象确定交点数量及位置，交点横坐标即为原函数的零点).当x∈[0，2π)时，画出函数y＝2cos 与函数y＝－sin x的大致图象如下图所示，由图象可知两函数的图象在[0，2π)上有6个交点，即函数f(x)在[0，2π)上有6个零点，故选C. 8.B　正三棱柱的结构特征＋点到平面的距离＋两角和的正弦公式 [第1步，将目标式等价转化为点到平面的距离] 如下图，将平面ABC绕点C逆时针旋转45°得平面α，过点D作DD1⊥α于点D1，连接CD1，则CD＝DD1，则A1D＋CD的最小值为A1D＋DD1的最小值，即点A1到平面α的距离(题眼)， [第2步，利用三角恒等变换求角度的正弦值，结合直角三角形求点到平面的距离] 过点A1作A1A2⊥α于点A2，显然点A2在平面ACC1A1内，∠ACA2＝.由题意可知，AC＝2，AA1＝1，所以A1C＝，所以cos ∠A1CA＝，sin ∠A1CA＝，则sin ∠A1CA2＝sin ＝sin ∠A1CA cos ＋cos ∠A1CA sin ＝×＋×＝，即sin∠A1CA2＝＝＝，解得A1A2＝，所以A1D＋CD的最小值是，故选B. 9.AD　复数的概念＋复数的四则运算　对于A，因为z＝a＋bi，所以＝a－bi，所以z－＝2bi.因为b≠0，所以z－是纯虚数，故A正确.对于B，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，当ab≠0时，z2不是实数，故B错误.对于C，z·i＝(a＋bi)i＝－b＋ai，若a＝0，则z·i为实数，故C错误.对于D，因为|z|＝＝1，所以z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋a－bi＝2a是实数，故D正确.综上，故选AD. 10.BCD　基本不等式＋对数的运算　对于A，因为正实数a，b满足a＋b＝4，所以＋＝(a＋b)＝≥＝1，当且仅当a＝b＝2时等号成立.故A错误.对于B，因为(＋)2＝a＋b＋2≤4＋4＝8，所以＋≤2，当且仅当a＝b＝2时等号成立.故B正确.对于C，由a＋b＝4得a＝4－b(题眼)，所以a2＋4b2＝(4－b)2＋4b2＝5b2－8b＋16(技巧：根据已知条件化二元为一元，转化为二次函数的最值问题)＝5＋≥，当b＝时等号成立.故C正确.对于D，因为ab≤＝4，所以log4a＋log4b＝log4ab≤1，当且仅当a＝b＝2时等号成立.故D正确.综上，故选BCD. 11.ABD　导数的几何意义＋函数图象的对称性＋利用导数研究函数的极值　对于A，当m＝－1时，f(x)＝x3－x＋1，f′(x)＝3x2－1.设过点(2，2)的直线与f(x)的图象切于点(x0，x－x0＋1)，则切线方程为y－(x－x0＋1)＝(3x－1)(x－x0).又切线过点(2，2)，所以2－(x－x0＋1)＝(3x－1)·(2－x0).整理得2x－6x＋3＝0.令g(x)＝2x3－6x2＋3(方法：求方程根的个数，往往转化为求函数的零点个数)，则g′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，当0<x<2时，g′(x)<0，当x<0或x>2时，g′(x)>0，所以g(x)在(0，2)上单调递减，在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增.又g(0)＝3>0，g(2)＝16－24＋3＝－5<0，当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→＋∞，所以函数g(x)有三个零点，即方程2x－6x＋3＝0有三个根.所以存在三条切线，故A正确.对于B，因为f(x)＋f(－x)＝x3＋mx＋1＋(－x)3＋m(－x)＋1＝2，所以对任意实数m，函数f(x)的图象关于点(0，1)对称.故B正确.对于C，因为f′(x)＝3x2＋m，若函数f(x)存在极值点x0，则方程3x＋m＝0(m≠0)有解(提示：当m＝0时，函数f(x)＝x3＋1为单调递增函数，无极值)，所以m<0，且m＝－3x(x0≠0).假设x1＋x0＝0，则x1＝－x0，因为f(x1)－f(x0)＝f－f(x0)＝(－x－mx0＋1)－(x＋mx0＋1)＝－x＋x＝x≠0，故f(x1)≠f(x0).所以假设不成立.故C错误.对于D，如下图所示，将函数f(x)的图象向下平移1个单位长度，得到g(x)＝x3＋mx的图象.设函数g(x)图象上存在四点围成一个正方形ABCD，由对称性知，O为正方形ABCD的中心，且AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD(题眼).不妨设直线AC的方程为y＝kx(k>0)，则直线BD的方程为y＝－x，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x1，－y1)，D(－x2，－y2)，当m≥0时，g′(x)＝3x2＋m≥0，g(x)在R上单调递增，与直线y＝－x仅有1个交点为原点，不符合题意；当m<0时，联立直线AC与曲线g(x)的方程，得x3＋mx＝kx，解得x＝k－m，则y＝(kx1)2＝k2(k－m).同理可得x＝－－m，y＝.因为OA＝OB，所以＝.所以(1＋k2)(k－m)＝，整理得－m＝0，即－m＋2＝0.令t＝k－(k>0)，则上式化为t2－mt＋2＝0，由于t＝k－在k>0时是递增函数，且值域为R，所以要使存在一个正方形使其4个顶点都在函数f(x)的图象上的充要条件就是存在唯一t值.从而可得Δ＝m2－8＝0，解得m＝2(舍去)或m＝－2，此时t＝k－＝－，解得k＝，此时满足x＝－－m>0，x＝k－m>0，所以m＝－2.故D正确.故选ABD. 12.10　二项式定理　因为(x－1)5＝[1＋(x－2)]5，所以a3＝C＝10. 13.　直线与双曲线的位置关系　如下图，因为c＝＝3，则F2(3，0)，所以直线AB的方程为y＝－2(x－3)(题眼).联立消去x整理得y2＋6y－96＝0，Δ>0，解得yA＝2，yB＝－8(关键：通过解方程组求出A，B两点的纵坐标是求解问题的关键)，所以＝＝＝. 14. 　－48　等比数列的通项公式与前n项和公式＋数列的递推关系　因为数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－1，所以当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，解得a1＝1.当n≥2时，由Sn＝2an－1，可得Sn－1＝2an－1－1，上述两个等式作差可得an＝2an－2an－1，则an＝2an－1，即＝2，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列.则an＝1×2n-1＝2n-1(题眼)，所以a＝4n-1.则＝＝4，且a＝1，所以数列{a}是首项为1，公比为4的等比数列.所以Tn＝a＋a＋a＋…＋a＝＝.所以bn＝3Tn－20n－3＝4n－20n－4，则bn＋1－bn＝[4n+1－20(n＋1)－4]－(4n－20n－4)＝3·4n－20，当n＝1时，b2－b1<0，即b1>b2；当n≥2时，bn＋1－bn＝3·4n－20>0，则bn<bn＋1，故数列{bn}从第二项开始单调递增(关键：确定数列的单调性).因为b1＝－20<0，且b2＝－28，b3＝0<b4，所以b1＋b2＋b3＋…＋bn的最小值为b1＋b2＋b3＝－20－28＋0＝－48. 学科网（北京）股份有限公司 $