精品解析：河南省潢川第一中学2026-2027学年高二年级上学期10月过程性作业评价数学试题

潢川一中高二年级数学学科过程性作业评价 印数：2500 2026年10月18日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 5 5. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是纯虚数，是实数，那么等于（ ）（i是虚数单位） A. B. C. 2 D. 8. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）． A. B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 设为两个随机事件，给出以下命题，其中为正确命题的是（ ） A. 若为互斥事件，且，则 B. 若，则为互为对立事件 C. 若，则为相互独立事件 D. 若为相互独立事件，且，则 11. 平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则________. 13. 从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______． 14. 在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当m为何值时，过两点，，的直线. （1）与过两点，的直线垂直； （2）与过两点，的直线平行. 16. 已知向量，，，且，． （1）求，，的值； （2）求向量与所成夹角的余弦值． 17. 已知函数的最大值为. （1）求常数m的值； （2）求函数单调递增区间. 18. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潢川一中高二年级数学学科过程性作业评价 印数：2500 2026年10月18日 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以， 所以. 2. 已知直线过点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可. 【详解】直线过点，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 3. 在空间直角坐标系中，为坐标原点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中两点距离公式求解即可. 【详解】为坐标原点，，所以. 故选：A. 4. 在空间直角坐标系中，，若，则x的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可. 【详解】由题设，且，则，可得. 故选：A 5. 在空间四边形中，等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量加减运算法则进行计算. 【详解】. 故选：C 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 7. 已知是纯虚数，是实数，那么等于（ ）（i是虚数单位） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是纯虚数，可设，. 则， 因为是实数，所以，解得. 所以. 8. 已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示求出，利用同角三角函数的关系求出，结合计算即可求解. 【详解】空间内三点，，， 所以，，，， 由，所以， 所以点A到直线的距离. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】A.，故A正确； B. ，故B错误； C. ，，故C正确； D.，所以，故D正确. 故选：ACD 10. 设为两个随机事件，给出以下命题，其中为正确命题的是（ ） A. 若为互斥事件，且，则 B. 若，则为互为对立事件 C. 若，则为相互独立事件 D. 若为相互独立事件，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由概率的性质判断A；根据对立事件的定义、独立事件的判定及乘法公式判断B、C、D. 【详解】A：由题设有，对； B：若为对立事件，则，即且， 显然不能保证，错； C：由，则，故为相互独立事件，对； D：由题设，对. 故选：ACD 11. 平行六面体中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】通过设基向量将空间向量的垂直、模长、夹角、线性分解问题转化为向量的数量积和线性运算问题，再逐一判断各选项即可. 【详解】 设，，，由题意得，三个向量两两夹角均为，因此两两点积为. 选项A：，则，故，A正确; 选项B：，， 则， ， ， 故，B正确； 选项C：由上述计算得，C错误； 选项D：由空间向量基本定理得，即，，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】由得，解得， 故答案为： 13. 从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为，则的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出随机抽取a,b的所有事件数，再求出满足的事件数，根据古典概型公式求出结果. 【详解】解：从集合中随机取一个元素，记为，从集合中随机取一个元素，记为， 则的事件数为9个，即为，，， 其中满足的有，，，共有8个， 故的概率为. 【点睛】本题考查了古典概型的计算，解题的关键是准确列举出所有事件数. 14. 在边长为3的正方体中．平面与平面之间的距离为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据面面平行，将面面距离转化为点面距离，利用等体积法即可求解. 【详解】由于故四边形为平行四边形， 故平面,平面,所以平面， 同理可得平面，又平面， 因此平面， 故点到平面的距离即为平面与平面之间的距离， 设到平面的距离为，为边长为的等边三角形， 故,所以， 故， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当m为何值时，过两点，，的直线. （1）与过两点，的直线垂直； （2）与过两点，的直线平行. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【小问1详解】 经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； 【小问2详解】 经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 16. 已知向量，，，且，． （1）求，，的值； （2）求向量与所成夹角的余弦值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【小问1详解】 ∵，∴，∴，， 又∵，∴，∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴，， ∴， ，， ∴， 因此向量与所成夹角的余弦值为． 17. 已知函数的最大值为. （1）求常数m的值； （2）求函数单调递增区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，列出关于m的方程，解之即可求得m的值； （2）利用整体代换法即可求得函数的单调递增区间. 【小问1详解】 由题意可得：， 当，即时，函数取到最大值为， 可得，解得. 【小问2详解】 由（1）可得， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 18. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数； （2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）2 （2）平均数71，中位数 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，建立方程，求得参数，进而求出不高于的总人数，利用频率的定义，可得答案； （2）利用频率分布直方图的性质，结合平均数和中位数的计算方法，可得答案； （3）根据概率的乘法和加法公式，可得答案. 【小问1详解】 由，得， 因为（人），（人）． 所以不高于50分的抽（人）； 【小问2详解】 平均数． 因为在内共有80人，则中位数位于内，设中位数为， ，解得； 【小问3详解】 法一：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，则． 至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 法二：记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A，， 至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为． 19. 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为，所以． 又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作的平行线分别与交于其中点，连接， 因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点， 易证，则． 又因为，所以． 又因为，所以平面． 又因为平面，所以． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱，底面， ，，，又，平面．所以两两垂直． 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图． ，． 由题设（）． 因为， 所以，所以． [方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面的法向量为， 因为， 所以，即． 令，则 因为平面的法向量为， 设平面与平面的二面角的平面角为， 则． 当时，取最小值为， 此时取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面． 作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角． 设，过作交于点G． 由得． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结， 在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则． 设，在中，． 在中，，过D作的平行线交于点Q． 在中，． 在中，由余弦定理得，，， ，， 当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $