第三章 圆（单元自测）数学新教材北师大版九年级下册

第三章 圆 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【解析】弦为、、． 故选B． 2．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理，熟练掌握点与圆的位置关系，等边三角形的性质、三角函数及垂径定理是解题的关键；过点O作于点D，连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【解析】如图，过点O作于点D，连接， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点在内； 故选B． 3．下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查圆的性质，涉及确定圆的条件、圆心角与弧的关系、切线判定、圆内接四边形、三角形的内心与外心定义等知识，根据相关概念，逐项判断即可得到答案，熟记与圆有关的概念与性质是解决问题的关键． 【解析】①当三点在一条直线上时，无法确定一个圆；故①结论错误； ②圆的大小不同，相等的圆心角所对的弧不相等；故②结论错误； ③经过半径的端点（不是圆心）并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；故③结论错误； ④圆内接四边形对角互补；故④结论正确； ⑤三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离都相等；故⑤结论正确； ⑥直角三角形的外心在斜边的中点上；故⑥结论错误； 综上所述，正确的结论是④⑤，共2个， 故选B． 4．如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，根据圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，结合，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【解析】∵四边形是内接四边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5．如图，为的直径，、为上两点，连接、和．若，则的大小为（ ） A．36° B．44° C．52° D．54° 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，即同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆（或直径）所对的圆周角是直角，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，可得，根据题意得，在中，通过即可求解． 【解析】连接，如图所示， ， ， 为的直径， ， 在中，， 故选D． 6．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理得出，再根据圆周角定理得出，从而求出的度数． 【解析】连接， 为的直径，， ， ． 与分别是所对的圆周角和圆心角， ． ， ， ．故选D． 7．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【解析】①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或．故选A． 8．如图，把半径为的沿弦，折叠，使和都经过圆心，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质，扇形面积，及圆的面积公式和解直角三角形等知识作于点，连接，，，由得，从而得，同理，所以，根据阴影部分的面积面积即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】作于点，连接，，，如图所示， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∴，同理， ∴， ∴阴影部分的面积面积 ， 故选． 9．“湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安区滨海文化公园内，是国内首个全天景回转式轿厢摩天轮，共设有28个进口太空舱，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ）m．（结果保留）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【解析】∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ．故选A． 10．半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 取的中点O，连接，，由题意得，，可知为的中位线，则，，根据，得到，再根据扇形面积公式即可求解． 【解析】取的中点O，连接，， 由题意得，， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ________．（用含的式子表示） 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理和锐角三角函数，根据题意将实际问题抽象为几何问题，再利用垂径定理和锐角三角函数解三角形是解此题的关键． 由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可． 【解析】∵点为弧的中点，为圆心， 由垂径定理知，，， ∵， ∴， ∵， 在中，由三角函数可得， ∴， 故答案为米． 12．如图，是的直径，点为圆上一点，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角与弧之间的关系，连接，由圆周角定理得到，则由平角的定义可得的度数，根据是劣弧的中点，可得，则由圆周角定理可得． 【解析】如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 13．如图，是的直径，是的弦，且．连接，若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，圆心角和弧的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 连接，利用圆周角定理和等腰三角形的性质求出，即的度数为，继而求出的度数，利用圆周角定理即可求出结果． 【解析】如图，连接， ∵， ， ， ， ∴的度数为， ∵， ， ∴的度数为， ， ， 故答案为． 14．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据直径得出的度数为，根据圆周角定理求出的度数为，的度数为，最后根据圆周角定理进行求解即可． 【解析】∵为的直径， ∴的度数为， ∵， ∴， ∵， ∴的度数为， ∴的度数为， ∴．故答案为$65{^{\circ}}$． 15．如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算是关键． 根据题意，，以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，过点作于点，是等边三角形，则，，则，由此即可求解． 【解析】∵四边形是正方形， ∴， ∵以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，如图所示，两弧交于点，连接，过点作于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，则， ∴，则， ∴阴影部分的面积， 故答案为 ． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 【答案】直径：；半径：，；弦：，，；弧：，，；圆周角：，，；圆心角：，，（答案不唯一） 【解析】直径：； 半径：，，，，； 弦：，，，，； 弧：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 圆周角：，，，，； 圆心角：，，，，，，，，，． 17．（9分）如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若是的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ，是中点， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【分析】此题重点考查圆中不规则图形的面积、等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明及求得是解题的关键． （1）连接，由，是中点，得，即可证明是的切线； （2）由是的中点，得，推出，再证，则可求出，和，最后可由求解． 【解析】（1）略 （2）解：是的中点，， ， ， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 18．（9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 【答案】如图，可画出如下图形： 【分析】本题考查了只用无刻度的直尺作符合条件的三角形，解题关键是弄清题意． 根据所给的三个条件画图即可． 【解析】所画出三角形显然都满足条形①，也满足条件③， 第1个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆心； 第2个图为直角三角形，G为斜边中点，点G就是其外接圆圆心； 第3个图的右边两边的垂直平分线过点G，点G就是其外接圆圆心； 第4个图为等腰直角三角形，斜边的中点为G，点G就是其外接圆圆 心； 第5个图最短边的垂直平分线就是以这条边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线，G点所在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第6个图显然在最短边的垂直平分线上，也在较短边的垂直平分线上（以较短边为对角线的正方形的另一对角线所在的直线就是较短边的垂直平分线），所马点G就是其外接圆圆 心； 第7个图点G在较短边的垂直平分线上，也在最短边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 第8个图点G在最短边的垂直平分线上，也在最长边的垂直平分线上，所以点G就是其外接圆圆 心； 所以以上8个图都符合要求，即为所求作的图形． 19．（9分）在中，，点是边上一点，以为半径的与边相交于点． （1）如图1，当过点时，取边中点，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， 是直径， ， 点是中点， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ∵为的半径， 是的切线； （2） 【分析】本题考查圆周角定理的推论，切线的判定，垂径定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）连接，，先得出，结合点是中点，得出，得出，再判定 ，即可证明； （2）延长交于点，连接，，利用垂径定理得出，利用圆内接四边形得出，再证明，证明，得出，由，，设，，，求出，，，，即可求解． 【解析】（1）略 （2）解：如图，延长交于点，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， ∴， 则， ∴， 由，， 设，，， ∴， 则， ， ， ， ． 20．（9分）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． （1）若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部； （2）请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果； （3）求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率． 【答案】（1）是 （2） P点坐标的所有可能结果如下：      横坐标纵坐标 1 2 3 4 1 （1） （2） （3） （4） 2 （1） （2） （3） （4） 3 （1） （2） （3） （4） 4 （1） （2） （3） （4） （3） 【分析】（1）由抛掷结果得到点坐标为．利用勾股定理计算点到原点的距离，比较距离与圆半径的大小，得出点在圆内的结论． （2）明确横坐标、纵坐标的可能取值均为1，2，3，4，采用列表法，将横、纵坐标的所有组合一一列出，得到全部16种等可能结果． （3）确定点在圆面上的判定条件：．逐一验证列表中的16个点，统计满足条件的点，根据概率公式，计算得概率． 【解析】（1）解：第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2， ∴点P坐标为， ∴到原点距离为， ∵圆O的半径为3， ∵ ∴点P在圆O内部， （2）略 （3）由表格可知共有16种等可能的结果， 设点， 点P落在圆面上的条件是：点到圆心的距离半径 即：， ， 逐一验证16个点： （1）：， （2）：， （3）：， （4）：， （1）：， （2）：， （3）：， （4）：， （1）：， （2）：， （3）：， （4）：， （1）：， （2）：， （3）：， （4）：； 其中点P落在⊙O面上（含内部与边界）的有：，，，，共4个 ∴ ∴点P落在⊙O面上（含内部与边界）的概率为． 21．（10分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，，求半圆的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是半圆O的切线； （2） 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理． （1）连接，根据，得，证明，得，进而可得结论； （2）设半径为r，连接，，则，求得，再由勾股定理，利用为中间变量列出r的方程便可求得结果． 【解析】（1）略 （2）解：连接，，如图2， 设圆的半径为r，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故圆的半径为． 22．（10分）如图，已知点A，B在圆上，以为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图1中作出圆的一条直径； （2）在图2中作出圆内接正方形． 【答案】（1） 如图，是所作的圆的直径； （2） 如图，四边形为正方形． 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，90度角对的弦是直径，同弧对的圆周角相等等知识，理解并掌握它们是解题的关键． （1）延长交圆于点C，连接即可； （2）依（1）作法作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为所作． 【解析】（1）解：延长交圆于点C，连接， 由于，根据直角对的弦是直径， 则是所作的圆的直径； （2）解：作出圆的两条直径，两直径交于点O，连接并延长交圆于点G，连接并延长交圆于点H，则四边形为正方形． 由（1）知，是圆的两条直径，则O是圆心， 由正方形的性质知， ∴； ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，且是圆内接正方形． 23．（10分）已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，． （1）如图1，外接圆记作，则 度； （2）如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标； （3）如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）45 （2） （3）存在，点P的横坐标为和 【分析】（1）由点、的坐标知，，则，即可求解； （2）首先求出抛物线解析式为，直线解析式为，设，则，过作于点，然后表示出，，即可求解； （3）表示出，，则，即可求解． 【解析】（1）由点、的坐标知，， 则， ， 则， 故答案为45； （2）设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线解析式为， 由点、的坐标得，直线解析式为， 设，则， ， ，，轴， ，，， 过作于点， 则， ， 则，， ，即， 解得：， 则点； （3）点， ，， 则， 解得， 点的横坐标为和． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及到圆的基本性质、面积的计算、等腰三角形的性质等，综合性强，难度适中． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（ ）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．已知等边三角形的三个顶点均在上，，所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 3．下列结论：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上．正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，为的直径，、为上两点，连接、和．若，则的大小为（ ） A．36° B．44° C．52° D．54° 6．如图，的直径垂直于弦，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A．或 B．或 C． D． 8．如图，把半径为的沿弦，折叠，使和都经过圆心，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 9．“湾区之光”摩天轮位于深圳市宝安区滨海文化公园内，是国内首个全天景回转式轿厢摩天轮，共设有28个进口太空舱，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（ ）m．（结果保留）． A． B． C． D． 10．半圆的直径在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且，连接，取的中点D，连接，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 11．如图，一个钟摆的摆长为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 ________．（用含的式子表示） 12．如图，是的直径，点为圆上一点，是劣弧的中点，连接，．若，则的度数为________． 13．如图，是的直径，是的弦，且．连接，若，则________． 14．如图，为的直径，为直径两侧上两点，连接，，过点作于点，若，则的度数为________． 15．如图，一块正方形工件如图所示，工件的边长为，现在以为圆心，为半径作弧交于，以为圆心，为半径作弧交于，将图中阴影部分单独切割，则阴影部分工件的面积为________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分） 16．（9分）如图，试列举出中的一条直径、两条半径、三条弦、三段弧、三个圆周角和三个圆心角． 17．（9分）如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． （1）求证：是的切线； （2）若是的中点，，求阴影部分的面积． 18．（9分）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点为正方形网格的中心，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中作，要求所做的同时满足以下三个条件： ①点A、B、C均在格点上； ②点为的外心； ③所画的三角形互不全等． 19．（9分）在中，，点是边上一点，以为半径的与边相交于点． （1）如图1，当过点时，取边中点，连接，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的值． 20．（9分）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）． （1）若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部； （2）请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果； （3）求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率． 21．（10分）如图，在中，，点在上，以为半径的半圆交于点，交于点，点在上，且． （1）求证：是半圆的切线； （2）若，，，求半圆的半径． 22．（10分）如图，已知点A，B在圆上，以为边在圆内作正方形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图1中作出圆的一条直径； （2）在图2中作出圆内接正方形． 23．（10分）已知抛物线，经过平面直角坐标系中的A、B、C三点，，，． （1）如图1，外接圆记作，则 度； （2）如图2，连接，点P是位于上方的抛物线的一动点，过P作x轴的垂线交于点E，交x轴于F点，当时，求P点的坐标； （3）如图，过M作于点N，是否存在P点，使得？若存在，求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第 1 页（共 1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $