第6章 二次函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材苏科版九年级下册

2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的顶点坐标为． 2．（26-27九年级上·湖北咸宁·阶段检测）若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 【答案】D 【详解】解：∵ 函数是关于的二次函数， ∴ 二次项系数不为0， ∴，解得且， ∴的值不可能是或． 3．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）关于三个函数，，的共同点，下列说法正确的是（     ）． A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随的增大而增大 【答案】C 【分析】三个函数的二次项系数符号不同，开口方向、最值、增减性与系数符号相关，对称轴与系数无关，可据此判断共同性质． 【详解】解：∵开口向下，有最高点， 、开口向上，有最低点， ∴A、B不符合题意； ∵三个函数的对称轴均为轴， ∴C符合题意； ∵三个函数的增减性均以轴为界，两侧变化趋势相反， ∴D不符合题意． 4．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 抛物线开口方向和大小与相同， ∴ 二次项系数， ∵ 顶点坐标为， ∴ 抛物线解析式为． 5．（25-26九年级上·云南德宏·期末）已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：由二次函数可知，其对称轴为直线． 图像显示抛物线与轴的一个交点为，且抛物线关于对称轴对称， 抛物线与轴的另一个交点与关于直线对称． 设另一个交点的横坐标为，则， 解得． 关于的一元二次方程的根为，． 6．（26-27九年级上·湖北十堰·阶段检测）汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的最大值时自变量的值即可得． 【详解】解：∵汽车刹车后到停下来时，行驶距离取得最大值， ∵，其中， ∴当时，取得最大值，即汽车刹车后停下来． 7．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，利用已知点的函数值大小关系，结合抛物线的对称性确定对称轴的大致范围，进而判断最节省燃气的角度． 【详解】解：由图像数据可知，当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向上，且对称轴在与之间， ∵当时的函数值小于当时的函数值， ∴对称轴直线， ∵当时的函数值小于当时的函数值， ∴对称轴直线，即， 对比选项，只有在此范围内，故选项C符合题意． 8．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据 的符号判断直线经过的象限及抛物线开口方向、对称轴位置，逐一排查选项． 【详解】解： 由二次函数 可知对称轴为直线 ． 选项A中：抛物线开口向下， ， 对称轴 ，应在 轴右侧，与图象矛盾． 选项B中：抛物线开口向上， ， ∵对称轴为直线 ， 对称轴应在 轴左侧，与图象矛盾． 选项C中： 抛物线开口向下， ， 直线 应随 增大而减小，与图象矛盾． 选项D中： 抛物线开口向上， ， 对称轴 ，且直线 随 增大而增大，与 轴交点 在负半轴，与图象相符． 故选：． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．（26-27九年级上·河北邯郸·阶段检测）函数的一次项系数是______． 【答案】 【详解】解：函数的一次项系数为． 10．（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】二次函数开口向上，则二次项系数为正数，图象经过点，代入解析式可得常数项为，选取符合要求的系数即可得到对应解析式． 【详解】解：设二次函数解析式为，， 二次函数图象开口向上， ，取，， 则解析式化为， 函数图象经过点， 将，代入解析式， 得， 符合要求的一个二次函数解析式为． 11．（26-27九年级上·北京东城·阶段检测）已知、是抛物线上的两点，则________． 【答案】2 【分析】根据两个点的纵坐标相等求得抛物线的对称轴为直线，进而由对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵、是抛物线上的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得． 12．（26-27九年级上·广东东莞·阶段检测）已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的图象性质，由开口方向确定a的正负，由开口大小确定的大小，进而比较即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上 ∴ ∵二次函数和的图象开口向下 ∴， ∵二次函数的图象的开口大于的图象的开口 ∴ ∴ ∴． 13．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）若抛物线的顶点在x轴上，则_________． 【答案】 【分析】抛物线为顶点式，可直接得到顶点坐标，顶点在轴上说明顶点的纵坐标为0，据此列方程求解即可． 【详解】解：抛物线是顶点式，其顶点坐标为， ∵顶点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得． 14．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 【答案】 ， 【分析】根据表格中值相等的对应点确定二次函数对称轴，再利用二次函数对称性得到对应的另一个自变量的值，即可得到方程的解． 【详解】解：由表可知和的函数值都是， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵时，，满足方程， ∴根据二次函数对称性，另一个满足的点的横坐标为， ∴方程的解是，． 15．（24-25九年级上·青海西宁·期中）如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 【答案】或 【分析】本题考查数形结合，利用数形结合的思想，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图象可知：关于的不等式的解集为：或； 故答案为：或． 16．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 【答案】3 【分析】求出点A、B、C的坐标得到的长，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，当时，，则， ∴； 当时，，解得或， ∴， ∴， ∴． 17．（26-27九年级上·甘肃兰州·阶段检测）如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 【答案】 18 【分析】根据函数与的图象关于轴对称，结合正方形的对称性，利用割补法可知阴影部分的面积等于正方形面积的一半 ． 【详解】解： 函数与的图象关于轴对称，且正方形关于轴对称， ∴轴下方阴影部分面积与轴上方中间的空白部分面积相等， ∴阴影部分的面积等于正方形面积的一半， ∵正方形的边长为6 ， ∴正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 18．（26-27九年级上·上海杨浦·阶段检测）某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 【答案】③④ 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置，确定的符号及数量关系，结合对称性求出另一交点坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 对称轴为直线， ， ， ， ， ，故①错误． 对称轴为直线，与轴的一个交点为， 另一个交点为， 当时，，故②错误． ， ， ，故③正确． ，， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论是③④． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知函数是二次函数： (1)求m的值； (2)当x取什么值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)点在这个二次函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)当时，的值随值的增大而增大 (3)不在 【分析】（1）根据二次函数的定义解答即可； （2）根据顶点坐标及表达式即可判断； （3）将点P的横纵坐标代入函数表达式即可验证； 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：； （2）解：把代入原函数，得到二次函数解析式： ， 该函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，也就是时，的值随值的增大而增大； （3）解：把点的横坐标代入函数解析式得：， 和点的纵坐标不相等， ∴点不在这个二次函数的图象上． 20．（6分）（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，菱形的顶点，，在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且． (1)点的坐标为________； (2)求出菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，交轴于点，由菱形的性质可知，且，从而可推导出点的纵坐标，再将点的纵坐标代入抛物线中，由点所在象限判断正负号即可． （2）长度已知，由点、的坐标可知的长度，结合菱形的性质可求得的长度，再代入菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接交轴于点， 为菱形，为坐标原点，为对角线且与轴重合， ，即轴， 根据菱形的性质，可知， ， 点的坐标为， 又轴， 轴， 点的纵坐标为， 将代入中， 得， 整理，得， 解得， 由于点在第一象限，第一象限的点的坐标大于， 故， 点的坐标为． （2）解： ， ， 由菱形的性质可知，，， ， 菱形的面积是：． 21．（6分）（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）确定抛物线的对称轴，利用对称轴确定函数的增减性，然后利用最值求出参数． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的最小值为， 即， 解得． 22．（7分）（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … (1)此二次函数图象的顶点坐标为__________． (2)表格中的值为__________； (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (4)结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 【答案】(1) (2)5 (3)画出这个二次函数的图象，如图： (4) 【分析】（1）由表格得：当和时，，函数值均相等，可得该函数图象的对称轴为直线，即可求解； （2）根据抛物线的对称性解答即可； （3）利用描点法画出函数图象，即可； （4）直接观察图象，即可解答． 【详解】（1）解：由表格得：当和时，，函数值均相等， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，， ∴此二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵该函数图象的对称轴为直线， ∴和时的函数值相等，即． （3）略 （4）解：观察图象得：：当时，的取值范围是． 23．（7分）（26-27九年级上·浙江温州·阶段检测）如图，已知二次函数的图像与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，点在二次函数图像上，且点与点关于对称轴对称，一次函数的图像经过，两点． (1)求点，的坐标． (2)根据图像，请直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求得点B、C的坐标，根据二次函数的性质求出对称轴直线为，然后利用抛物线的对称性求点D的坐标即可； （2）根据图像确定x的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，，解得：， ∵在的左侧， ∴， 当时，，即 ∵二次函数， ∴抛物线对称轴直线为， ∵D 与 C 关于对称轴对称， ∴． （2）解：∵二次函数的图像与一次函数的图像经过、两点． ∴根据图像判断，当时，． ∴当时，的取值范围为． 24．（8分）（26-27九年级上·宁夏吴忠·阶段检测）如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． (1)求m的值及点B和点C的坐标； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否有一点（不与C点重合），使，若存在，求点D坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，，； (2)12 (3)存在，点D的坐标为或或 【分析】（1）将点代入函数解析式求解确定m的值，然后求出方程的根，确定，再令，即可得出点C的坐标； （2）根据（1）确定二次函数解析式，得出， ，即可求出三角形的面积； （3）设点D的纵坐标为h，根据题意得出，然后分两种情况代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴将点代入函数解析式得：， 解得：； ∴二次函数的解析式为：， 当时，， 解得：，， ∴， 当时，， ∴； （2）由（1）得，， ∴，， ∴的面积为：； （3）设点D的纵坐标为h， ∵，， ∴， 当时，， 解得：（舍去）， ∴点D的坐标为； 当时，， 解得：， ∴点D的坐标为或； 综上可得：点D的坐标为或或． 25．（7分）（24-25九年级上·云南德宏·期末）国庆节期间，正是瑞丽水晶柚成熟之际，某商家购入一批柚子，柚子进价为每个元．经市场调研：当售价为每个元时，每天销售量为个，若售价每提高元，每天销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)用函数解析式表示该柚子销售量（个）与售价（元）之间的函数关系，其中； (2)当售价定为多少时，商家每天获得利润最大？每天的最大利润是多少． 【答案】(1)（）． (2)当售价定为元时，商家每天获得利润最大，每天的最大利润是元． 【分析】（1）根据售价每提高元，销量减少个，先求出售价相比元增加的金额，再用基础销量减去减少的销量，列出与的关系式，同时结合自变量取值范围完成函数解析式书写． （2）先根据单件利润等于售价减进价，总利润等于单件利润乘以销售量，列出利润关于售价的二次函数，再利用二次函数的性质，结合自变量取值范围求出利润最大值以及对应的售价． 【详解】（1）解：， ∴（）， （2）解：设每天利润为元． ， ，抛物线开口向下，对称轴为，， 当时，， 答：当售价定为元时，商家每天获得利润最大，每天的最大利润是元． 26．（8分）（26-27九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 【答案】(1)水管的长度为 (2)应把水管加长 【分析】（1）设抛物线的解析式为， 根据题意求出，得到抛物线的解析式，即可解答； （2）设应把水管加长，求出平移后抛物线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入，得， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴水管的长度为； （2）解：设应把水管加长，在抛物线的形状、大小不变的情况下，相当于把抛物线向上平移了个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴应把水管加长． 27．（9分）（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、C两点的直线，已知点A坐标为，点B坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求直线的解析式，并直接写出时x的取值范围； (3)在抛物线对称轴上取一点M，使的值最小，求点M的坐标； (4)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 【答案】(1) (2)；或 (3) (4)；面积的最大值 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）待定系数法求出直线的解析式，然后根据函数图象直接得出时x的取值范围即可； （3）设抛物线的对称轴与直线交于点M，连接，根据轴对称的性质得出，从而得出，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出点M的坐标即可； （4）过作y轴的平行线交于H，设，则，，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将和分别代入中，得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 根据函数图象可得：时x的取值范围是或； （3）解：设抛物线的对称轴与直线交于点M，连接，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵点A、B关于抛物线的对称轴，直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 把代入得：， ∴点M的坐标为． （4）解：过作y轴的平行线交于H，如图所示： 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 3．关于三个函数，，的共同点，下列说法正确的是（     ）． A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随的增大而增大 4．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间是（    ） A． B． C． D． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（） A． B． C． D． 8．在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．函数的一次项系数是______． 10．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式______． 11．已知、是抛物线上的两点，则________． 12．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是___________． 13．若抛物线的顶点在x轴上，则_________． 14．的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 15．如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 16．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 17．如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 18．某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）已知函数是二次函数： (1)求m的值； (2)当x取什么值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)点在这个二次函数的图象上吗？ 20．（6分）如图，菱形的顶点，，在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且． (1)点的坐标为________； (2)求出菱形的面积． 21．（6分）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 22．（7分）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … (1)此二次函数图象的顶点坐标为__________． (2)表格中的值为__________； (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (4)结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 23．（7分）如图，已知二次函数的图像与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，点在二次函数图像上，且点与点关于对称轴对称，一次函数的图像经过，两点． (1)求点，的坐标． (2)根据图像，请直接写出当时的取值范围． 24．（8分）如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． (1)求m的值及点B和点C的坐标； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否有一点（不与C点重合），使，若存在，求点D坐标；若不存在，说明理由． 25．（7分）国庆节期间，正是瑞丽水晶柚成熟之际，某商家购入一批柚子，柚子进价为每个元．经市场调研：当售价为每个元时，每天销售量为个，若售价每提高元，每天销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)用函数解析式表示该柚子销售量（个）与售价（元）之间的函数关系，其中； (2)当售价定为多少时，商家每天获得利润最大？每天的最大利润是多少． 26．（8分）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 27．（9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、C两点的直线，已知点A坐标为，点B坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求直线的解析式，并直接写出时x的取值范围； (3)在抛物线对称轴上取一点M，使的值最小，求点M的坐标； (4)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：100分 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则a的值不可能是（     ） A． B．2 C．1 D．或0 3．关于三个函数，，的共同点，下列说法正确的是（     ）． A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随的增大而增大 4．顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．已知二次函数的部分图像如图所示，那么关于的一元二次方程的根为（     ） A．， B．， C．， D．， 6．汽车刹车后行驶的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，汽车刹车后到停下来所用的时间是（    ） A． B． C． D． 7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量（单位：）与旋钮的旋转角度（单位：度）之间近似满足函数关系．如图记录了家用燃气灶烧开一壶水的旋钮角度与燃气量的三组数据，根据函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度可能是（） A． B． C． D． 8．在同一直角坐标系中，函数和函数（是常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9．函数的一次项系数是______． 10．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式______． 11．已知、是抛物线上的两点，则________． 12．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是___________． 13．若抛物线的顶点在x轴上，则_________． 14．的自变量与函数的几组对应值如下表，则方程的解是___________． ．．． 0 1 2 ．．． ．．． 5 0 ．．． 15．如图，已知关于的一元三次方程的解为，，，请运用函数的图象，数形结合的思想方法，判断关于的不等式的解集_____． 16．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为_________． 17．如图，正方形的边长为6，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数与的图象，则阴影部分的面积是________． 18．某二次函数的部分图象如上图所示： ①；②；③；④．以上结论中正确的是 _______________． 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分）已知函数是二次函数： (1)求m的值； (2)当x取什么值时，y的值随x值的增大而增大？ (3)点在这个二次函数的图象上吗？ 20．（6分）如图，菱形的顶点，，在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且． (1)点的坐标为________； (2)求出菱形的面积． 21．（6分）已知二次函数（为常数，）． (1)若该二次函数的图象经过，求该二次函数的表达式； (2)当时，的最小值为，求的值． 22．（7分）已知二次函数自变量与函数的部分对应值如表： … … … … (1)此二次函数图象的顶点坐标为__________． (2)表格中的值为__________； (3)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (4)结合图象回答：当时，的取值范围是__________． 23．（7分）如图，已知二次函数的图像与轴交于点，（在的左侧），与轴交于点，点在二次函数图像上，且点与点关于对称轴对称，一次函数的图像经过，两点． (1)求点，的坐标． (2)根据图像，请直接写出当时的取值范围． 24．（8分）如图所示，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C． (1)求m的值及点B和点C的坐标； (2)求的面积； (3)该二次函数图象上是否有一点（不与C点重合），使，若存在，求点D坐标；若不存在，说明理由． 25．（7分）国庆节期间，正是瑞丽水晶柚成熟之际，某商家购入一批柚子，柚子进价为每个元．经市场调研：当售价为每个元时，每天销售量为个，若售价每提高元，每天销售量就会减少个，请回答以下问题： (1)用函数解析式表示该柚子销售量（个）与售价（元）之间的函数关系，其中； (2)当售价定为多少时，商家每天获得利润最大？每天的最大利润是多少． 26．（8分）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心． (1)如图，以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，求水管的长度； (2)在抛物线的形状、大小不变的情况下，若要想水柱落地处离池中心，应把水管加长多少米？ 27．（9分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过A、C两点的直线，已知点A坐标为，点B坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)求直线的解析式，并直接写出时x的取值范围； (3)在抛物线对称轴上取一点M，使的值最小，求点M的坐标； (4)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下册数学单元自测 第6章 二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D C C C C C D 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9． 10．（答案不唯一） 11．2 12． 13． 14．， 15．或 16．3 17．18 18．③④ 三、解答题（共9小题，共64分） 19．（6分） 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：；（2分） （2）解：把代入原函数，得到二次函数解析式： ， 该函数开口向下，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，也就是时，的值随值的增大而增大；（4分） （3）解：把点的横坐标代入函数解析式得：， 和点的纵坐标不相等， ∴点不在这个二次函数的图象上．（6分） 20．（6分） 【详解】（1）解：如图，连接交轴于点， 为菱形，为坐标原点，为对角线且与轴重合， ，即轴， 根据菱形的性质，可知， ， 点的坐标为，（1分） 又轴， 轴， 点的纵坐标为， 将代入中， 得， 整理，得， 解得，（2分） 由于点在第一象限，第一象限的点的坐标大于， 故， 点的坐标为．（3分） （2）解： ， ， 由菱形的性质可知，，， ， 菱形的面积是：．（6分） 21．（6分） 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式得， ， 解得， ∴；（2分） （2）解：二次函数的对称轴为直线，（3分） ∵， ∴，（4分） ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的最小值为， 即， 解得．（6分） 22．（7分） 【详解】（1）解：由表格得：当和时，，函数值均相等， ∴该函数图象的对称轴为直线， ∵当时，， ∴此二次函数图象的顶点坐标为；（2分） （2）解：∵该函数图象的对称轴为直线， ∴和时的函数值相等，即．（3分） （3）画出这个二次函数的图象，如图： （5分） （4）解：观察图象得：：当时，的取值范围是．（7分） 23．（7分） 【详解】（1）解：当时，，解得：，（2分） ∵在的左侧， ∴，（3分） 当时，，即 ∵二次函数， ∴抛物线对称轴直线为， ∵D 与 C 关于对称轴对称， ∴．（5分） （2）解：∵二次函数的图像与一次函数的图像经过、两点． ∴根据图像判断，当时，． ∴当时，的取值范围为．（7分） 24．（8分） 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， ∴将点代入函数解析式得：， 解得：； ∴二次函数的解析式为：， 当时，， 解得：，， ∴，（1分） 当时，， ∴；（2分） （2）由（1）得，， ∴，， ∴的面积为：；（4分） （3）设点D的纵坐标为h， ∵，， ∴，（5分） 当时，， 解得：（舍去）， ∴点D的坐标为；（6分） 当时，， 解得：， ∴点D的坐标为或；（8分） 综上可得：点D的坐标为或或． 25．（7分） 【详解】（1）解：， ∴（），（3分） （2）解：设每天利润为元． ，（5分） ，抛物线开口向下，对称轴为，， 当时，， 答：当售价定为元时，商家每天获得利润最大，每天的最大利润是元．（7分） 26．（8分） 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将，代入，得， ∴， （1分） ∴抛物线的解析式为， （2分） 当时，， ∴水管的长度为；（3分） （2）解：设应把水管加长，在抛物线的形状、大小不变的情况下，相当于把抛物线向上平移了个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为， （5分） 将，代入， 得， 解得， ∴平移后抛物线的解析式为， ∴应把水管加长．（8分） 27．（9分） 【详解】（1）解：由题意，将和分别代入中，得， 解得， ∴该二次函数的表达式为；（2分） （2）解：把代入得：， ∴点C的坐标为， 把，分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为；（4分） 根据函数图象可得：时x的取值范围是或；（5分） （3）解：设抛物线的对称轴与直线交于点M，连接，如图所示： 抛物线的对称轴为直线， ∵点A、B关于抛物线的对称轴，直线对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 把代入得：， ∴点M的坐标为．（7分） （4）解：过作y轴的平行线交于H，如图所示： 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，此时点P坐标为．（9分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $