4.2.2等差数列前n项和公式专题讲义-2025届高三数学一轮复习

4.2.2等差数列前n项和公式 ( 知识 归纳 ) 1、等差数列的前项和的公式 公式：①；②． 公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前项和的性质： ①若项数为，则，且，． ②若项数为，则，且， （其中，）． ③，，成等差数列． 2、判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：是等差数列 ②中项法：是等差数列 ③通项公式法：是等差数列 ④前项和公式法：是等差数列 ( 考点讲解 ) 题型一：等差数列前n项和 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．-200 B．-100 C．200 D．100 2．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则时最大 C．若，则使为负值的n的值有6个 D．若，则 3．（多选）（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 4．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设数列是等差数列，记为数列的前n项和，，，求． 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 1．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 2．（多选）（2024·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．使取最大值的n值有2个 C．使得成立的n的最大值为23 D． 3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．（2024·安徽宣城·二模）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型三：由Sn求通项公式 1．（2023·河南开封·一模）已知数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，若，点在直线上.则数列的通项公式是 . 3．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知正项数列满足. (1)求数列的通项公式及其前项和； (2)求数列的前项和. 题型四：等差数列片段和的性质及应用 1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 2．（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 3．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．（2024·浙江·一模）一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：．，点到的长度为1，点到的长度为2，点到的长度为3，点到的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（    ） A．4752 B．4753 C．4850 D．4851 题型五：前n项和与n的比所组成的等差数列 1．（2024·河南·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·新疆·模拟预测）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ） A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040 4．（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 题型六：两个等差数列的前n项和之比问题 1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 2． （2024·黑龙江牡丹江·二模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 4．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ． 题型七：等差数列前n项和的二次函数特征 1．（2024·浙江绍兴·一模）已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 3．（2024·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·重庆·二模）已知数列的前项和为,且满足,且. (1)求证:数列为常数列,并求的通项公式; (2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值. 题型八：二次函数法求等差数列前n项和的最值及已知最值求参数 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 2．（多选）（2023·广西玉林·模拟预测）设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时有最大值 D．设，则当或时数列的前n项和取最大值 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 4．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 题型九：等差数列奇数项或偶数项的和 1．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 4．求下列两题： (1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． ( 巩固提升 ) 1．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．7 C．14 D． 2．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 4．已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意恒成立的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 5．已知点P是的边BC所在直线上任意一点，是等差数列的前n项和，若向量，则（   ） A．1 B．100 C．50 D．9 6．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 7．记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 8．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 9．（多选）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 10．（多选）等差数列中，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 11．（多选）设数列，的前n项和分别为，，且，则下列结论不正确的是（    ） A．若是递增数列，则是递增数列 B．若是递减数列，则是递减数列 C．若是递增数列，则是递增数列 D．若是递减数列，则是递减数列 12．数列满足，则 . 13．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ． 14．已知数列满足，其前n项和记为，则数列的前2024项的和为 ． 15．已知是等差数列的前项和，且. (1)求； (2)若，记数列前项和为 16．设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. ( 走进高考 ) 1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 2．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 4．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为 ． 6．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 7．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 8．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 10．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 11．（2021·全国·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 12．（2021·全国·高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.2等差数列前n项和公式 ( 知识 归纳 ) 1、等差数列的前项和的公式 公式：①；②． 公式特征：是一个关于n且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前项和的性质： ①若项数为，则，且，． ②若项数为，则，且， （其中，）． ③，，成等差数列． 2、判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法：是等差数列 ②中项法：是等差数列 ③通项公式法：是等差数列 ④前项和公式法：是等差数列 ( 考点讲解 ) 题型一：等差数列前n项和 1．（2024·福建泉州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，满足，则（    ） A．-200 B．-100 C．200 D．100 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式即可解出. 【详解】因为等差数列的前项和为， 可得，解得， 则. 故选：A 2．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则时最大 C．若，则使为负值的n的值有6个 D．若，则 【答案】AD 【分析】直接利用等差数列的通项公式和前n项和的基本量计算，结合等差数列的性质的应用，判断各选项的结论. 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：，则，当时，， 则，所以，， 则当时最大，故B错误； 选项C：，则当时，， 故， 所以使为负值的n的值有5个，分别为1，2，3，4，5，故C错误； 选项D：若，则，又，即， 于是，，，故D正确． 故选：AD 3．（多选）（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 【答案】ABD 【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前n项和判断C；由等差数列的前n项和和等差中项判断D. 【详解】A：首项为正数的等差数列的前项和为， 所以， 若，则一定大于零，不符合题意， 所以，，故A正确； B：由A可知， ，故B正确； C：由A可知，因为，，可知，故，取最大值，故C错误； D：，，故D正确. 故选：ABD. 4．（2024·辽宁丹东·二模）已知数列中，，． (1)求的通项公式； (2)设数列是等差数列，记为数列的前n项和，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，再利用累加法求解； （2）设数列的公差为d，根据，得到，从而，再由求解. 【详解】（1）由，得， 当时，， 当时，， 所以． （2）设数列的公差为d， 因为，得，易知， 因为，所以，可得， 又因为，所以，所以． 题型二：含绝对值的等差数列前n项和 1．（2024·内蒙古包头·一模）已知等差数列中，，，设，则（    ） A．245 B．263 C．281 D．290 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差及通项公式，判断正数、负数项，再求出. 【详解】等差数列中，由，，得公差， 则，显然当时，，当时，， 所以 . 故选：C 2．（多选）（2024·安徽芜湖·二模）已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．使取最大值的n值有2个 C．使得成立的n的最大值为23 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定的前n项和求出数列通项，再逐项分析、计算判断得解. 【详解】对于A，数列的前n项和为，当时，， 当时，，满足， 所以数列的通项公式为，A正确； 对于B，，当或时，且最大，B正确； 对于C，由，得，解得，而，，C错误； 对于D，由，得，则 ，D正确. 故选：ABD 3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 4．（2024·安徽宣城·二模）已知数列是首项为1的等差数列，公差，设数列的前项和为，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等比中项的意义、等差数列前n项和公式求解作答. （2）令，判断数列的单调性，确定正数项、负数项，再结合等差数列前n项和公式分段求和作答. 【详解】（1）因为成等比数列，则有， 即，而，解得，则， 所以的通项公式是． （2）由（1）知，令，则数列为递增数列，其前4项为负值，从第5项开始为正值， 设的前项和为，则， 若，， 若， ， 所以. 题型三：由Sn求通项公式 1．（2023·河南开封·一模）已知数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值. 【详解】当时，； 当时，. 也满足，故对任意的，， 因此，. 故选：B. 2．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知数列的前项和为，若，点在直线上.则数列的通项公式是 . 【答案】/ 【分析】由已知条件可得出，变形可得，可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，再利用与的关系可求得数列的通项公式. 【详解】由已知可得， 等式两边同时除以可得，即， 所以，数列为等差数列，且其首项为，公差为， 则，可得， 当时，， 也满足， 故对任意的，. 故答案为：. 3．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据作差即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时， 当时， 所以， 又当时，也成立， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 则 . 4．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知正项数列满足. (1)求数列的通项公式及其前项和； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由第项等于前项和式与前项和式的差，再对第一项进行检验，即可得到通项公式以及求和结果； （2）利用分组求和法转化为平方和的公式和等差数列公式求和即可. 【详解】（1）当时，，因为是正项数列，所以 由， 当时，， 两式相减得 因为是正项数列，所以， 当时，成立，所以， 显然，数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 （2）， 所以数列的前项和 所以 题型四：等差数列片段和的性质及应用 1．（2025·四川巴中·模拟预测）已知是等差数列的前n项和，若，则（    ） A．44 B．56 C．68 D．84 【答案】D 【分析】利用等差数列的前n项和性质：，，成等差数列可求. 【详解】由题意可得，，成等差数列， 所以， 因为，， 则，解得. 故选：D. 2．（2024·河南周口·模拟预测）设为等差数列的前项和，已知，，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据题意可知，，，，，成等差数列，结合等差数列运算求解. 【详解】由等差数列的性质可知，，，，，，成等差数列， 且，，可知首项为4，公差为2， 所以. 故选：B. 3．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，，则的值为（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和公式，即可求解. 【详解】由，得①， 因为，， 所以，即②， ①②两式相加，得，即， 所以，所以，解得. 故选：B. 4．（2024·浙江·一模）一个正方形网格由99条竖线和99条横线组成，每个最小正方形格子边长都是1．现在网格中心点处放置一棋子，棋子将按如下规则沿线移动：．，点到的长度为1，点到的长度为2，点到的长度为3，点到的长度为4，……，每次换方向后的直线移动长度均比前一次多1，变换方向均为向右转．按此规则一直移动直到移出网格为止，则棋子在网格上移动的轨迹长度是（    ） A．4752 B．4753 C．4850 D．4851 【答案】C 【分析】由题意可知，棋子每次移动的长度构成等差数列，首项为，公差为，通过归纳法得出可以移动的次数,即可求出． 【详解】根据题意可知，棋子每次移动的长度构成等差数列，首项为，公差为，以点为原点，水平向右为轴正方向建立直角坐标系， 设，， 易得，， 由图归纳可知，，，同理可得，，，当， 故当时，即为， 当时，即为，移出网格1个单位， 此时移动的轨迹长度为. 故选：C. 题型五：前n项和与n的比所组成的等差数列 1．（2024·河南·二模）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合等差数列求和公式可推导证得数列为等差数列，进而求得等差数列的公差，根据等差数列通项公式可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 则， 数列是公差为的等差数列，，解得：， . 故选：D. 2．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用通项公式和求和公式可以得到为等差数列，利用此性质得到方程求解即得. 【详解】∵，∴是等差数列， ，是其中的连续三项， ∴， 解得 故选:C. 【点睛】是以为首项，以数列的公差的一半为公差的等差数列，这是一个很有用的结论. 3．（2024·新疆·模拟预测）在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ） A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和公式，可得为等差数列，由已知求出其公差，进而得到通项公式，即可得出结论. 【详解】在等差数列中，，其前n项和为， 则是以为首项的等差数列，设其公差为， ， . 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列前和基本量的运算，应用等差数列前项和的性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题. 4．（2024·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 题型六：两个等差数列的前n项和之比问题 1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果. 【详解】因为为等差数列的前项和，所以可设，（等差数列前项和的二级结论） 同理因为为等差数列的前项和，所以可设． 又，所以，即， 整理得，解得． 不妨设，则，则，故， 故选：D． 2． （2024·黑龙江牡丹江·二模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可． 【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，，，. 故选：A 3．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的等和性可得， . 故选：C. 4．（2024·广东深圳·模拟预测）设是等差数列的前n项和，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前项和公式计算的等量关系，代入所求即可求出结果. 【详解】设数列的公差为， ，， 则， 故答案为：. 题型七：等差数列前n项和的二次函数特征 1．（2024·浙江绍兴·一模）已知数列为等差数列，前项和为，则“”是“数列为单增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先说明充分性，由得到为单调递增数列，设公差为，表达出，结合对称轴得到时，此时先增后减，从而充分性不成立； 再举出反例得到必要性不成立. 【详解】若，故，即， 故为单调递增数列，设公差为， 此时，， 令，对称轴为，当时，此时对称轴， 此时先增后减， 所以数列不是单调数列， 充分性不成立， 若数列为单增数列，设等差数列公差为， 若，不妨设，此时，满足数列为单增数列， 此时，，故必要性不成立， 故“”是“数列为单增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D 2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，故， 且，故， 所以, , 结合，可知， 都小于0，都大于0. 故选：B 3．（2024·全国·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则使得的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：根据条件得到，，再利用等差数列的通项公式及前项和公式的函数性质，即可求出结果；法二：根据条件得到，建立不等不关系，即可求出结果. 【详解】方法一：因为，所以，得到， 设等差数列的公差为，由，得到，又，所以， 所以，， 又， 令，其图象如图所示 结合等差数列的前n项和及通项的函数特征，    由图知，n的取值范围是． 方法二：由条件得，即． 因为，所以，并且有， 所以． 由，得， 整理得． 因为，所以， 即，解得， 所以n的取值范围是， 故选：C. 4．（2023·重庆·二模）已知数列的前项和为,且满足,且. (1)求证:数列为常数列,并求的通项公式; (2)若使不等式成立的最小整数为,且,求和的最小值. 【答案】(1)证明见解析, (2);的最小值为: 【分析】(1)中两边同除,再结合裂项即可同构出所需数列;(2)中由不等式成立的最小整数为可以确定为二次函数且开口向上,结合,即可求出,从而就确定了. 【详解】（1）因为,两边同除得, , 所以 所以数列为常数列; 所以. （2）由(1)知,数列是等差数列, 所以 因为,化简得; 令, 则成立的最小值为, 所以;解得. 因为,所以; 所以,故的最小值为. 题型八：二次函数法求等差数列前n项和的最值及已知最值求参数 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是等差数列，是其前项的和，则下列结论错误的是（    ） A．若，则取最小值时的值为12 B．若，则的最大值为108 C．若，则必有 D．若首项，，则取最小值时的值为9 【答案】D 【分析】对于AB，利用等差数列求和公式求出，然后利用二次函数性质求解即可判断；对于C，根据等差数列和的性质，结合等差数列通项性质求和即可判断；对于D，利用求得，利用数列单调性判断的最值即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以， 所以当时，取得最小值，正确； 对于B，因为，所以， 所以， 所以当或时，取得最大值为，正确； 对于C，若，则，又， 所以，所以，正确； 对于D，若，则， 又，所以，所以， 所以等差数列为递减数列，所以， 所以取最大值时的值为9，错误. 故选：D 2．（多选）（2023·广西玉林·模拟预测）设数列前n项和为，满足，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．当时有最大值 D．设，则当或时数列的前n项和取最大值 【答案】BD 【分析】根据等差数列的定义求出通项公式判断A，求出，然后利用等差数列定义判断B，结合二次函数求等差数列前n项和的最大值判断C，根据的符号判定前n项和的最值判断D. 【详解】对于A，由知数列为等差数列，公差为，首项为， 所以该数列的通项公式为，错误； 对于B，因为，所以， 则当时，，故数列为等差数列，正确； 对于C，，故当时，有最大值，错误； 对于D，令得，令得， 则当或时，， 当时，，当时，，当时，， 又，， 所以或时，数列的前n项和取最大值，正确. 故选：BD 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最小值，则的公差的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，列出不等式组，即可求解． 【详解】由题意可得，，，即，解得， 故的取值范围为． 故答案为：． 4．（2024·贵州六盘水·三模）已知为等差数列，且，． (1)求的通项公式； (2)若恒成立，求实数λ的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解； （2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解． 【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得， 解得，则． （2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到， 又恒成立，则恒成立， 设，则， 当时，，即； 当时，，则，则； 则，故， 故实数λ的取值范围为． 题型九：等差数列奇数项或偶数项的和 1．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，首项为， 则，所以， 因为，即，则， 等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得， 所以. 故选：B 2．已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可设等差数列共有项，然后通过即可得出结果. 【详解】设等差数列共有项， 则，，中间项为， 故 ， ， 故选：B. 3．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2)当为偶数时, ; 当为奇数时, ; 【分析】（1）根据的关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解， (2)数列的前项的和分奇偶求和,先求， 又，，，是首项为2，公差为2的等差数列，再求奇数项和即可. 【详解】（1）由得时， 两式相减得,整理得 因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列 在中令解得 所以. （2）当时 ， 又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 故．所以 当时 ， 又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列， 所以， 故．所以 当为偶数时, ; 当为奇数时, ; 4．求下列两题： (1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差； (2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项． 【答案】(1)5； (2)11． 【分析】（1）利用前12项中奇数项和偶数项和的比和前12项的总和列出方程，求出前12项的奇数项和偶数项的和，然后即可求出公差. （2）根据等差数列奇数项和偶数项之比可求出项数，然后根据等差数列求和性质即可求解. 【详解】（1）解：由题意得： 设等差数列的首项为，公差为，奇数项和为，偶数项的和为 则由题意得：，解得： 由等差数列性质可知：解得： 故该数列的公差为. （2）设等差数列中共有项，则奇数项有项，偶数项由项，中间项为第项，记作，奇数项和为，偶数项的和为 由等差数列前项和的性质，可知 又 所以，解得： 又因为，所以 所以这个数列的中间项为，共有项. ( 巩固提升 ) 1．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A． B．7 C．14 D． 【答案】B 【分析】先由可求出与公差的关系，再利用等差数列的前项和公式，以及通项公式化简，代入求值即可. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 则， 故选：B. 2．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”的题．若第一天织布5尺（长度单位），从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，现1个月（按30天计）共织390尺布，则第2天比前一天多织布（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】由等差数列求和公式列方程即可求解. 【详解】设第2天比前一天多织布尺， 根据题意得，解得， 所以第2天比前一天多织布尺， 故选：D． 3．如果数列的前n项和满足：，那么的值为（    ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】B 【分析】根据与之间的关系进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 4．已知公差为的等差数列的前项和为，则满足对任意恒成立的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的前项和与的关系，结合充要条件的定义对选项逐一分析即可. 【详解】， 所以C是的充要条件， A是的充分不必要条件， BD是既不充分也不必要条件. 故选：C. 5．已知点P是的边BC所在直线上任意一点，是等差数列的前n项和，若向量，则（   ） A．1 B．100 C．50 D．9 【答案】D 【分析】由，根据三点共线可得，再利用等差数列的下标和性质即可求得答案. 【详解】由题意知P是的边BC所在直线上任意一点，即共线， 则由，可得， 故， 故选：D 6．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式求解即可. 【详解】解：因为，即， 所以． 故选：A. 7．记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】当时，由可得，进一步可得数列是等差数列，并求得其通项公式，即可求出； 【详解】因为为数列的前n项积， 当时，，所以，∴， 当时，，所以， 化简可得：， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 所以. 故选：C. 8．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由题意按等差数列的通项公式及求和公式列出含和的方程组，解出和，再利用求和公式写出，进而求出取最小值时的值即可. 【详解】由题意知：，则， 解得，所以， 所以当或时，取最小值. 故选：D. 9．（多选）设是等差数列，是其前n项的和，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与均为的最大值 D．为的最小值 【答案】AC 【分析】由已知可得公差，进而由与的关系可得，，根据等差数列的性质可得结论. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为是等差数列且，所以公差，故B错误； 因为，所以， 又因为是等差数列且，所以与均为的最大值，故C正确，D错误. 故选：AC. 10．（多选）等差数列中，，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的性质，对于A，，计算即可；对于B，由已知计算数列公差，再求值即可； 对于C，结合数列单调性比大小；对于D，由，，得. 【详解】等差数列中，，设公差为， 若，则，A正确； 若，，则，得， ，B正确； 若，，所以公差， 当时，有，则有， 当时，有，得， 所以，则有，C错误； 若，则， 因为，所以，D正确． 故选：ABD． 11．（多选）设数列，的前n项和分别为，，且，则下列结论不正确的是（    ） A．若是递增数列，则是递增数列 B．若是递减数列，则是递减数列 C．若是递增数列，则是递增数列 D．若是递减数列，则是递减数列 【答案】ABD 【分析】取具体数列可判断AB，根据指数的性质判断，由数列和的概念可判断CD. 【详解】当时，是递增数列，此时，不是递增数列，故A错误； 当时，是递减数列，此时，不是递减数列，故B错误； 由是递增数列， 得是递增数列，且，则是递增数列，故C正确； 由是递减数列，得是递减数列，且，则是递增数列，故D错误. 故选：ABD 12．数列满足，则 . 【答案】 【分析】利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 13．南宋数学家杨辉为我国古代数学研究做出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为1，3，7，13，则该数列的第15项为 ． 【答案】211 【分析】设数列为,根据题意，累加法求出的通项公式，求出. 【详解】设数列为,根据题意， 则累加可得, 所以，故. 故答案为：. 14．已知数列满足，其前n项和记为，则数列的前2024项的和为 ． 【答案】 【分析】由递推关系得到，即奇数项和偶数项分别为等差数列，分别讨论n为奇数和n为偶数时求出通项，和前项和公式，再将的通项裂项后求和即可． 【详解】由题意知，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 所以， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以， 故， 所以 ， 所以． 故答案为：． 15．已知是等差数列的前项和，且. (1)求； (2)若，记数列前项和为 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而写； （2）应用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设公差为，结合题设有，解得. 故. （2）由（1）有， 故， 即. 16．设等差数列{}的前n项和为，且 (1)求数列{}的通项公式及前10项的和； (2)设数列{}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得（）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时，；当时，；当时，. 【分析】（1）由等差数列通项公式及前项和公式，列出方程即可求解； （2）由（1）确定，再结合等差中项列出方程，求解即可. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为. 由已知得， 即解得. 故， （2）解：由（1）知.要使成等差数列，必须， 即， 移项得：，整理得， 因为为正整数，所以只能取. 当时，；当时，；当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. ( 走进高考 ) 1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 2．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出； 方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出． 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 4．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 5．（2024·上海·高考真题）数列，，c的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先利用等差数列的定义判定为等差数列，再利用等差数列性质即可求解. 【详解】因为，则， 可知数列为等差数列， 则，解得， 所以c的取值范围为. 故答案为：. 6．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 7．（2023·全国·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 8．（2023·全国·高考真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 9．（2022·全国·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 10．（2021·全国·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的n的最小值． 【答案】(1)；(2)7. 【分析】(1)由题意首先求得的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式； (2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值. 【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：， 设等差数列的公差为，从而有：， ， 从而：，由于公差不为零，故：， 数列的通项公式为：. (2)由数列的通项公式可得：，则：， 则不等式即：，整理可得：， 解得：或，又为正整数，故的最小值为. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 11．（2021·全国·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】证明过程见解析 【分析】选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明. 选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证； 选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论. 【详解】选①②作条件证明③： [方法一]：待定系数法+与关系式 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，，故. [方法二] ：待定系数法 设等差数列的公差为d，等差数列的公差为， 则，将代入， 化简得对于恒成立． 则有，解得．所以． 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列. 选②③作条件证明①： [方法一]：定义法 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去. 综上可知为等差数列. [方法二]【最优解】：求解通项公式 因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意. 【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，平方后得到的关系式，利用得到的通项公式，进而得到，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出与的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，，进而得到；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出及，进而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出，结合的关系求出，根据可求，然后可证是等差数列；法二：利用是等差数列即前两项的差求出公差，然后求出的通项公式，利用，求出的通项公式，进而证明出结论. 12．（2021·全国·高考真题）已知数列满足， （1）记，写出，，并求数列的通项公式； （2）求的前20项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列的特征，然后求和其通项公式即可； (2)方法二：分组求和，结合等差数列前项和公式即可求得数列的前20项和. 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． [方法三]：累加法 由题意知数列满足． 所以， ， 则． 所以，数列的通项公式． （2）[方法一]：奇偶分类讨论 ． [方法二]：分组求和 由题意知数列满足， 所以． 所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列； 同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列． 从而数列的前20项和为： ． 【整体点评】(1)方法一：由题意讨论的性质为最一般的思路和最优的解法； 方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质； 方法三：写出数列的通项公式，然后累加求数列的通项公式，是一种更加灵活的思路. (2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前项和是一种常规的方法； 方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择. 学科网（北京）股份有限公司 $$