专题08 知识点49 空间直线、平面的垂直专项训练-2027届高三数学一轮复习

知识点49 空间直线、平面的垂直 线线角 异面直线所成的角的定义：如图，已知两条异面直线 ，经过空间任一点 分别作直线 ，我们把 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角（或夹角）. 异面直线所成的角的范围是 . 提醒：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 直线与平面垂直的判定与性质 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行. 三垂线定理：平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 线面角 直线与平面所成角的定义： 如图，过斜线 上斜足 以外的一点 向平面 引垂线 ，过垂足 和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成的角 的取值范围是 . 二面角 二面角 的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 二面角的平面角的定义 在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. 范围 特别提醒：平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面 与平面 的夹角. 平面与平面垂直的判定与性质 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. 实战演练 一、单选题 1. [2025 湖南岳阳一中考试] 关于三个不同的平面 与直线 ，下列命题为假命题的是（ ） A. 若 ，则 内一定存在直线平行于 B. 若 与 不垂直，则 内一定不存在直线垂直于 C. 若 ，则 D. 若 ，则 内所有直线均垂直于 2. [2026 福建福州质检] 在正三棱柱 中，，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 3. [2025 吉林长春质检] 在正四面体 中，， 分别是棱 的中点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. [2024 北京卷] 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形，，则该棱锥的高为（ ） A. B. C. D. 5.空间中从点 出发的三条射线 、、 满足 ，，则直线 与平面 所成角为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6.已知在菱形 中，，将菱形 沿对角线 翻折，使得二面角 为直二面角，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 7. [2026 江西宜春丰城九中模拟] 在四边形 中，，，，，将 折起，使平面 平面 ，构成三棱锥 ，如图，则在三棱锥 中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 平面 平面 D. 平面 平面 8.在棱长为 的正方体 中，下列结论正确的是（ ） A. 直线 与平面 所成角的正弦值为 B. 直线 与平面 所成的角为 C. 直线 与平面 所成的角为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 9.设 ， 为空间中两条不同直线，， 为空间中不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. ，，则 B. ，，则 C. ，，则 或 D. ，，，则 三、填空题 10.如图，正方体 的棱长为 ，， 是线段 上的动点，过点 作平面 的垂线，交平面 于点 ，则 到 的最小值为__________. 11.设直线 与平面 斜交于点 ，动点 且不与 重合，若直线 与平面 所成角为 ，则直线 与直线 所成角的取值范围是__________. 12.如图，二面角 的棱上有两点 ，点 分别在半平面 内. 若 ，，二面角 的余弦值为 ，则直线 与 夹角的余弦值为__________. 四、解答题 13.[2026 陕西西安部分学校联考] 如图，在三棱柱 中， 与 间的距离为 ，. (1) 证明：平面 平面 . (2) 若点 是棱 的中点，求点 到平面 的距离.（解题指导：此题不易建系，那么怎么求点面距？点 是中点这个信息怎么用？） 14. [2025 广东深圳阶段练习] 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是直角梯形，，，且 ， 为 的中点. (1) 求证：. (2) 求二面角 的余弦值. (3) 在线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请指明点 的位置；若不存在，请说明理由. 15.[2026 安徽部分学校联考] 如图，四棱锥 的所有顶点均在同一个球的球面上，且 平面 . (1) 证明：平面 平面 . (2) 求四棱锥 体积的最大值. 参考答案与解析 一、单选题 1. 【答案】D 【解析】 A. 若 ，设交线为 ，在 内作直线 （ 不在 上），则 ，正确； B. 若 内存在直线垂直于 ，根据面面垂直的判定定理，必有 ，故逆否命题成立，正确； C. 这是面面垂直的性质推论，若两个平面都垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面，正确； D. 若 ，只有 内垂直于交线的直线才垂直于 ，并非所有直线，错误。故选D。 2. 【答案】A 【解析】 设正三棱柱底面边长为 ，即 。 取 的中点 ，连接 。因为 为正三角形，所以 。 又因为 平面 ，所以 。 因为 ，所以 平面 。 故 即为直线 与平面 所成的角。 在 中，。 在 中，。 所以 。故选A。 3. 【答案】D 【解析】 设正四面体棱长为 。连接 。因为 分别为中点，所以 且 ， 且 。 则直线 与 所成角即为 与 所成角。 在 中，，，。 由余弦定理，，说明 。 又 ，，在正四面体中取向量基底计算 。 由空间向量计算可得，两向量夹角余弦值的绝对值为 。故选D。 4. 【答案】C 【解析】 底面正方形边长为 ，，。 取 的中点分别为 ，连接 。则 ，，。 在 中，。 在 中，。 在梯形（或三角形）截面 中，利用海伦公式或余弦定理求高。 由于 ，故 为直角三角形，。 点 到底面 的距离 即为 斜边 上的高： 。故选C。 5. 【答案】A 【解析】 不妨设 。 由 知 为等边三角形，故 。 由 知 。 所以 ， 为直角三角形，。 设点 在平面 上的射影为 。因为 ，所以 为 的外心。 在 中，外心 为斜边 的中点，。 直线 与平面 所成角即为 。 在 中，，故 。故选A。 6. 【答案】A 【解析】 设菱形边长为 。取 中点 ，则 。 因为二面角为直二面角，所以 平面 。 建立以 为原点， 为 轴的空间直角坐标系。 则 。 ，。 设异面直线所成角为 ，则 。故选A。 二、多选题 7. 【答案】ABC 【解析】 在原平面四边形中， 且 ，故 为等腰直角三角形。 又 ，所以 。 折起后：因为平面 平面 ，交线为 ，且 （等腰直角三角形底角45°性质结合图形），所以 平面 。 A. 因为 平面 ， 平面 ，所以 ，正确。 B. 在原四边形中，结合 等条件可推得 。折起后依然成立，正确。 C. 因为 ，，所以 平面 。又 平面 ，故平面 平面 ，正确。 D. 由于 平面 ，若平面 平面 ，则需要推导出矛盾条件，D不成立。故选ABC。 8. 【答案】AC 【解析】 对于A、B：直线 在平面 上的射影为 。 即为所求角。。故A正确，B错误。 对于C、D：直线 在平面 上的射影为 。 即为所求角。，所以角为 ，其正弦值为 。故C正确，D错误。故选AC。 9. 【答案】BCD 【解析】 对于A，若直线 与 相交，那么此时 不平行，所以A错误； 对于B，同时垂直于同一平面的两条直线相互平行，所以B正确； 对于C，因为 ，所以 不在平面 内，因为 ，所以 或 ，所以C正确； 对于D，因为 ，，所以要么 ，要么 ， 又 ，所以 . 三、填空题 10. 【答案】 【解析】 以 为原点建立空间直角坐标系。，平面 法向量为 。 设 ，则 。 过 作平面垂线交上底面于 ，则 ，可得 。 。 当 时， 的最小值为 。 11. 【答案】 【解析】 由最小角定理，斜线 与平面内直线所成角的最小值即为它与射影的夹角 。当平面内直线与射影垂直时，所成角最大为 。故取值范围为 。 12. 【答案】 【解析】 本题通过向量点乘计算。设直线 与棱 夹角为 ，利用空间向量基底 及已知二面角条件，可以解得 。 四、解答题 13. 证明: (1) 在 中，，可得 ，即 。 同理在 中，，可得 ，即 。 因 ，距离为 。结合几何关系可证平面 内存在直线垂直于平面 的某两条相交直线，从而平面 平面 。 (2)由于不易建系，采用等体积法。利用 ，结合几何体的性质求出高。点 是中点用于转化底面积比（）。通过计算得距离为 。 14. 证明：(1) 因为 ，所以 ，故 。 又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 。 因为 平面 ，所以 。 在 中， 为 中点，且 ，所以 。 结合直线与平面垂直的判定，可证 平面 ，从而 。 (2)以 为原点， 为坐标轴建系。求出平面 和平面 的法向量，计算二面角余弦值为 。 (3)存在。设 ，求出平面 的法向量，令其与平面 的法向量（如 或 轴方向）数量积为0，解得 。即 为 的中点。 15. 证明：(1) 因为 平面 ， 平面 ，所以 。 又 。在 中，结合四边形结构可推导出 。 因为 ，所以 平面 。 因为 平面 ，所以平面 平面 。 (2)设 。要使四棱锥 的体积最大，由于底面积 也会随 变化（受外接球条件约束），需将体积 表示为 的函数。 利用顶点均在同一个球面上的条件（如底面三角形外接圆直径与高的几何关系），求出关于 的表达式，再利用基本不等式或二次函数求导得到最大值。计算可得体积最大值为 。 学科网（北京）股份有限公司 $