专题02 一元二次函数、方程和不等式（学考真题汇编，北京专用）2027年高中数学

西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元二次函数、方程和不等式 3类高频考点 目 录 ☑考点一不等式的性质 ☑考点二一元二次不等式 ☑考点三基本不等式 学考汇编分考点专练 考点一不等式的性质（共8题） 1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.c 7.>> 8.< 考点二一元二次不等式（共9题） 1.B 2.C 3.B 4.D 1/3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5.A 6.B 7.A 8.B 空格序号 选项 ① 439 b2-16 B. ② A.b>2或b<-2 B.b>4或b<-4 ③ A.b B.-b ④ A.4 B.-4 b b ⑤ A.4 b.4 答案见解析 考点三基本不等式（共7题） 1.B 2.D 3.D 4.D 5.c 6.D 甲同学的解答： 乙同学的解答： 因为x>0, 因为x>0, 142 2 所以 r-0.2 所以-1+2x+21 上式中等号成立当且仅当-1= =22-1 即x2-x-2=0, 213 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 上式中等号度立当且仅当。 解得=251 舍). 即x2=2, 2x-2-2 解得5=V5,=V2 (舍)· 当x=2时， 2 所以当x=5时，-1+ 的最小值为 所以当x=2时，X-1+的最小值为2. 2W2-1 见解析 313 专题02 一元二次函数、方程和不等式 3类高频考点 目 录 ✅考点一 不等式的性质 ✅考点二 一元二次不等式 ✅考点三 基本不等式 考点一 不等式的性质（共8题） 1．（2026·北京学业水平合格考·第一次）已知，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD可取特例证伪，对于B，由不等号的传递性即可证明. 【详解】对于A，若则原式不成立，故A错误； 对于B，，即，故B正确； 对于C，若则原式不成立，故C错误； 对于D，若则原式不成立，故D错误； 2．（2025·北京学业水平合格考·第一次）已知，且，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 3．（2024·北京学业水平合格考·第二次）已知，则下面不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【详解】对于ABD:取，满足，显然和，都不成立； 对于C：由可得，故成立. 故选：C 4．（2021·北京学业水平合格考）已知直线经过点，且与直线平行，那么直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行关系可得直线斜率，由直线点斜式方程可求得结果. 【详解】与平行，直线的斜率， 方程为：. 故选：B. 5．（2021·北京学业水平合格考）已知，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质可直接判断出结果. 【详解】，，知A错误，B正确； 当时，，C错误；当时，，D错误. 故选：B. 6．（2024·北京学业水平合格考·第一次）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过条件求出的范围，再消去求范围即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以. 故选：C. 7．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知，则______，______．（两空均填“”或“”） 【答案】 【详解】因为，所以； 因为，所以. 8．（2024·北京学业水平合格考·第一次）已知，且，则________（填“>”或“<”）. 【答案】< 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以，即. 故答案为：< 考点二 一元二次不等式（共9题） 1．（2025·北京学业水平合格考·第二次）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 2．（2025·北京学业水平合格考·第一次）不等式的解集是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据二次不等式的解法求解. 【详解】由， 所以不等式的解集是， 故选：C 3．（2024·北京学业水平合格考·第二次）在下列各数中，满足不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案. 【详解】解不等式得. 故选：B. 4．（2024·北京学业水平合格考·第一次）不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意知，或， 所以原不等式的解集为或. 故选：D 5．（2023·北京学业水平合格考·第二次）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先解相应方程，然后根据二次函数开口方向判断解集即可. 【详解】解方程得或， 因为函数开口向上， 所以不等式的解集为. 故选：A 6．（2023·北京学业水平合格考·第一次）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的性质，解二次不等式. 【详解】当时，；当时，， 所以不等式的解集是. 故选：B 7．（2022·北京学业水平合格考）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得； 【详解】解：由，解得，即原不等式的解集为； 故选：A 8．（2021·北京学业水平合格考）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由一元二次不等式的解法，因为，可得， 即不等式的解集为. 故选：B. 9．（2022·北京学业水平合格考）阅读下面题目及其解答过程. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）求实数的取值范围； （2）用含有的代数式表示. 解：（1）因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以 ① . 解得 ② . 所以的取值范围是. （2）不妨设，则，， 所以 ③ ， ④ . 所以 ⑤ 以上题目的解答过程中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）. 空格序号 选项 ① A.                        B. ② A.或                 B.或 ③ A.                           B. ④ A.                            B. ⑤ A.                           B. 【答案】答案见解析 【分析】根据二次方程的判别式及根与系数关系分别判断. 【详解】由二次方程的判别式公式直接可得，即①选B； 解不等式即可解得或，即②B； 由二次方程根与系数关系关系可知，，即③选A，④选A； 进而可得，即⑤选B； 故答案为：B，B，A，A，B. 考点三 基本不等式（共7题） 1．（2026·北京学业水平合格考·第二次）已知a＞0，则a＋的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】根据题意，，则， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值是2； 故选：B. 2．（2026·北京学业水平合格考·第一次）若实数满足，则的最大值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】使用换元法将转化为关于的二次函数，再根据二次函数图象性质即可求解. 【详解】因为，则， 则， 设，易得是开口向下的二次函数，对称轴为， 则. 3．（2025·北京学业水平合格考·第一次）已知，且，则的最大值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 4．（2023·北京学业水平合格考·第二次）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】直接由基本不等式运算即可. 【详解】因为，所以，即的最小值为4， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 5．（2023·北京学业水平合格考·第一次）已知，且．当ab取最大值时，（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由题意可得，，由二次函数的性质即可得取最大值时的条件，从而即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以当时，有最大值， 此时. 故选：C. 6．（2022·北京学业水平合格考）已知，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用基本不等式即得. 【详解】根据题意，，则， 当且仅当，即时等号成立，即的最小值是4； 故选：D. 7．（2021·北京学业水平合格考）已知，求的最小值． 甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学的解答： 因为， 所以． 上式中等号成立当且仅当， 即， 解得（舍）． 当时，． 所以当时，的最小值为2． 乙同学的解答： 因为， 所以 ． 上式中等号成立当且仅当， 即， 解得（舍）． 所以当时，的最小值为． 以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误． 请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误的原因． 【答案】见解析 【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”可判断甲是错误的. 【详解】甲同学的解答是错误的， 不对， 不满足基本不等式：“一正二定三相等”中，“定”的要求，即积不是定值，不可以这样求解. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元二次函数、方程和不等式 3类高频考点 目录 ☑考点一不等式的性质 ☑考点二一元二次不等式 ☑考点三基本不等式 四学考汇编分考点专练 考点一不等式的性质（共8题） 1. (2026北京学业水平合格考第一次)已知a>b,则下列不等式中一定成立的是() A.a>b+1 B.a>b-1 C.a>2b D.a>-2b 2.(2025北京学业水平合格考第一次)己知a,b∈R,且a>b,则下列不等式中一定成立的是() A.a+1>b B.a>b+1 C.a+1<b+1 D.a-1<b-1 3.(2024北京学业水平合格考第二次)已知a>b,c>d,则下面不等式一定成立的是() A.a+d>b+c B.a+d<b+c C.a-d>b-c D.a-d<b-c 4.(2021北京学业水平合格考)已知直线经过 点P10),且与直线=2-1平行，那么直线'的方程是 116 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.y=x-1 B.y=2x-2 C.y=-x+1 D.y=-2x+1 5.(2021北京学业水平合格考)己知a>b,那么下列结论正确的是() A.a-b<0 B.a-b>0 C.a+b<0 D.a+b>0 6.(2024北京学业水平合格考第一次)已知a≥0，b≥0，且a+b=1,则a-b的取值范围是() A.[-10] B.0, c.【, D.[-2,2] 7.(2026北京学业水平合格考第二次)已知a>b>c>0,则a-cb-C,aCbc,(两空均 填“>”或“<”) 8.(2024北京学业水平合格考第一次)己已知a∈R,b∈R,且a>b,则2-a3-b(填“>”或 考点二一元二次不等式（共9题） 1. (2025北京学业水平合格考第二次)不等式x(x+)<0的解集为() A {x0<x<1} {x-1<x<0} c.wx<0x> 或 D.x<-1x>0y 或 2.(2025北京学业水平合格考第一次)不等式x2<1的解集是() A.1<x<0 B.0<x<1 c.1<x< D.<-或> 3。(2024北京学业水平合格考第二次)在下列各数中，满足不等式x-1x+2)< 的是() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(2024北京学业水平合格考第一次)不等式x2>1的解集为() 216 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.{1<x<0y B,{r0<x< c.{1<x< D.<-1或> 5.(2023北京学业水平合格考第二次)不等式：+3x-)<0 解集是() A.3<x< B.{1<x<3到 c.lx3 或 。.x<-欧>3} 6.(2023北京学业水平合格考第一次)不等式x>0的解集是() A.0 B.r≠0 c.>o D. 7（2022北京学业水平合格考)不等式x+1(x-3)小<0 的解集是() A.1<x<3到 B.{3<x<1 C.xx<-l或x>3 D.{xx<-3或x>l 8.(2021北京学业水平合格考)不等式(x-1x-2)≤0的解集是() {x-2≤x≤1} 8.,2 c.Wxs1r≥2y 或 D.s-122 或 9.(2022北京学业水平合格考)阅读下面题目及其解答过程， 已知关于‘的元=次方程-血+4：0有两个不相等的安数根5。与 (1)求实数b的取值范围： 1+ (2)用含有b的代数式表示xx 316 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 解：(1)因为关于x的一元二次方程x2-bx+4=0有两个不相等的实数根， 所以△=①_>0. 解得②： 所以b的取值范围是 -∞，-4)U(4,+o0) 2不纺设5<5，则56-66 2, 5=6+B-16 2 所以+5®， 1+1+4=回 所以云+名西 以上题目的解答过程中，设置了五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确， 请选出你认为正确的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”)· 空格序号 选项 ① A634 &-16 ② A.b>2或b<-2 B.b>4或b<-4 ③ A.b B.-b ④ A.4 B.-4 b b ⑤ A.4 b.4 考点三基本不等式（共7题） 1.(2026北京学业水平合格考·第二次)已知a>0,则a+a的最小值是（) A.1 B.2 C.3 D.4 2.(2026北京学业水平合格考第一次)若实数x,y满足x+y=6,则y的最大值是() 416 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.4 B.6 C.7 D.9 3.(2025北京学业水平合格考第一次)己知a,beR,且a2+b2=1,则ab的最大值是() 1 41 82 C.1 D.2 4 4.(2023北京学业水平合格考第二次)已知>0，则x+的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2023北京学业水平合格考第一次)已知a,beR,且a+b=2.当ab取最大值时，() A.a=0.b=2 B.a=2,b=0 C.a=1,b=1 D.a=-1,b=3 6.(2022北京学业水平合格考)已知x∈R且r>0,则4x+的最小值是() A.1 B.2 C.3 D.4 7.(2021北京学业水平合格考)已知x>0,求-1+的最小值. 甲、乙两位同学的解答过程分别如下： 甲同学的解答： 乙同学的解答： 因为x>0, 因为x>0, 2 2 x-1+ .2 所以x-1+2=x+21 所以 .2 x. 上式中等号成立当且仅当x-1= x =2V2-1 即x2-x-2=0. 解得专=2与 (舍)· 上式中等号成立当且仅当* 2 即x2=2, J(x-1)二=2 当x=2时， 解得V2,x=V2 (舍). 516 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以当x=V5时，x-1 x的最小值为 所以当x=2时，X-1+的最小值为2， 2W2-1 以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误. 请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误的原因. 616