重难点专训04 数列与函数、导数综合问题五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“通法引领-题型突破-分层进阶”构建数列与函数、导数综合问题的系统化训练，提炼3大核心通法，覆盖5类关键题型，实现从知识关联到思维迁移的能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法提炼|3通法|数列函数化（单调性/最值）、导数介入（含参恒成立）、不等式三招（放缩/归纳/构造函数）|以函数思想为统领，建立数列离散性与函数连续性的转化桥梁| |题型1-5|约29题|单调性判断三路径、迭代不动点构造、极限与导数定义结合、新定义问题三步法|从基础应用（单调性）到综合创新（新定义），形成“概念-方法-变式”递进链条| |分层过关练|约12题|巩固题重通法应用，创新题重探究迁移|对接高考命题趋势，强化数学思维的严谨性与创新意识的培养|

重难点专训04 数列与函数、导数综合问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数列的函数观与单调性 2 题型2 递推数列与函数迭代 2 题型3 数列不等式的证明 5 题型4 数列极限与函数、导数交汇 6 题型5 新定义与探究性问题 8 重难专题分层过关练 11 巩固过关 11 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 通法 核心思想 适用情境 典型标志词 通法一 数列函数化 把 看成定义在 上的函数 ，用函数单调性、最值研究数列 单调性、最值、周期性 “求最大/最小项”“判断增减” 通法二 导数介入 研究连续背景函数 （求导定单调、极值），再回到离散项；含参恒成立先分离参数 含参最值、恒成立、 最值 “含参数 m”“恒成立”“求取值范围” 通法三 不等式三招 放缩法、数学归纳法、构造辅助函数＋导数，三选一或组合证明数列不等式 数列不等式的证明 “证明 Σ…＜…”“对一切 n 恒成立” 题型通法及变式提升 题型1 数列的函数观与单调性 判断单调性三条路：① 作差法　 的符号即增减性；② 作商法　正项数列比较 与 1；③ 连续化　若 在 上单调，则 单调（充分条件，反之不成立）。 求最值：先判单调性定位“转折项”，再比较转折点相邻两项；连续化场景先找 极值点附近，再离散化核实。 1．（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝________． 3．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是______． 4．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是__________ 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是___________ 题型2 递推数列与函数迭代 核心思想： 本质是“函数迭代”。研究迭代应从不动点出发：方程 的解 称为不动点，它往往是新数列的“中心”。 常用构造：① 一阶线性　（）：求不动点 ，则 ， 为等比数列；② 取倒数　，则 ；③ 取对数　，则 。 极限视角：若 单调递增且 有界，则 收敛于不动点：令 解 。 6．已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则___；除以17的余数是_____． 7.已知. (1)若对任意都有，求实数的取值范围； (2)当时，称满足的数列为函数的指数迭代数列，若. （i）证明：的指数迭代数列各项均为正数，且单调递增； （ii）证明：. 8.已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质： （i）若，则 （ii）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点． (1)若函数，求（写出结果即可） (2)证明：若，则． (3)若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算． 9.在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 题型3 数列不等式的证明 三大主线：证明数列不等式主要有三条路，可按题面特征选用或组合。 1．放缩法。① 裂项放缩　（）；；② 等比放缩　通项放大 / 缩小为等比数列后，用求和公式甚至无穷递缩求和；③ 函数放缩　（）、、、。 2．数学归纳法。适用于“与正整数 有关”的命题，上海卷常以“先猜后证”呈现：先算前几项找规律，再严格归纳。第二步常用手段：作差比较、利用归纳假设＋放缩。 3．构造辅助函数＋导数。把不等式写成“（）”的形式，用导数证明 单调，从而得到结论。 10．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 11．设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 12.已知数列满足. (1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列； (2)若，求证：； (3)对于（2）中的数列，求证： 13.对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 题型4 数列极限与函数、导数交汇 1．极限四则运算：前提是各极限存在；“抓大头、同除最高次”是分式极限的统一处理。 2．无穷递缩等比数列求和：当 时，。 3．递推数列的极限：先证收敛（单调有界），再对 两边取极限，解不动点方程 。 4．与导数定义结合：导数定义 ，取 即得离散型结构。 14．（2026·上海·三模）已知，则________． 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，则_________． 16．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则______. 17．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数，则__________. 18．（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 19．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知. (1)写出函数的单调增区间； (2)求关于的方程的解集； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，计算. 20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（为正整数）. (1)当时，求的解析式； (2)若函数存在零点，且零点个数不超过10，求实数的取值范围； (3)求数列的前项和为是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由 题型5 新定义与探究性问题 上海卷压轴最爱“给出新定义，现场学习、现场应用”。应对三步：① 翻译定义　把新定义写成集合、不等式、递推等熟悉语言；② 验证小问　逐字代入定义检验（第 (1)(2) 问通常是送分或中等难度）；③ 探究大问　构造特例 → 找规律 → 提出猜想 → 严格论证（代数推理或反证）。 21．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 22.定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 23.若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”. (1)若为的“2倍点列”，求的前项和； (2)若为的“1倍点列”且，求证：为定值； (3)若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论. 24.设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 25．（24-25高三上·上海·阶段检测）对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 26.设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数． (1)若，，求，，的值； (2)若为常数列，证明是等差数列； (3)证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列． 27.已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 28.若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 29，已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．设无穷数列的前项和为，若为严格增数列，则数列（    ） A．所有项都大于 B．至多有一项不大于 C．可以有不止一项的有限项不大于 D．可以有无穷多项不大于 2．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知，则_______. 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 5．（24-25高三下·上海·阶段检测）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为______． 创新提升 1.已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______. 2．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 3.已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训04 数列与函数、导数综合问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 数列的函数观与单调性 2 题型2 递推数列与函数迭代 4 题型3 数列不等式的证明 10 题型4 数列极限与函数、导数交汇 16 题型5 新定义与探究性问题 20 重难专题分层过关练 37 巩固过关 37 创新提升 38 解题方法及技巧提炼 通法 核心思想 适用情境 典型标志词 通法一 数列函数化 把 看成定义在 上的函数 ，用函数单调性、最值研究数列 单调性、最值、周期性 “求最大/最小项”“判断增减” 通法二 导数介入 研究连续背景函数 （求导定单调、极值），再回到离散项；含参恒成立先分离参数 含参最值、恒成立、 最值 “含参数 m”“恒成立”“求取值范围” 通法三 不等式三招 放缩法、数学归纳法、构造辅助函数＋导数，三选一或组合证明数列不等式 数列不等式的证明 “证明 Σ…＜…”“对一切 n 恒成立” 题型通法及变式提升 题型1 数列的函数观与单调性 判断单调性三条路：① 作差法　 的符号即增减性；② 作商法　正项数列比较 与 1；③ 连续化　若 在 上单调，则 单调（充分条件，反之不成立）。 求最值：先判单调性定位“转折项”，再比较转折点相邻两项；连续化场景先找 极值点附近，再离散化核实。 1．（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 【答案】 【详解】因为的前项和为，为增数列， 所以数列从第二项开始要为正数， ， 则范围为. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海黄浦·期末）设常数b为整数，数列的通项公式为，若（，）的最小值为，则b＝________． 【答案】 【详解】由题意知， 当，即时，根据二次函数的性质可知，数列在上单调递增， 此时的最小值为，故， 可得，化简得， 因为，所以方程无解，故不符合题意； 当，即时，根据二次函数的性质可知， 的最小值为，故， 即，解得； 综上所述，. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海宝山·开学考试）已知数列，，若在上是递增数列，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】在上是递增数列，所以，，且， 即， 所以，即， 又， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海·开学考试）已知数列满足，对任意都有，且对任意都有，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【详解】因为数列满足，对任意都有， 所以，即，解得； 又对任意都有，则对于任意恒成立， 即对于任意恒成立，故； 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为： 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是___________ 【答案】 【详解】由于数列是严格增数列，所以, 即，解得. 故要使得数列是严格增数列，需满足. 由于，即，即, 即 , 解得或或 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 题型2 递推数列与函数迭代 核心思想： 本质是“函数迭代”。研究迭代应从不动点出发：方程 的解 称为不动点，它往往是新数列的“中心”。 常用构造：① 一阶线性　（）：求不动点 ，则 ， 为等比数列；② 取倒数　，则 ；③ 取对数　，则 。 极限视角：若 单调递增且 有界，则 收敛于不动点：令 解 。 6．已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则___；除以17的余数是_____． 【答案】 0 【详解】由函数，且， 可得， 所以 又因为为正整数， 所以除以17的余数为0． 故答案为：；. 7.已知. (1)若对任意都有，求实数的取值范围； (2)当时，称满足的数列为函数的指数迭代数列，若. （i）证明：的指数迭代数列各项均为正数，且单调递增； （ii）证明：. 【详解】（1）易知的定义域为，， 又，且对任意都有，则必有，即， 下证当时，对任意都有， 因为，，则， 令，则，又，则， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，则， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. (2)（i）因为，则，由题有， 即， 下面用数学归纳法证明， 当时，，命题成立， 假设时，，则时，， 令，则，当时，， 即在区间上单调递增， 所以当时，，得到当时，， 所以， 则对于一切，都有， 又， 所以的指数迭代数列各项均为正数，且单调递增，即命题得证. （ii）由，得到， 要证明， 即证明， 即证明，又， 即证明，又，即证明， 即证明， 令，则， 又由（i）知当时，，所以当时，， 所以在区间上单调递增，又， 所以时，，即， 又由（i）知，所以，命题得证. 8.已知①设函数的值域是，对于中的每个，若函数在每一处都等于它对应的，这样的函数叫做函数的反函数，记作，我们习惯记自变量为，因此可改成即为原函数的反函数．易知与互为反函数，且．如的反函数是可改写成即为的反函数，与互为反函数．②是定义在且取值于的一个函数，定义，则称是函数在上的次迭代．例如，则．对于一些相对复杂的函数，为求出其次迭代函数，我们引入如下一种关系：对于给定的函数和，若函数的反函数存在，且有，称与关于相似，记作，其中称为桥函数，桥函数满足以下性质： （i）若，则 （ii）若为的一个不动点，即，则为的一个不动点． (1)若函数，求（写出结果即可） (2)证明：若，则． (3)若函数，求（桥函数可选取），若，试选取恰当桥函数，计算． 【详解】（1）根据次迭代函数的定义，由，可得. (2)因为，有，即， 有，即. 当时，，成立； 假设时成立，即，； 当时， ， 因此成立， 综上所述，若，则. （3）根据相似函数不动点也相似，桥函数选取时可令不动点为一解，当， 选取桥函数， ，， 易得， 由（2）可知，， 即有． 当，选取桥函数（不唯一）， ，．易得， 由（2）可知，. 9.在章节“用迭代序列求的近似值”中，将方程等价变形为，构造递推数列来形成一个迭代序列，当n趋于正无穷大时，趋近于.选取初始值，并令，，，2，3，… (1)完成以下表格，并在图中画出线段，，，，；（精确到0.001） n 1 2 3 n 4 5 6 (2)证明：是严格减数列； (3)设，证明是等比数列，并求出的通项公式及的值. 【答案】(1)根据递推数列，，可依次求得： ，，，， 完成以下表格 n 1 2 3 8 4.125 2.305 n 4 5 6 1.586 1.424 1.414 如图画出线段，，，， (2)证明:由，，可得， 再结合均值不等式得：，当且仅当时取等号， 也就是说只要前一项不等于，后一项就不可能取到， 而首项，所以等号一定不成立，即， 再由， 从而有，所以是严格减数列； （3）由两边加得： ，-------① 由两边减得： --------② 由①除以②得：， 上式两边取常用对数得：， 再由，代入得：， 所以是等比数列，首项， 即， 所以， 解得通项公式为， . 题型3 数列不等式的证明 三大主线：证明数列不等式主要有三条路，可按题面特征选用或组合。 1．放缩法。① 裂项放缩　（）；；② 等比放缩　通项放大 / 缩小为等比数列后，用求和公式甚至无穷递缩求和；③ 函数放缩　（）、、、。 2．数学归纳法。适用于“与正整数 有关”的命题，上海卷常以“先猜后证”呈现：先算前几项找规律，再严格归纳。第二步常用手段：作差比较、利用归纳假设＋放缩。 3．构造辅助函数＋导数。把不等式写成“（）”的形式，用导数证明 单调，从而得到结论。 10．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 11．设等差数列的前项和为，，，数列的前项和为，满足，. (1)求数列、的通项公式； (2)记，，用数学归纳法证明：. 【详解】（1）（1）设首项为，公差为，由，得， 解得，故； 由，得，即，又因为， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，即， 所以，故. (2) 由（1）知，即用数学归纳法：， ①当时，左边，右边，不等式成立； ②假设时成立，即， 即当时， . 即当时，不等式也成立. 由①，②可知，不等式对任意都成立. 12.已知数列满足. (1)若，求最小正数的值，使数列为等差数列； (2)若，求证：； (3)对于（2）中的数列，求证： 【详解】（1）依题意，，而，则， ，要使数列为等差数列，则，即公差， 而，则，于是，解得， 显然，此时， 即对，恒有，因此数列是以为公差的等差数列， 所以当时，. (2)函数的定义域为，令，求导得， 当时，，当时，，即函数在上递增，在上递减， ，即，，，即， 当时，，显然时上式成立， 又，因此，所以. (3)由（2）知，而，则， ，显然，又函数是上的增函数，则可递推得， 当时，，于是， 当时，， 而，即，恒有， 因为当时，，则当时，，而 因此当时，，， ， 于是， 所以. 13.对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知，且的不动点的集合为．以和分别表示集合中的最小元素和最大元素． (1)若，求的元素个数及； (2)当恰有一个元素时，的取值集合记为． （ⅰ）求集合； （ⅱ）若，数列满足，．求证：对任意，． 【详解】（1）当时，，其定义域为. 由得. 设，则， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减， 注意到，所以在恰有一个零点，且， 又，所以，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，在恰有一个不动点， 所以，所以的元素个数为， 又因为，所以. （2）（i）当时，由（1）知，有两个元素，不符合题意； 当时，，其定义域为， 由得. 设，则， 设，则， ①当时，，所以在单调递增， 又，所以在恰有一个零点， 即在恰有一个不动点，符合题意； ②当，故恰有两个零点. 又因为，所以， 当时，；当时，； 当时，； 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增； 注意到，所以在恰有一个零点， 且， 又时，，所以在恰有一个零点， 从而至少有两个不动点，不符合题意； 所以的取值范围为，即集合. （ⅱ）由（i）知，，所以， 此时，，， 由（i）知，在单调递增， 所以当时，，所以，即， 故若，则，因此若存在正整数使得，则，从而， 重复这一过程有限次后可得，与矛盾，从而，， 下面我们先证明当时，， 设，， 所以，所以在单调递减， 所以，即当时，， 从而当时，， 从而，即， 故，即， 由于，，所以，，故， 故时，， 所以，. 题型4 数列极限与函数、导数交汇 1．极限四则运算：前提是各极限存在；“抓大头、同除最高次”是分式极限的统一处理。 2．无穷递缩等比数列求和：当 时，。 3．递推数列的极限：先证收敛（单调有界），再对 两边取极限，解不动点方程 。 4．与导数定义结合：导数定义 ，取 即得离散型结构。 14．（2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【详解】， 所以， ， 所以为. 15．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知函数，则_________． 【答案】 【详解】由，则， 所以． 16．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则______. 【答案】9 【详解】因为， 所以. 17．（25-26高三上·上海松江·期中）已知函数，则__________. 【答案】 【详解】由题意可知，则. 故答案为：. 18．（25-26高三上·上海·开学考试）若为可导函数，且，则曲线在点处的切线的斜率为________． 【答案】 【详解】因为， 所以，所以， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 故答案为： 19．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知. (1)写出函数的单调增区间； (2)求关于的方程的解集； (3)设数列的通项公式为，其前项和为，计算. 【详解】（1）令，得分界点为； 当时，； 由于是单调递增函数，因此在上单调递增； 当时，； 由于是单调递减函数，因此在上单调递减； 综上，的单调增区间是. （2）令，方程变为， 根据绝对值的几何意义（数轴上到和的距离之和），或分段讨论： 当时，，解得，符合； 当时，，等式恒成立； 当，解得，符合； 因此，即，解得. 故方程的解集为：. （3）数列通项的分段形式为： 当，即时：时，，； 当，即时：. 因此数列的前项和： 当时， 当时，， 因此： 20．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，（为正整数）. (1)当时，求的解析式； (2)若函数存在零点，且零点个数不超过10，求实数的取值范围； (3)求数列的前项和为是否存在极限？若存在，求出这个极限；若不存在，请说明理由 【详解】（1）当时，是偶函数， （2），当时，， ， 当时，， 当时，， 当时，， 图像如图所示： 若，函数有1个零点； 若，函数有2个零点； 若，函数有3个零点； 若，函数有4个零点； 若，函数有5个零点； 若，函数有6个零点； 是偶函数， 要使函数存在零点，且零点个数不超过10， 必须且只需. 所以实数的取值范围 （3）由（2）知，， ， 从而， . 题型5 新定义与探究性问题 上海卷压轴最爱“给出新定义，现场学习、现场应用”。应对三步：① 翻译定义　把新定义写成集合、不等式、递推等熟悉语言；② 验证小问　逐字代入定义检验（第 (1)(2) 问通常是送分或中等难度）；③ 探究大问　构造特例 → 找规律 → 提出猜想 → 严格论证（代数推理或反证）。 21．（2026·上海虹口·三模）对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． (1)若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； (2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； (3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. （2）假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. （3）设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 22.定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”．已知数列中，，． (1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式： (2)记数列的前项和为，且，请判断数列是否为“数列”，并说明理由； (3)若数列是“数列”，是否存在正整数，，使得？若存在，请求出所有满足条件的正整数，；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）因为，且数列为“数列”， 所以，即， 所以是以首项为，公差的等差数列， 所以； (2)是“数列”，理由： 由已知条件可得，，故，所以． 当时，根据通项公式可得， ①②得，又也成立，所以，                                       设，即，所以，又， 所以是以首项为，公比为的等比数列． 所以，即，                                  所以， 所以是以首项为，公比为的等比数列，故数列是“数列”； （3）由数列是“数列”得， 所以，即，所以， 所以时，， 当时上式也成立，故．                假设存在正整数，，使得，即， 由，可知，所以， 又因为，为正整数，所以，                     又， 所以，则．                           ，则， ，，故存在满足条件的正整数，，且，. 23.若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”. (1)若为的“2倍点列”，求的前项和； (2)若为的“1倍点列”且，求证：为定值； (3)若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论. 【详解】（1）解：因为为的“2倍点列”， 所以，即， 所以 所以， 当时，， 显然满足， 故综上， (2)证明：因为， 所以. 设，则，当且仅当即时等号成立， 所以单调递增，且， 所以, 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为为的“1倍点列”，则， 不妨设， ， 所以的图象关于直线对称，当时，有2个不同实根， 所以. (3)不存在， 因为，且为的“倍点列”， 可得，即且， 设，则， 在上单调递增，且， 所以时，时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以且时， 所以不存在，使得， 即不存在，使得为的“倍点列”. 24.设，，，若正项数列满足，则称数列具有性质“”. (1)设，，若数列，，，，具有性质“”，求满足条件的的值； (2)设数列的通项公式为，问是否存在使得数列具有性质“”？若存在，求出满足条件的的取值范围，若不存在，请说明理由； (3)设函数的表达式为，数列的前项和为，且满足，，证明：数列具有性质“”，并比较与的大小. 【详解】（1）已知数列具有性质， 则，，，， 由，可得， 由，可得， 综合可得，又因为，所以或； （2）假设存在使得数列具有性质“”， 则，即. 由可得：， 即， 所以， 因为，， 所以， 则，又，所以， 由，可得， 所以， 因为，，所以，且时，， 综上，， 所以存在使得数列具有性质“”，的取值范围是； (3)证明如下： 令，则， 所以在上单调递减， 所以，即， 所以， 所以当时，，故， 所以，且函数的定义域为， 又，， 所以，， 因为， 所以， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，，又， 故 所以， 因为， 所以 令， ， 令， 则， 令，， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，， 故， 所以当时，， 又，所以， 所以， 综上，数列具有性质“”， 因为，所以， 所以当，时，， 所以，当时，， 当，时， ， 所以. 综上，数列具有性质“”，且. 25．（24-25高三上·上海·阶段检测）对于一个各项非零的等差数列，若能从中选出第（）项，能构成一个等比数列，则称为的“等比子列”.若此“等比子列”具有无穷项，则称其为“完美等比子列”. (1)若数列，，直接写出3个符合条件的“等比子列”，其中1个必须为“完美等比子列”. (2)对于数列，，猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，请写出一个并证明；如果不存在，请说明理由. (3)证明：各项非零的等差数列中存在“等比子列”的充要条件是数列满足（为公差，）. 【详解】（1）取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个等比数列，是的“等比子列”. 取，则，为，这是一个“完美等比子列”. (2)猜想：数列存在“完美等比子列”. 证明：设数列的通项公式，该数列为等比数列， 令，则， 因为整数的各位数字上的和为3， 所以一定为正整数，且m随着n的增大而增大， 易得此时有无穷项，所以即数列的一个“完美等比子列”. (3)充分性：若存在“等比子列”， ， ， 必要性：则若，则设，， 则. 希望为等比等比， 令等比， 发现等比， 取， 令，， 即时，成等比， 综上，得证. 事实上，， 因为时，， 时，. 26.设和是两个等差数列，记，其中表示，，，这个数中最大的数． (1)若，，求，，的值； (2)若为常数列，证明是等差数列； (3)证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得，，，，是等差数列． 【详解】（1）已知，， ，，，，，， 当时，， 当时，,,， 当时，,,,， (2)设（为常数），的通项公式为. ， 先考虑， 则时，， 所以. 当时，则，， 此时为常数，所以是等差数列； 当时，则，， 此时是常数列，也是等差数列； 综上所述：是等差数列； (3)设数列和的公差分别为， 则， 所以， ①当时，取正整数，则当时，，因此， 此时，是等差数列； ②当时，对任意， 此时，是等差数列； ③当时，当时，有， 所以 ， 对任意正数，取正整数， 故当时，. 27.已知各项均不为0的数列满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)记函数，其中. （i）证明：对任意，； （ii）数列满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限. 【详解】（1）由于数列的各项均不为， 所以，可变形为（是正整数）， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列. 由， 又，也符合上式，所以. （2）（i）先证：. 根据已知，得 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立. 再证：. 又，记，则， 由，故且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是，证毕. （ii）由题意知，， 下面研究.将（i）推广至一般情形. ， 由当且仅当时等号成立， 于是在上是严格增函数，故成立.① 再证：.， 记，则， 由，故当且仅当时等号成立， 于是在上是严格减函数， 故，于是， 所以，，即对任意，. 于是对，，整理得， 令，得，即，故. （方法一）当时， 故即， 从而.对于任意给定的正实数，令， 则取为大于且不小于的最小整数， 则当时，恒成立，因此，数列的极限为. （方法二）而对于任意，只需且时， 可得. 故存在，当时，恒有， 因而的极限. 28.若无穷数列满足：存在正整数，使得对一切正整数成立，则称是周期为的周期数列． (1)若（其中正整数m为常数，），判断数列是否为周期数列，并说明理由； (2)若，判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设是无穷数列，已知．求证：“存在，使得是周期数列”的充要条件是“是周期数列”． 【答案】(1)是周期为的周期数列，理由如下： 因为， 所以是周期为的周期数列． (2)当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列．理由如下： ①当时，，， 所以当时，是周期为1的周期数列， ②当时，记，则， ，当且仅当时等号成立， 即，所以在上严格增， 若，则，即，进而可得，即是严格增数列，不是周期数列； 同理，若，可得是严格减数列，不是周期数列． 综上，当时，是周期为1的周期数列；当时，不是周期数列． (3) 必要性： 若存在，使得是周期数列，设的周期为， 则，所以是周期为的周期数列， 充分性： 若是周期数列，设它的周期为，记，则 ，是关于x的连续函数； ，是关于x的连续函数； … ，是关于x的连续函数； ， 令，则是连续函数， 且，， 所以存在零点，于是， 取，则， 从而， ， …… 一般地，对任何正整数n都成立，即是周期为T的周期数列． （说明：关于函数连续性的说明不作要求） 29，已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. (1)若，是函数关于的“数列”，求的值； (2)若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； (3)若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由，得， 因为，则， 所以曲线在点的切线方程为， 令，则， 所以； (2)由，得， 于是曲线在点处的切线方程为， 令，则， 由题意得到， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （3）由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则， 设特征函数为，则， 情况1：当时，则， 此时，所以函数在定义域内为增函数， 令，解得，又因，故此时方程无解， 当时，，所以不能成周期数列； 当时，，所以不能成周期数列； 故当时，不存在，使得函数关于的“数列”为周期数列； 情况2：当时，， 令，得或， 令，得或或， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以函数为奇函数， ，， 令，方程无解， 令，解得 当时，，， 所以数列是周期为的周期数列； 当时，，且与符号正负交替， 假设存在周期数列，则等价于存在，使得， 若为偶数，中每一个括号内的式子都是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 若为奇数，中， 每一个括号内的式子都与是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 当时，， 可得得到起初是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列， 故当时，有满足条件，使得数列成周期为的周期数列， 此时， 综上所述，存在满足题意. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．设无穷数列的前项和为，若为严格增数列，则数列（    ） A．所有项都大于 B．至多有一项不大于 C．可以有不止一项的有限项不大于 D．可以有无穷多项不大于 【答案】B 【详解】若为严格递增数列，则对任意的，，可得， 即数列从第二项开始，每项都是正数，但可以等于零， 故选：B. 2．（2026·上海徐汇·二模）若函数在处的切线方程为，则__________. 【答案】 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为：， 根据导数的几何意义，就是函数在该点处切线的斜率， 因为在处的切线方程为，所以切线斜率为， 所以. 3．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知，则_______. 【答案】 【详解】由 ， 因为，所以. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·阶段检测）已知 是定义在 上的可导函数，若 ，则 ________. 【答案】1 【详解】根据导数的定义可得. 因为，所以. 则由导数的定义可得. 故答案为：1. 5．（24-25高三下·上海·阶段检测）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为______． 【答案】2 【详解】，故. 故答案为：2 创新提升 1.已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______. 【答案】 0 【详解】由题意，， 所以 又为正整数， 所以除以17的余数为0， 故答案为： . 2．（2026·上海金山·二模）若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数． (1)已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由； (2)已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值； (3)已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 【答案】(1)是，理由：由， 由，得，从而有，即得， 即， 从而函数在区间上为封闭函数； （2）由，， 函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线， 根据题意在区间上不为单调函数，得， 从而函数在区间单调递减，在区间单调递增， 从而，， 由函数在区间上为封闭函数，即有， 从而，即， 那么，即得， 即的最大值为 ； (3)证明：由函数在区间上连续且为封闭函数，令， 从而函数在区间上连续， 函数在区间上为封闭函数， 从而，，即有，， 由函数在区间上连续，且， 故存在，使得，即， 假设存在，且，使得，， 则， 又因为任意的、，都有成立， 所以矛盾， 所以存在唯一的常数，使得， 数列满足，且， 当，那么，那么， ， 可知数列中的，且， 那么由，则， ， 由，所以， 则，即有. 故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有． 3.已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围； (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【详解】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，，当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， ① 当时，，所以在上单调递增， ，不合题意； ② 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 若要使恒成立，则需使，解得， 故此时； ③ 当时，因为，，故在单调递减， 则，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． (3)①证明: ，，故， 构造函数，，则 易得函数在上单调递增，而，则在上恒成立，故在上单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②不存在，理由如下： ，则，(*)， 设，即，代入(*)可得， 设函数，显然该函数在上单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，则，，， 故，整理得到，该方程无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $