第02讲 成对数据的统计分析（专项训练）（全国通用） 2027年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 成对数据的统计分析 目 录 模拟·基础演练 2 题型01相关关系与函数关系的辨析 2 题型02相关系数的计算与应用 3 题型03样本中心点的应用 7 题型04残差分析与相关指数 9 题型05线性回归分析 14 题型06非线性回归分析 20 题型07独立性检验的概念理解 26 题型08独立性检验的应用 30 重难·创新演练 36 真题·实战演练 46 模拟·基础演练 考查重点：辨析相关与函数关系，相关系数、样本中心点、残差、相关指数运算，线性、非线性回归方程求解分析，独立性检验概念理解与实际应用；覆盖成对数据统计分析核心内容，侧重公式运算、图表解读与统计推断。 题型01相关关系与函数关系的辨析 1．某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（   ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 【答案】C 【详解】由散点图可知身高与体重成正相关． 2．下列两个变量之间是相关关系的是（   ） A．正方形的边长与对角线长 B．球的体积与表面积 C．一个人的身高与学习成绩 D．学习时间与学习成绩 【答案】D 【详解】A项，正方形由边长可以唯一确定对角线长，二者是函数关系； B项，球的体积与表面积都由球的半径唯一确定，二者之间也是确定的函数关系； C项，一个人的身高与学习成绩之间通常不存在明显的统计相关关系； D项，学习时间与学习成绩通常存在一定联系，但学习成绩还受学习效率、学习习惯等多种因素影响，不能由学习时间唯一确定，因此二者是相关关系． 3．下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A中散点图可知样本数据呈现正相关，B中散点图可知样本数据呈现负相关， C中散点图可知样本数据的趋势先下降后上升，不是正相关， D中散点图的样本数据杂乱无序，没有相关性. 4．（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 【答案】AC 【详解】汽车的重量越大，百公里耗油量会越多．一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多． 可得A、C是相关关系．B是函数关系．D中家庭的经济条件与学生的学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系． 故选：AC. 题型02相关系数的计算与应用 5．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，则各图对应的相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正负相关可得出，，，，因图2比图4散点分布更集中，所以，综上所述，最小. 6．从关于变量和的4对随机观测数据，，，中随机取三对，则相关系数的最小值为___________．（相关系数） 【答案】 【详解】从4对数据中随机取3对，共有4种取法，分别计算相关系数， ①取，，时，， ， 此时； ②取，，时，， ， 此时； ③取，，时，， ， 此时； ④取，，时，， ， 此时； 综上可得，相关系数的最小值为． 7．已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（    ） （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 【答案】C 【详解】依题意，， ， ， 所以. 8．若一组成对数据（，2，…，n）的相关系数，则数据（，2，…，n）的相关系数为__________．（相关系数的计算公式为，其中，） 【答案】 【详解】设新成对数据为，其中，, 因此，, 设新数据的相关系数为， 所以 ， 故所求相关系数为. 9．近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． (1)根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） (2)该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 【答案】(1)相关系数，，可使用线性回归模型拟合与的关系 (2)任取一件纪念品合格的概率为 【详解】（1）， 因为， 所以与具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合与的关系； （2）设事件为“任取一件纪念品为合格品”， 事件为“产品由甲机器生产”， 事件为“产品由乙机器生产”， 事件为“产品由丙机器生产”， 由题意得，，，， 根据全概率公式：， 答：任取一件纪念品，其合格的概率为． 题型03样本中心点的应用 10．两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3.5 6 7.5 根据表中数据可得，且关于的经验回归直线方程为，则下列说法错误的有（     ） A． B． C．变量和正相关 D．对应的残差为 【答案】B 【详解】对于选项A，由表中数据得，故A正确； 对于选项B，因为经验回归直线过点， 又，所以， 所以，解得，故B错误； 对于选项C，由得的系数为正数，所以变量和正相关，故C正确； 对于选项D，将代入得， 所以点对应的残差为，故D正确. 11．设，，…，是变量x和y的n个样本点，通过最小二乘法得到经验回归方程为，则“点在经验回归直线上”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由题意得，样本中心点在经验回归直线上，必要性成立， 但上除了点外，还有其他点，故不一定是，充分性不成立， 故“点在经验回归直线上”是“，”的必要不充分条件. 12．某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如表： 广告费用 x (万元) 2 3 4 5 销售额 (万元) 39 49 54 根据上表可得经验回归方程 ，则 的值为（    ） A．26 B．27 C．28 D．28.5 【答案】A 【详解】由题意， ， 因为回归方程 必过样本中心点 ， 所以 ，解得 . 13．已知具有线性相关关系的变量，，其样本点为（）， ，，经验回归直线方程为，则（    ） A．8.6 B．9.4 C．12.4 D．12.6 【答案】B 【详解】由，，可得：， ，所以样本中心点为 根据经验回归方程经过样本中心点，可得： ，即. 14．某实验室研究反应温度（单位：）与产物产率（单位：%）的关系，进行了5次实验，数据如下： 温度x 产率y 已知关于的经验回归方程为，则表中缺失的数据______． 【答案】 【详解】由题意，，代入回归方程得， 所以，解得． 15．某电商平台统计了次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________． 【答案】 【详解】由表格中的数据可得，， 所以这组数据的样本中心点的坐标为，代入经验回归方程得，解得. 题型04残差分析与相关指数 16．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加一个样本数据后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，数据所对应的残差为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得原数据，则. 由回归直线过样本中心点，得， 所以，增加后新数据如下， 为，， 设新回归直线方程为，则，解得， 所以新回归直线方程为，当时，预测值， 故残差. 17．由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后得到新样本经验回归方程为.在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为经验回归方程为，且， 所以，故这组数据的样本中心点为， 去掉，，由于， 所以剩余组数据的样本中心点仍为， 因为新样本经验回归方程为， 所以代入，求得， 所以经验回归直线的方程为：， 将代入经验回归方程，求得的估计值为， 所以样本的残差为. 18．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图①所示．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图②所示，则（   ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 【答案】A 【详解】：残差在直线上下随机分布，没有持续偏向正或负. （方差为常数）：残差波动幅度不随自变量的变化而改变. 对于残差图（1）对应的散点，随机误差满足的假设，但是方差随着的变化而变化，不满足的假设； 对于图（2）对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足的假设，方差不随的变化而变化，满足的假设． 19．2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数y（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（    ） A．表中数据的第80百分位数为1.7 B． C．当时，残差为0.02万人 D．预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 【答案】ACD 【详解】对于 A： 第一步，将 从小到大排序：1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，共 个数据， 计算 是整数，第 80 百分位数为第 4 项和第 5 项的平均值：,故A 正确; 对于B: ,故B 错误; 对于 ： 回归方程： 当时， 真实值： 残差(万人),故C 正确; 对于 D： 2021 对应 , 2026 对应 代入回归方程： ,故D 正确. 20．（多选）已知一系列样本点（，2，3，…，）的线性回归方程为，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则点一定在回归直线上 B．至少有一个样本点落在经验回归直线上 C．若相关系数，则两个变量负相关 D．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【详解】A：线性回归方程的基本性质就是一定经过样本中心点，正确， B：回归直线是对变量线性趋势的拟合，所有样本点都可以不落在回归直线上，错误， C：相关系数的符号反映相关性方向：对应正相关，对应负相关，正确， D：决定系数，因此越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，正确. 21．某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表： 试验编号 1 2 3 4 5 固化剂比例 2 4 6 8 10 拉伸强度 1 1.5 2.5 4.5 5.5 (1)求关于的经验回归方程； (2)求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好； (3)根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值． 参考公式：经验回归方程为，其中：，，． 【答案】(1) (2)，拟合效果较好 (3) 【分析】 【详解】（1）， ， ， ，， 所以. （2）， ， ， ， ， 所以， ， ， 决定系数越接近1，模型拟合效果越好，因此该线性回归模型的拟合效果较好. （3），解得， 所以添加固化剂比例的最小值为. 题型05线性回归分析 22．某实验室研究货车载重（单位：吨）与刹车制动距离（单位：米）之间的关系，在相同条件下测得以下7组数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 10 11 12 20.5 24.4 28.2 32.1 36.0 37.9 39.8 该实验室的研究方案是：先用前5组数据求经验回归直线方程，再用最后2组数据检验． (1)根据前5组数据求关于的经验回归方程； (2)若由经验回归方程得到的估计数据与后两组数据的误差均不超过1，则认为经验回归方程是理想的．该小组所得的经验回归方程是否理想？请说明理由． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1) (2)所得经验回归方程是理想的 【分析】 【详解】（1）取前5组数据计算： 首先计算均值： ， ， 再计算求和项： ， ， 代入最小二乘公式： ， ， 故经验回归方程为. （2）代入后两组数据检验： ① 当时，代入回归方程得，实际值为37.9，误差为； ② 当时，代入回归方程得，实际值为39.8，误差为， 两组数据的误差均不超过1，因此该经验回归方程是理想的. 23．某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为（元），对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据，如下表所示： 预报价（元） 意向预购量（百件） (1)已知变量，具有线性相关关系，求意向预购量关于预报价的线性回归方程； (2)记与预报价对应的意向预购量的估计值为．当时，则称为一个“精准调研数据”．判断当预报价分别为，，时，对应数据中哪些是“精准调研数据”． 参考公式：， 参考数据：， 【答案】(1) (2)， 【分析】 【详解】（1）， ， ． 关于的回归方程是； （2）∵回归方程为， ，，是“精准调研数据”， ，，不是“精准调研数据”， ，，是“精准调研数据”． ∴“精准调研数据”为，． 24．随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 (1)由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 【答案】(1) (2)6元 【详解】（1）由表知，，， ，又， 所以， 所以关于的经验回归方程为； （2）设商家的日利润为元， 则， 该二次函数的对称轴方程为， 所以当售价定为每件6元时，商家可获得的日利润最大． 25．乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 (1)根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； (2)求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 【答案】(1)0.98，与的线性相关程度很强 (2)； 2029年． 【分析】 【详解】（1），， ，，， 所以，     所以与的线性相关程度很强． （2）由（1）知，，， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为；     令，得， 所以预测该工坊油纸伞的年销量最早在2029年能超过20万把． 26．新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 (1)根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； (2)计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】(1) (2)当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 得到，作出残差图， 由图，残差数值都在横轴附近波动，残差点均匀分布在横轴两侧的狭窄带状区域内， 没有明显的曲线趋势与扩散收缩现象，说明该线性回归模型对数据拟合效果很好. 【分析】 【详解】（1）由题意得，， 则，， 可得，， 则回归方程为，当时，， 得到预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量为辆. （2）略 题型06非线性回归分析 27．某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对拟合模型两边同时取自然对数，可得， 由，可得线性变换后的回归方程为； 计算样本中心点： ， ， 由于线性回归直线必过样本中心点，将其代入线性回归方程得： ， 计算得，因此，故. 28．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元.（结果用e表示） 【答案】 【详解】令，则，， 所以，则，所以， 代入回归方程，则，可得万元. 29．变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 【答案】 【详解】据题意，将取自然对数得， 与给定的经验回归方程对比，得，，所以． 因此原回归方程为． 当时，． 30．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】(1)选择模型②更适宜，理由如下： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. (2)①；②该公司2030年的年利润最大 【分析】 【详解】（1）略 （2）①设，所以， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为； ②由题设可得， 当，即时，年利润有最大值， 故该公司2030年的年利润最大. 31．某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 (1)请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01） (2)通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令. （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ (3)为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好. 附：，，，，，，，模型①：； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为. 【答案】(1)经验回归方程为；第5天的残差. (2)（ⅰ）；（ⅱ）模型②拟合效果更好. (3)连续天后优化时效最好 【分析】 【详解】（1）由已知得， 所以. 所以. 所以经验回归方程为. 第5天的残差. （2）（ⅰ）因为，所以. 所以 所以关于的非线性经验回归方程为 （ⅱ）模型①中的决定系数， 已知模型②中的决定系数，即，所以模型②拟合效果更好. （3）根据（2）结果选择模型②， 则 所以 令，即，得. 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，取得最大值. 因为，则，. 所以. 所以在连续天后优化时效最好. 32．脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 【答案】(1)模型② (2)（i）；（ii）9人 【分析】 【详解】（1）选择模型②，理由如下 由残差图可知，模型②的残差点比较均匀地落在水平带状区域中，且带状区域宽度比模型①窄，说明模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故模型②比较合适. （2）（i）根据模型②，令，则与可用线性回归来拟合，有. 由表中数据可知，，，， ，则， ， 所以与的经验回归方程为， 即与的经验回归方程为. （ii）由题意，要使年收益增量超过8亿元，则，即， 整理得，，即，解得， 因为为研发人员增量，需为正整数，所以，故预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少9人. 题型07独立性检验的概念理解 33．为检验两个分类变量是否有关，提出零假设：两个分类变量相互独立．在成立的条件下，统计量满足．该等式表示（     ） A．若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为 B．若两变量相互独立，则由随机样本算得的小于的概率为 C．若某次检验得不小于，则两变量相互独立的概率为 D．若某次检验得不小于，则两变量不相互独立的概率为 【答案】A 【详解】在成立的条件下，统计量满足表示若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为. 34．通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（     ） A．爱好跳绳与性别独立 B．爱好跳绳与性别独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别不独立 D．爱好跳绳与性别不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【详解】假设：爱好跳绳与性别无关，由列联表中数据可得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故爱好跳绳与性别无关． 35．某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算． 分组 数学成绩分 数学成绩<120分 合计 每天锻炼小时 60 40 100 每天锻炼<1小时 30 70 100 合计 90 110 200 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，． 下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关 B．在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大 C．若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍 D．值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关 【答案】B 【详解】对于A，，所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”有关，A错误； 设原列联表各单元格频数为，若各单元格频数比例不变，样本容量变为原来的倍， 则新的各单元格频数为，总样本量， 则， 即各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比， 对于B，在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大，B正确； 对于C，若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变， 则值增大为原来的2倍，C错误； 对于D，各单元格频数比例不变时，与样本容量成正比，D错误. 36．对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 【答案】A 【详解】由题可知， 根据独立性检验规则，表明没有充分证据推断跳绳与性别有关， 可以认为爱好跳绳与性别无关． 37．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 150 200 常规培养法 80 200 合计 270 130 400 参考公式：，其中. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 下列表述正确的是（   ）（多选） A． B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 【答案】ACD 【详解】A，根据表格数据可知，，A正确； B，为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异， 零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法无差异，B错误； C，由题意得， 零假设不成立，依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异，C正确； D，由表格数据知，常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为，D正确. 题型08独立性检验的应用 38．为研究市民是否坚持每周运动与颈椎健康状况的关系，随机抽取400名市民开展调查，得到如下列联表： 颈椎 运动情况 合计 坚持每周运动 未坚持每周运动 健康 110 90 200 不健康 80 120 200 合计 190 210 400 (1)分别记坚持每周运动和未坚持每周运动的市民颈椎健康的概率为，，求，的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析市民的颈椎健康是否与坚持每周运动有关． 附：， 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 的估计值为，的估计值为； (2) 在小概率值的检验标准下，推断市民颈椎健康与坚持每周运动有关，该推断犯错误的概率不超过0.005。 【分析】 【详解】（1）由已知，坚持每周运动的市民颈椎健康的频率， 未坚持每周运动的市民颈椎健康的频率， 所以坚持每周运动的市民颈椎健康的概率的估计值为， 未坚持每周运动的市民颈椎健康的概率的估计值为； （2）零假设为：市民的颈椎健康与坚持每周运动无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为市民的颈椎健康与坚持每周运动有关，此推断犯错误的概率不大于. 39．随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 【答案】(1) (2)使用工具与数学成绩有关 【详解】（1）由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为．     所以人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为． （2）零假设为：使用工具与数学成绩无关． 根据列联表中的数据，得．     因为，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关． 40．某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2) 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 及格与专项整治行动有关 【详解】（1）由题意，得专项整治行动后评分及格的人数为人， 所以这1000名游客中评分及格的人数为人， 所以从这1000名游客中随机抽取1人，此游客的评分及格的概率为． （2）列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 200 300 500 专项整治行动后 100 400 500 合计 300 700 1000 统计假设：评分是否及格与专项整治行动无关． 由题意，得，     由查表可得， 因为，所以统计假设不成立，根据小概率值的独立性检验， 可以认为评分是否及格与专项整治行动有关． 41．为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 未坚持参加课后体育锻炼 合计 (1)用频率估计概率，从名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 【答案】(1) (2)能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关 【分析】 【详解】（1）由列联表可知，事件=“坚持参加课后体育锻炼”，， 事件=“坚持参加课后体育锻炼且心理抗压能力显著提升”，， 用频率估计概率，根据条件概率公式，得． （2）零假设 ：高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升无关， 取， 代入卡方检验公式， 先计算分子核心项， 代入得， 已知 对应的临界值为 10.828 ， 由于 ， 即依据小概率值 的独立性检验，我们推断不成立， 能认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关． 42．近年来，我国无人机产业迅速发展，表1是我国某地区某品牌无人机的年销售量与年份的统计表． 表1 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9 表2 学生 了解 不了解 合计 男生 m 20 100 女生 40 n 100 合计 120 80 200 (1)求销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2027年该品牌无人机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对无人机知识的了解情况，某校组织了一次有关无人机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如表2的2×2列联表．求m、n的值，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别是否有关联． 附：，， 0.05 0.005 0.001 3.841 7.879 10.828 【答案】(1)线性回归方程为，预测2027年该品牌无人机销量为12.4万台 (2)，，依据小概率值的独立性检验，可判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别有关联 【分析】 【详解】（1）年份代码x的平均数， 销量y的平均数， 所以， ， 所以，所以， 所以销量y关于年份代码x的线性回归方程为， 当时，，所以预测2027年该品牌无人机的销量为12.4万台. （2）由2×2列联表可得，解得， 零假设：该校学生对无人机的了解情况与性别无关. 根据列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别有关联. 重难·创新演练 设题创新：依托向量夹角、大偏差样本点等自定义规则命题，跳出常规求回归方程套路，融合残差几何意义、二项分布综合设问，侧重考查临场阅读理解、公式变形与统计知识迁移能力。 1．（2025·河南信阳·模拟预测）已知变量，线性相关，其一组样本数据（），满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为1.9，则数据点关于修正后回归直线的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】 【详解】因为，可得，则， 增加数据后，变量的平均数为， 变量的平均数为， 设修正后的回归直线方程为，则，解得， 所以修正后的回归直线方程为， 当时，， 所以数据的残差为. 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）【新角度】（多选）对于维向量，，，，二者夹角的余弦值，现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D．这组点的线性相关性弱 【答案】AC 【详解】已知经验回归方程为和， 设，，解得，则，故A正确； 在上的投影向量为，， ，， 而回归方程中，中，二者不相等，因此投影向量为，B错误； 相关系数， ， 所以 ，C正确； 由回归方程中，中，， ， ， 所以这组点的线性相关性强，D错误. 3．（2025·四川眉山·二模）【新考法】（多选）已知一组成对数据（）中，关于的一元线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　） A．当时，函数取得最小值 B．当时，函数取得最小值 C．当时，函数取得最小值 D．当时，函数取得最小值 【答案】BC 【详解】因为成对数据的第一坐标依次为，所以 一元线性回归直线经过样本中心，所以 对于函数由， 将代入并展开，得 因为，所以当且仅当时，取得最小值．因此B正确，A错误． 令则的平均数为 于是 因为，所以当且仅当时，取得最小值，因此C正确，D错误 4．（2026·湖南郴州·三模）【新考法】（多选）在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（   ） A．样本点对应的残差为1 B．样本点到的距离为 C． D． 【答案】BD 【详解】选项A，由题意可知残差，四个样本点的残差依次为，，，，样本点对应的残差为，A错误； 选项B，点到的距离为，B正确； 选项C，因为，，所以，即， 且，即， 将代入，得，解得或，C错误； 选项D，点到直线的距离为， 由题意得，对于点，有，所以，故，故，C错误，D正确. 5．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 【答案】(1)． (2)选择散点图，． (3)对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小． 【分析】 【详解】（1）由题意，设该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度为事件， 显然满足题意共有7年，故， 故该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率为． （2）经分析应选择散点图，因相关系数的取值范围是，所以可以排除区间， 通过所给数据可知随着颗粒物密度的减少，二氧化硫密度也呈现减少的趋势，二者变化方向一致，属于正相关，因此， 综上，相关系数的取值区间为． （3）由题意，设样本中心， ， 故，则， 所以. 故时，此时，差值绝对值为2.20， ，差值绝对值为， 因为， 故对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小． 6．（2026·河南周口·一模）【新考法】假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型. (1)求参数的最小二乘估计； (2)现随机抽取其中的6对观测数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0 1 1 3 3 4 5 ①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程； ②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】 【详解】（1）残差平方和 ， 由二次函数性质可知，当且仅当时残差平方和最小， 故的最小二乘估计； （2）①由观测数据求得， 则， 故所求经验回归方程为. ②计算样本点的残差的绝对值如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0.5 1 2 0.5 1.5 0.5 故“大偏差”样本点共有2个，频率为， 即单次抽到“大偏差”的概率， 因此，， 由，解得， 由，解得， 又因为，且， 所以当最大时，. 7．（2025·贵州贵阳·二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测时成功的人数（精确到1）； 附：经验回归方程系数：， 参考数据：，，（其中，）． 【答案】(1) 数学期望 (2)回归方程为 ，时预测成功人数为. 【分析】 【详解】（1）由题知，的取值可能为1，2，3， 所以； ； ； 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为． （2）令，则， 由题知：， ， 所以， 所以，， 故所求的回归方程为：， 所以，估计时，． 8．（2025·山西大同·模拟预测）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】(1)适宜， (2) \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 能认为是否报废与保养有关． 【分析】 【详解】（1）由散点图判断，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型． 由，两边同时取常用对数得．设，则． 因为，，，， 所以. 把代入，得，所以，所以， 则，故关于的回归方程为. （2）设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 80 合计 60 40 100 则 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 真题·实战演练 高频考点：相关关系判断、相关系数、样本中心点、残差与相关指数，线性、非线性回归方程求解，独立性检验；近三年选择填空、解答题均有考查，侧重基础 + 中档综合，突出回归拟合、数据变换、统计推断三大热点。 1．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 【答案】C 【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误. 对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势， 故C正确，D错误. 故选：C. 2．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】C 【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误， 把代入可得，C选项正确； 由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误 故选：C 3．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. (2)可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 【分析】 【详解】（1）根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 可得， 因为， 所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异. （2）由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为， 用频率估计概率可得， 又因为升级改造前该工厂产品的优级品率， 则， 可知， 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)（i）；列联表为： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 ， （ii）能 【分析】 【详解】（1）试验组样本平均数为： （2）（i）依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排后第20位与第21位数据的平均数， 由原数据可得第11位数据为，后续依次为， 故第20位为，第21位数据为， 所以， 故列联表为： 合计 对照组 6 14 20 试验组 14 6 20 合计 20 20 40 （ii）由（i）可得，， 所以能有的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异. 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 成对数据的统计分析 目 录 模拟·基础演练 2 题型01相关关系与函数关系的辨析 2 题型02相关系数的计算与应用 3 题型03样本中心点的应用 4 题型04残差分析与相关指数 5 题型05线性回归分析 7 题型06非线性回归分析 11 题型07独立性检验的概念理解 14 题型08独立性检验的应用 17 重难·创新演练 21 真题·实战演练 26 模拟·基础演练 考查重点：辨析相关与函数关系，相关系数、样本中心点、残差、相关指数运算，线性、非线性回归方程求解分析，独立性检验概念理解与实际应用；覆盖成对数据统计分析核心内容，侧重公式运算、图表解读与统计推断。 题型01相关关系与函数关系的辨析 1．某校50名学生的身高与体重的散点图如下：根据身高和体重散点图，下列说法正确的是（   ） A．身高越高，体重越重 B．身高越高，体重越轻 C．身高与体重成正相关 D．身高与体重成负相关 2．下列两个变量之间是相关关系的是（   ） A．正方形的边长与对角线长 B．球的体积与表面积 C．一个人的身高与学习成绩 D．学习时间与学习成绩 3．下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）在下列各变量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．汽车的重量和百公里耗油量 B．正n边形的边数与内角度数之和 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．家庭的经济条件与学生的学习成绩 题型02相关系数的计算与应用 5．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，则各图对应的相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 6．从关于变量和的4对随机观测数据，，，中随机取三对，则相关系数的最小值为___________．（相关系数） 7．已知对线性数据的相关系数，其中向量，，且，．研究表明，人的脂肪含量与年龄（岁）呈线性相关关系．现收集了14个人的年龄和脂肪含量的数据，其中和分别表示第个人的年龄和脂肪含量，则这14对数据的相关系数（    ） （参考数据：已知，，，，．） A．0.92 B．0.94 C．0.95 D．0.96 8．若一组成对数据（，2，…，n）的相关系数，则数据（，2，…，n）的相关系数为__________．（相关系数的计算公式为，其中，） 9．近年来，某古镇民俗节庆活动吸引了大量游客，为研究气温对游客量的影响，某调研团队记录了民俗节期间30天的数据．设表示第天的平均气温（单位：），表示第天参与民俗节活动的游客人数（单位：百人），其中，，，…，．根据统计，计算得到如下数据：，，． 附：相关系数． (1)根据所给数据，计算相关系数，并判断是否可用线性回归模型拟合与的关系；（，则认为两个变量具有较强的线性相关性） (2)该古镇景区向参加活动的游客发放纪念品．纪念品由某厂甲，乙，丙三台机器生产，合格率分别为，，，且三台机器产量相同，产品混放．现任取一件纪念品，求其合格的概率． 题型03样本中心点的应用 10．两个线性相关变量与的统计数据如下表： 3.5 6 7.5 根据表中数据可得，且关于的经验回归直线方程为，则下列说法错误的有（     ） A． B． C．变量和正相关 D．对应的残差为 11．设，，…，是变量x和y的n个样本点，通过最小二乘法得到经验回归方程为，则“点在经验回归直线上”是“，”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．某产品的广告费用 万元与销售额 万元的统计数据如表： 广告费用 x (万元) 2 3 4 5 销售额 (万元) 39 49 54 根据上表可得经验回归方程 ，则 的值为（    ） A．26 B．27 C．28 D．28.5 13．已知具有线性相关关系的变量，，其样本点为（）， ，，经验回归直线方程为，则（    ） A．8.6 B．9.4 C．12.4 D．12.6 14．某实验室研究反应温度（单位：）与产物产率（单位：%）的关系，进行了5次实验，数据如下： 温度x 产率y 已知关于的经验回归方程为，则表中缺失的数据______． 15．某电商平台统计了次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________． 题型04残差分析与相关指数 16．已知变量和变量的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加一个样本数据后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，数据所对应的残差为（     ） A． B． C． D． 17．由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，通过残差分析，发现两个数据，误差较大，去除这两个数据后得到新样本经验回归方程为.在新的经验回归方程下，样本的残差为（    ） A． B． C． D． 18．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图①所示．根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图②所示，则（   ） A．模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 B．模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 C．模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设 D．模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设 19．2026年4月，教育部发布新版本科专业目录，新增太极拳等专业，传统体育教育再度受到关注.某地区2021年至2025年太极拳爱好者人数统计如下表： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 太极拳爱好者人数y（万人） 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 根据表中数据建立关于的线性回归方程，则（    ） A．表中数据的第80百分位数为1.7 B． C．当时，残差为0.02万人 D．预测2026年该地区的太极拳爱好者人数约为1.92万人 20．（多选）已知一系列样本点（，2，3，…，）的线性回归方程为，则下列说法正确的是（     ） A．若，，则点一定在回归直线上 B．至少有一个样本点落在经验回归直线上 C．若相关系数，则两个变量负相关 D．决定系数越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好 21．某新材料实验室研发一种高强度碳纤维复合材料．研发人员发现，复合材料的拉伸强度y（单位：GPa）与生产过程中添加的固化剂比例x（单位：%）具有相关性，为确定最佳配方，研究人员进行了5次平行试验，数据如下表： 试验编号 1 2 3 4 5 固化剂比例 2 4 6 8 10 拉伸强度 1 1.5 2.5 4.5 5.5 (1)求关于的经验回归方程； (2)求决定系数，并依据决定系数判断该线性回归模型的拟合效果是否较好； (3)根据（1）中求得的经验回归方程，若要求复合材料的拉伸强度不低于，求添加固化剂比例的最小值． 参考公式：经验回归方程为，其中：，，． 题型05线性回归分析 22．某实验室研究货车载重（单位：吨）与刹车制动距离（单位：米）之间的关系，在相同条件下测得以下7组数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 10 11 12 20.5 24.4 28.2 32.1 36.0 37.9 39.8 该实验室的研究方案是：先用前5组数据求经验回归直线方程，再用最后2组数据检验． (1)根据前5组数据求关于的经验回归方程； (2)若由经验回归方程得到的估计数据与后两组数据的误差均不超过1，则认为经验回归方程是理想的．该小组所得的经验回归方程是否理想？请说明理由． 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 23．某中学为给定制的毕业纪念品拟定合理的义卖定价，面向校友开展了预购意向调研，设定预报价为（元），对应的意向预购量为（百件），整理得到6组有效调研数据，如下表所示： 预报价（元） 意向预购量（百件） (1)已知变量，具有线性相关关系，求意向预购量关于预报价的线性回归方程； (2)记与预报价对应的意向预购量的估计值为．当时，则称为一个“精准调研数据”．判断当预报价分别为，，时，对应数据中哪些是“精准调研数据”． 参考公式：， 参考数据：， 24．随着我国经济的发展，人民的生活质量日益提高，对商品的需求也日益增多．商家销售商品，既要满足顾客需要，又要为商家创造效益，是一种相互依存的合作关系．为较好地达到这个目的，商家需要运用数学模型分析商品销售的规律并确定最优的销售价格．某商店以每件2元的价格购进一种小商品，经过一段时间的试销后，得到下表的统计数据： 售价x（元/件） 3 4 5 6 7 日销量y（件） 69 57 54 40 30 (1)由上表数据知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的经验回归方程； (2)试问商家将每件售价定为多少元时，可使其获得的日利润最大？（结果保留整数） 附：经验回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：． 25．乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了年每年油纸伞的销量数据，结果如下表： 年份/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 年销量/万把 7 8 10 11 14 (1)根据表中样本数据，计算与的样本相关系数（精确到0.01），并推断它们线性相关程度的强弱； (2)求关于的经验回归方程，并预测该工坊油纸伞的年销量最早在哪一年能超过20万把． 附：①样本相关系数； ②经验回归方程的斜率的最小二乘法估计公式为； ③． 26．新能源汽车的定价是影响其销量的关键因素之一.某公司统计了其一款车型在五个不同定价下的日均销量，数据如下表： 销售单价（万元/辆） 14 16 18 20 22 日均销量（辆） 110 95 80 65 55 (1)根据上表数据，求日均销量关于销售单价的经验回归方程，并据此预测当销售单价为24万元/辆时，该车型的日均销量； (2)计算表中5个样本点对应的残差（，2，3，4，5），用销售单价作为横坐标，残差作为纵坐标，作出残差图，并根据残差图分析该线性回归模型的拟合效果. 附：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 题型06非线性回归分析 27．某图书馆统计了二月份到六月份线上预约入馆的人次，x表示月份，y表示每月线上预约入馆的人次（单位：千人次）．已知变量y与变量x的关系可以用模型拟合，设，变换后得到一组数据如下： x 2 3 4 5 6 z 1.0 1.4 1.5 1.7 1.9 则（    ） A． B． C． D． 28．预制菜指以农、畜、禽、水产品为原辅料，配以调味料等经预选、调制等工艺加工而成的半成品.近几年预制菜市场快速增长.某城市调查近4个月的预制菜市场规模y（万元）得到如表所示的数据，根据数据得到y关于x的非线性回归方程 1 2 3 4 按照这样的速度，预估第10个月的预制菜市场规模是______万元.（结果用e表示） 29．变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______． 30．为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024．     根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． (1)根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． (2)①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 31．某大型设备组装企业为提升工作效率，引入人工智能优化部分流程，引入后记录了8天的组装完成时间（单位：分钟）如下表： 第天 1 2 3 4 5 6 7 8 组装完成时间分钟 140 125 115 110 107 105 103 101 (1)请根据最小二乘法，求经验回归方程①，并估算第5天的残差的值.（精确到0.01） (2)通过观察散点图，发现随着天数的增加，完成时间的下降速度逐渐变缓，于是考虑改变拟合模型，引入变量，令. （ⅰ）写出关于的非线性经验回归方程②；（精确到0.1） （ⅱ）已知模型②中的决定系数，通过决定系数说明模型①与②哪个拟合效果更好？ (3)为评估人工智能参与后的优化时效，记连续参与天后，回归时效函数为，已知回归时效函数值越大，表明优化时效越好，试根据模型①与②中的拟合效果较好的模型数据，估算在连续多少天后优化时效最好. 附：，，，，，，，模型①：； 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为，；决定系数为. 32．脑机接口，即指在人或动物大脑与外部设备之间创建的直接连接，实现脑与设备的信息交换，埃隆马斯克宣布，该试验可以实现意念控制手机和电脑，未来10到20 年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值.为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量(单位：亿元)与研发人员增量(单位：人)的10组数据，现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图： 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中 . 7.5 2.25 82.50 4.50 11.55 3.24 (1)根据残差图，判断哪个更适合作为回归模型？(给出判断即可，不必说明理由 (2)根据（1）中所选模型， （i）求出关于的经验回归方程； （ii）预测要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？(结果精确到 1) 附:对于一组具有线性相关关系的数据 ，其经验回归直线 的斜率及截距的最小二乘估计公式分别为: 题型07独立性检验的概念理解 33．为检验两个分类变量是否有关，提出零假设：两个分类变量相互独立．在成立的条件下，统计量满足．该等式表示（     ） A．若两变量相互独立，则由随机样本算得的不小于的概率为 B．若两变量相互独立，则由随机样本算得的小于的概率为 C．若某次检验得不小于，则两变量相互独立的概率为 D．若某次检验得不小于，则两变量不相互独立的概率为 34．通过随机询问某中学110名学生是否爱好跳绳，得到如下列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 已知，，根据小概率值的独立性检验，以下结论正确的是（     ） A．爱好跳绳与性别独立 B．爱好跳绳与性别独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别不独立 D．爱好跳绳与性别不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001 35．某校高二年级研究“课后体育锻炼”与“数学成绩”是否有关联，随机抽取200名学生，得到如下列联表，经计算． 分组 数学成绩分 数学成绩<120分 合计 每天锻炼小时 60 40 100 每天锻炼<1小时 30 70 100 合计 90 110 200 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 附：，． 下列关于独立性检验中卡方统计量的说法，正确的是（   ） A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“体育锻炼”与“数学成绩”无关 B．在列联表中各单元格频数比例不变的前提下，样本容量越大，值越大 C．若样本容量增大为原来的2倍，且列联表中各单元格频数比例保持不变，则值增大为原来的4倍 D．值的大小与样本容量无关，只与各单元格频数的比例有关 36．对某中学学生是否爱好跳绳做了随机调查，得到如表列联表． 跳绳 性别 合计 男 女 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 合计 60 50 110 现根据小概率值的独立性检验，已知．经计算，则以下结论正确的是（　　） A．爱好跳绳与性别无关 B．爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．爱好跳绳与性别有关 D．爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 37．某实验室为了研究荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验结果中是否存在差异，用以上两种检验方法对某种食品做了沙门氏菌检验，结果得到列联表如下： 阳性 阴性 合计 荧光抗体法 150 200 常规培养法 80 200 合计 270 130 400 参考公式：，其中. 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 下列表述正确的是（   ）（多选） A． B．零假设：在沙门氏菌检验中荧光抗体法与常规培养法有差异 C．依据小概率值的独立性检验，认为荧光抗体法与常规培养法在沙门氏菌检验中有差异 D．常规培养法检测沙门氏菌阳性的频率为 题型08独立性检验的应用 38．为研究市民是否坚持每周运动与颈椎健康状况的关系，随机抽取400名市民开展调查，得到如下列联表： 颈椎 运动情况 合计 坚持每周运动 未坚持每周运动 健康 110 90 200 不健康 80 120 200 合计 190 210 400 (1)分别记坚持每周运动和未坚持每周运动的市民颈椎健康的概率为，，求，的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析市民的颈椎健康是否与坚持每周运动有关． 附：， 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 39．随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 (1)将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； (2)依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 40．某市为了解本市旅游服务情况，在游客中随机抽取500名游客进行调研，记下评分及格的人数．为了改善旅游消费体验、提升旅游市场服务质量，该市采取了专项整治行动．为了解专项整治行动的效果，在专项整治行动后采取同样的调研方法，记下评分不及格的人数，2次调研得到的列联表如下： 评分不及格 评分及格 合计 专项整治行动前 300 500 专项整治行动后 100 500 合计 1000 (1)从这1000名游客中随机抽取1人，求此游客的评分及格的概率； (2)补全列联表，并根据小概率值的独立性检验，试问：评分是否及格与专项整治行动有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 41．为研究高中生参加课后体育锻炼与心理抗压能力提升的关联性，某教研机构随机抽取名高三学生开展调查，统计数据如下表（单位：人）． 课后体育锻炼 心理抗压能力 合计 心理抗压能力显著提升 心理抗压能力未显著提升 坚持参加课后体育锻炼 未坚持参加课后体育锻炼 合计 (1)用频率估计概率，从名学生中任意抽取一名学生，设事件为“该学生坚持参加课后体育锻炼”，事件为“该学生心理抗压能力显著提升”，求； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高中生坚持参加课后体育锻炼与心理抗压能力显著提升有关？ 附：，其中． 42．近年来，我国无人机产业迅速发展，表1是我国某地区某品牌无人机的年销售量与年份的统计表． 表1 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码x 1 2 3 4 5 销量y（万台） 2 3.5 2.5 8 9 表2 学生 了解 不了解 合计 男生 m 20 100 女生 40 n 100 合计 120 80 200 (1)求销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2027年该品牌无人机的销量； (2)为了研究不同性别的学生对无人机知识的了解情况，某校组织了一次有关无人机知识的竞赛活动，随机抽取了男生和女生各100名，得到如表2的2×2列联表．求m、n的值，并根据小概率值α＝0.005的独立性检验，判断该校学生对无人机知识的了解情况与性别是否有关联． 附：，， 0.05 0.005 0.001 3.841 7.879 10.828 重难·创新演练 设题创新：依托向量夹角、大偏差样本点等自定义规则命题，跳出常规求回归方程套路，融合残差几何意义、二项分布综合设问，侧重考查临场阅读理解、公式变形与统计知识迁移能力。 1．（2025·河南信阳·模拟预测）已知变量，线性相关，其一组样本数据（），满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为．若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为1.9，则数据点关于修正后回归直线的残差为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．（2025·安徽安庆·模拟预测）【新角度】（多选）对于维向量，，，，二者夹角的余弦值，现有一组点，设，，记，，已知这组点由最小二乘法所得的经验回归方程为和，若，称这组点的线性相关性弱，反之则称这组点的线性相关性强，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C． D．这组点的线性相关性弱 3．（2025·四川眉山·二模）【新考法】（多选）已知一组成对数据（）中，关于的一元线性回归方程为，则下列说法正确的是（　　） A．当时，函数取得最小值 B．当时，函数取得最小值 C．当时，函数取得最小值 D．当时，函数取得最小值 4．（2026·湖南郴州·三模）【新考法】（多选）在某次实验中，某同学根据4个样本点，，，，利用最小二乘法得到关于的经验回归方程，设对应的回归直线为：.已知这4个样本点到的距离均不超过，记，其中为观测值，为预测值，为对应的残差.（注：由最小二乘法所得残差满足，），则（   ） A．样本点对应的残差为1 B．样本点到的距离为 C． D． 5．（2025·黑龙江七台河·模拟预测）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下： 某颗粒物密度 101.02 87.02 57.46 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 51.84 53.2 9.16 6.6 4.4 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在，，哪个区间内？ (3)2023年之前9年的年份的平均数为2018，（颗粒物密度）关于（年份）的回归方程拟采用或．若知2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差的绝对值更小（精确到0.01）？ 6．（2026·河南周口·一模）【新考法】假设变量与变量的对观测数据为（也称为样本点，），且已知两个变量满足一元线性回归模型. (1)求参数的最小二乘估计； (2)现随机抽取其中的6对观测数据如下： 序号 1 2 3 4 5 6 0 1 1 3 3 4 5 ①根据（1）中所得参数的估计，求关于的经验回归方程； ②对于①中所求的经验回归方程，若样本点的残差满足，则称该样本点为“大偏差”样本点.若样本点足够多，且所有样本点均可用所求经验回归方程拟合，以这6个样本点中“大偏差”样本点的频率近似估计概率，现从所有样本点里随机挑出10个，其中“大偏差”样本点有个，求最大时值. 7．（2025·贵州贵阳·二模）规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮，如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测时成功的人数（精确到1）； 附：经验回归方程系数：， 参考数据：，，（其中，）． 8．（2025·山西大同·模拟预测）某公司计划对未开通共享电动车的某市进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量与年使用人次的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 (1)观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模型或指数函数模型对两个变量的关系进行拟合．请问哪个模型更适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？并求出关于的回归方程； (2)公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比．请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 真题·实战演练 高频考点：相关关系判断、相关系数、样本中心点、残差与相关指数，线性、非线性回归方程求解，独立性检验；近三年选择填空、解答题均有考查，侧重基础 + 中档综合，突出回归拟合、数据变换、统计推断三大热点。 1．（2024·上海·高考真题）已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（    ） A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 2．（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（    ） A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系 B．花瓣长度和花萼长度负相关 C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 3．（2024·全国甲卷·高考真题）某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率，设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（） 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 4．（2023·全国甲卷·高考真题）一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g）．试验结果如下： 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 15.2  18.8  20.2  21.3  22.5  23.2  25.8  26.5  27.5  30.1 32.6  34.3  34.8  35.6  35.6  35.8  36.2  37.3  40.5  43.2 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为 7.8  9.2  11.4  12.4  13.2  15.5  16.5  18.0  18.8  19.2 19.8  20.2  21.6  22.8  23.6  23.9  25.1  28.2  32.3  36.5 (1)计算试验组的样本平均数； (2)（ⅰ）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表 对照组 试验组 （ⅱ）根据（i）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？ 附：， 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 19 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $