5.3 一元一次方程的应用（第3课时 利用画线段图分析等量关系）（教学课件）数学新教材北师大版七年级上册

5.3一元一次方程的应用 第三课时 利用画线段图分析等量关系 解决实际问题 第五章 一元一次方程 北师大版（新教材）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 能分析行程问题中已知量与未知量之间的等量关系，利用路程、时间与速度三个量之间的关系列出一元一次方程解决问题。 会用“线段图”分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。 掌握一元一次方程解决实际问题的一般步骤，并能验证解的合理性。培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用。 导入新课 我坐车以40公里/小时的速度从家出发去奶奶家需要6小时，那么我家到奶奶家有_____公里. 如果我想从家晚出发2小时的时间依然准时到达到奶奶家，那么我需要的速度为____公里/小时. 如果我的速度以50公里/小时从家出发到奶奶家，那么需要用______小时. 240 60 导入新课 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 小明每天早上要在7：50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是，爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他. 爸爸追上小明用了多长时间?追上小明时，距离学校还有多远? 学校 小明家 新知探究 问题一 上述问题中有哪些已知量和未知量? 已知量：①小明家到学校的距离：1000 m； ②小明的速度：80 m/min； ③爸爸的速度：180 m/min； ④小明比爸爸多用的时间：5min. 未知量：①爸爸追上小明时小明所用的时间； ②爸爸追上小明时爸爸所用的时间； ③爸爸追上小明时小明所走的路程； ④爸爸追上小明时爸爸所走的路程. 新知探究 等量关系: ①爸爸追上小明时小明所走的路程=爸爸追上小明时爸爸所走的路程; ②爸爸追上小明时小明所用的时间-爸爸追上小明时爸爸所用的时间 =5分钟. 列方程时，找出问题中的等量关系是关键. 新知探究 问题二 想象一下追及的过程，你能用一个图直观表示问题中各个量之间的关系吗? 小明家 学校 爸爸 小明 小明 80×5 80x 180x 画图分析数量关系是一种有效方法. 新知探究 问题三 设爸爸追上小明用了x min，你能借助下面的表格梳理问题中的信息吗？ 时间/min 速度/m/min 路程/m 小明 爸爸 (5+x) x 80 180 80(5+x) 180x 利用表格分析数量关系是一种有效方法. 新知探究 解：(1)设爸爸追上小明用了x min. 当爸爸追上小明时，两人所行驶路程相等.根据等量关系，可列出方程： 80x + 5×80 = 180x. 解这个方程，得 x=4 因此，爸爸追上小明用了4 min. (1)爸爸追上小明用了多长时间？ 根据相等量的两种不同表达式就可以建立等量关系，列出方程了. 新知探究 (2)追上小明时，距离学校还有多远？ 解：(2)1000－180 × 4 = 280(m) 因此，追上小明时距离学校还有280m. 线段图分析： 小明家 学校 爸爸 小明 小明 80×5 80x 180x 1000－180x 追及问题： 甲、乙两人同向出发，甲追乙这类问题为追及问题： 对于行程问题，通常借助“线段图”来分析问题中的数量关系． (1)对于同向同时不同地的问题，如图所示，甲的行程－乙的行程＝两出发地的距离； 注意：同向而行注意始发时间和地点． (2)对于同向同地不同时的问题，如图所示，甲的行程＝乙先走的路程＋乙后走的路程． 新知探究 线段图： 甲 乙 例1.甲、乙两站间的路程为 450 千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶 65 千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶 85 千米. （1）两车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？ 解：（1）设 两车行驶了xh相遇， 根据题意得 65x+85x=450， 解，得 x = 3. 答：两车经过3h相遇. 分析：等量关系：慢车路程＋快车路程=甲乙之间的距离. 相遇 慢车行驶的路程65x 甲乙两地之间的距离450km 快车行驶的路程85x 新知探究 甲 乙 线段图： （2）快车先开30min，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？ 相遇 快车先开30min行驶的路程85×0.5 慢车行驶的路程65y 甲乙两地之间的距离450km 快车在慢车走时行驶的路程85y 解：（2）设慢车行驶了y小时两车相遇. 据题意得 65y+85（y+0.5）=450， 解，得 y= . 答：慢车行驶了小时两车相遇. 新知探究 相遇问题： 关于两人从两地出发相向而行的行程问题称为相遇问题，这类问题往往根据路程之和等于总路程列方程． 如图所示，甲的行程＋乙的行程＝两地相距的路程． 新知探究 新知探究 例2.小明和小华两人在 400m的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑260 m，小华每分钟跑 300m，两人起跑时站在跑道同一位置. 思考 本题涉及哪些量? ①小明的速度：260m/min； ②小华的速度：300m/min； ③环形跑道长度：400 m. 新知探究 问题 (1)如果小明起跑后 1min 小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明? 小华 小明 300x 260m 260x 线段图分析： 等量关系： 小明1min 路程＋小明x min路程=小华x min路程. 解:(1)设小华用x min 追上小明， 260 + 260x = 300x. 解这个方程，得 x = 6.5. 因此，小华用 6.5 min 追上小明. 根据等量关系，可列出方程 新知探究 (2)如果小明起跑后1min 小华开始反向跑，那么小华起跑后多长时间两人首次相遇? 小华 小明 300x 260m 260x 线段图分析： 等量关系：小明路程+小华路程=环形跑道1圈总路程. 解：(2)设小华起跑后 x min两人首次相遇， 260x + 300x = 400-260. 解这个方程，得 x=0.25. 因此，小华起跑后 0.25 min 两人首次相遇. 400m 根据等量关系，可列出方程： 新知探究 环形跑道问题： 环形跑道长s米，设v甲＞v乙，经过t秒甲、乙第一次相遇. 一般有如下两种情形： ①同时同地、同向而行： v甲t-v乙t=s. ②同时同地、背向而行： v甲t+v乙t=s. 追及问题 相遇问题 课堂训练 1.《九章算术》中有一道题，原文：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．走路慢的人先走100步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？(　　) A．300步   B．250步   C．200步   D．150步 B 19 D 课堂训练 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 2.A，B两站间的距离为335 km，一列慢车从A站开往B站，每小时行驶55 km，慢车行驶1小时后，另有一列快车从B站开往A站，每小时行驶85 km.设快车行驶了x小时后与慢车相遇，则可列方程为( ) A.55x+85x=335 B.55( x-1 )+85x=335 C.55x+85( x-1 )=335 D.55( x+1 )+85x=335 55×1 85x 335 km A B 55x 慢车 快车 【分析】等量关系：慢车路程+快车路程=335. 课堂训练 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 联络员追上前队时用了多长时间？ 3.育红学校七年级学生步行到郊外旅行：七(1)班的学生组成前队，步行速度为4 km/h，七(2)班的学生组成后队，前队出发1 h后，后队派一名联络员骑自行车追前队，他骑车的速度为12 km/h. 【分析】等量关系：联络员行的路程＝前队行的路程． 4×1 4x 12x 前队 联络员 21 课堂训练 【分析】等量关系：联络员行的路程＝前队行的路程． 4×1 4x 12x 解：设联络员追上前队时用了x小时， 由题意：12x=4x+4. 解得 x=0.5. 所以，联络员追上前队时用了0.5小时. 22 课堂训练 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 4.甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米.设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车? 【分析】等量关系：快车所用时间=慢车所用时间 快车行驶路程=慢车行驶路程+相距路程 450 km 乙 甲 快车 慢车 追上 23 课堂训练 4.甲、乙两站间的路程为450千米，一列慢车从甲站开出，每小时行驶65千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶85千米.设两车同时开出，同向而行，则快车几小时后追上慢车? 450 km 乙 甲 快车 慢车 解：设快车x小时后追上慢车， 根据题意，得 85x=450+65x. 解得 x=22.5. 所以，快车22.5小时后追上慢车. 24 新知巩固 1.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是(　　) A．5天 B．10天 C．15天 D．20天 D 新知巩固 2.敌军在早晨5时从距离我军7千米的驻地开始逃跑，我军发现后立即追击，速度是敌军的1.5倍，结果在7时30分追上，我军追击速度是多少？ 分析：我军路程-敌军路程=7千米. 解：设敌军逃跑时的速度为x千米/时，根据等量关系，可列出方程： (7.5 - 5) × 1.5x - (7.5 - 5)x = 7. 解这个方程，得 x = 5.6. 1.5 × 5.6 = 8.4. 因此，我军追击速度是8.4千米/时． 新知巩固 3. A、B两车分别停在相距130千米的甲、乙两地，A车速35千米/时，B车速30千米/时，若两车同时相向而行，问: (1)行驶多长时间后两车相遇？ 甲 乙 A B 解：(1)设两车行驶 x 小时后相遇，线段图分析如右图所示，根据题意得， 35x + 30x = 130. 解这个方程，得 x = 2. 因此，行驶2小时后相遇. 新知巩固 3. A、B两车分别停在相距130千米的甲、乙两地，A车速35千米/时，B车速30千米/时，若两车同时相向而行，问: (2)行驶多长时间后两车第一次相距65千米？ 甲 乙 A B 解：(2)设行驶 x 小时后两车第一次 相距65千米，线段图分析如右图所示， 根据题意得， 35x + 30x + 65 = 130. 解这个方程，得 x = 1. 因此，行驶1小时后两车第一次相距65千米. 新知巩固 4.学校的环形跑道总长度为400m，小敏、小刚两人站在环形跑道上相距240m的位置相向而行，若小敏原地不动，小刚跑步需要30s与小敏相遇，若小刚出发10s后，小敏也开始跑步，经过40s两人第二次相遇． (1)求两人跑步的速度； 解： (1)小刚的速度为：240÷30 = 8(m/s)； 设小敏的跑步速度为 x m/s，根据题意，列得方程： 40x + (10 + 40)×8 = 240 + 400. 解这个方程，得 x = 6. 答：小敏的跑步速度为6m/s，小刚的跑步速度为8m/s. 新知巩固 解：设相遇时所用的时间为x分钟， 根据等量关系，可列出方程： 60x = 90x - 2×180. 解这个方程，得 x = 12. 所以A、B两地的距离为 60x + 180 = 60×12 + 180 = 900. 因此，A、B两地相距900米． 5.甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分走60米，乙每分走90米，乙到达B地后立即返回．在离B地180米处与甲相遇．A、B两地相距多少米？ 180 60x 90x 甲 乙 A B 新知巩固 幂的乘方在实际生活中有广泛应用，如练习等场景。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在多项式运算的探究活动中，学生需要自主演绎。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。不等式基础与不等式基础之间存在密切联系，都需要复习的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。在一元二次方程的学习过程中，放缩是最具挑战性的环节之一。 6. A，B两地相距80千米，甲、乙两人同时分别从A，B两地出发相向而行，甲的速度是9千米/时，乙的速度是6千米/时．经过多长时间两人相距5千米？ 9x 6x 80 5 A B 解：设经过x小时后两人相距5千米. 根据题意，得 9x+5+6x=80. 解得 x=5. 所以，经过5小时后两人相距5千米. 情况一 【分析】等量关系： 甲路程+乙路程+5=80. 31 新知巩固 解：设经过x小时后两人相距5千米， 根据题意得 9x-5+6x=80. 解得 x= . 所以，经过 小时后两人相距5千米. 情况二 9x 6x 80 5 A B 【分析】等量关系： 甲路程-5+乙路程=80. 32 课堂小结 解题方法 核心内容 ①解题关键：找出等量关系，列出方程. ②重要方法：画线段图、借助表格. ①公式：路程=速度×时间 ②分类：相遇问题、追及问题 用一元一次 方程解实际 问题的一般 步骤 利用 画线 段图 分析 等量 关系 解决 实际 问题 思想方法 课堂小结 （1）化归思想； （2）归纳类比思想； （3）模型思想； 谢谢聆听 $