第五章 一元一次方程 问题解决策略：直观分析课件2026-2027学年北师大版数学七年级上册

问题解决策略： 直观分析 1. 进一步经历借助直观图形分析复杂数量关系、建立方程解决问题的过程，体会直观图表在分析问题中的价值，发展几何直观。 2．积累利用直观分析策略解决不同知识领域问题的经验，提高分析问题、解决问题的能力。 教学目标 1. 能借助图表和示意图直观分析问题，找到数量关系 2．会列一元一次方程解决有关商品销售利润问题． 学习目标 商品销售中的有关概念： 成本价（进价）： 进货时的价格。 售价： 商品在出售时的价格。（或称为成交价、卖出价） 标价（原价）： 在销售商品时标出的价格。 利润： 在销售商品过程中的纯收入。（售价-进价） 利润率： 在销售商品时，商品的利润占成本的百分比。 折扣： 所谓打折，就是商品以标价为基础，按一定的比例 降价出售。 它是商家们的一种促销手段。 问题：(北师七上P156)一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？ 每件服装的成本价、标价、售价、利润，利润是已知量，成本价、标价和售价是未知量。 服装的成本价提价后等于标价，标价再打折后等于售价，售价与成本价的差等于利润。 可以借助图表来表示它们之间的关系。 拟订计划： (1)想象一下商店从进货标价到销售获利的过程，你能用示意图直观的表示这一过程。 (2)根据自己画的示意图，你能写出哪些等量关系? (3)设这种服装每件的成本为x元，你能用含x的代数式表示其他量吗？根据自己写出的等量关系，你能列出怎样的方程？ 成本价×（1+40%）=标价，标价×80%=售价，售价-成本价=利润。 【实施计划】 在直观分析的基础上，选择一个量，用不同的代数式表示这个量，根据相应的等量关系列出方程，解方程就可以求得问题的解。 设这种服装每件的成本为元。 追问1：选择利润，根据等量关系“利润=售价一成本价”，可列出方程什么方程？ 追问2：选择成本价，根据等量关系“成本价=售价一利润”，可列出什么方程? 追问3:选择标价，根据等量关系“标价=售价➗折扣”，可列出什么方程? 追问4:选择售价，根据等量关系“售价=成本价+利润”，可列出什么方程? 解：设该商品的成本价是x元，用如图所示的框图表示销售过程， 则1800×0.9＝(1＋0.08)x， 解得x＝1500. 答：该商品的成本价是1500元。 典例 某商品的进价是200元，标价为300元，折价销售后的利润率为5%，此商品是按几折销售的？ 解：设此商品是按x折销售的，依题意，得 解得x＝7. 答：此商品是按7折销售的． 课堂小结 = 商品售价—商品进价 ●售价、进价、利润的关系式： 商品利润 ●进价、利润、利润率的关系： 利润率= 商品进价 商品利润 ×100% ●标价、折扣数、商品售价关系 : 商品售价＝ 标价× 折扣数 10 ●商品售价、进价、利润率的关系： 商品进价 商品售价= ×(1+利润率) 方法总结 销售问题常见的等量关系 请用直观分析策略解答下列问题(北师七上P157) 解：画图如下： 把超市开在B，C的中点上点O处， 开超市不是要求到A，B，C，D的距离相等， 而是A，B，C，D四个点到超市的距离之和为最小值， 容易知道应该建立在A，B，C，D所在的直线上， 如果放置在A，B之间，减少了A到超市的距离却增加了B，C，D三个点到超市的距离， 所以只有开在B，C的中点O处时，四个点到超市的距离之和最小 解：设会合时他们骑行了x h，画图如图所示， 根据题意，列出方程10x＋12x－11＝11， 解得x＝1. 答：会合时他们骑行了1小时 解：根据题意画出示意图： 由参加聚会的人数为5人，每人需给另外4人握手， 即得握手总数为4＋3＋2＋1＝10(次). 答：五个人共握手10次 解：用长方形面积代表全班人数，大圆的面积代表第一题答对人数，小圆面积代表第二题答对人数，大小圆重叠部分面积代表两题都答对人数，画出示意图： 设两题都答错的有x人， 根据题意得32＋27－20＝45－x， 解得x＝6. 答：两题都答错的有6人 5.某公司办公大楼共5层，公司要召开会议。 (1）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，1，2，1，1，那么要使所有参会人员到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在几层？你是怎样思考的？ （2）如果从1层到5层每层参会人数分别为2，2，1，2，1呢? （3）如果从1层到5层每层参会人数分别为18，14，10，10，11呢？你是如何解决的？ 解析： 1.将五个人分别看作在一条直线上的五个点，五个人总共握手的次数即为每两点之间不同线段的条数。由图可知不同线段的条数为4+3+2+1=10，所以五个人共握10次手。 2.（1）3层;（2）2层或3层；（3）2层。 提示：本题可以看成第1题的变式，不同之处在于直线上有重合的点。将每个人分别抽象成直线上的一个点，同一层不同的参会人员表示为直线上重合的点。如果点的总数为（2n+1）个，会议地点就设在第（n+1）个点对应的层数；如果点的总数为2n个，会议地点就设在第n个点或第（n十1）个点对应的层数。 课堂小结 课堂小结 数学问题中的直观分析 借助适当的图表，可以直观、形象地呈现数量关系，使复杂的数量关系变得清晰明了，从而帮助我们更好地理解问题、分析问题、解决问题。 阅读情境，梳理信息 选择适当图表，标注数量信息 根据等量关系，列出方程 数学问题中的直观分析 在利用一元一次方程解决问题时，借助表格和示意图可以直观分析问题，使问题中的数量关系更加清晰．实际上，借助图表直观分析数量关系，往往是解决问题的一种重要策略。 理解问题 这个问题中涉及哪些量？哪些是已知量？哪些是未知量？ 你能用文字语言描述这个问题中所蕴含的等量关系吗？ 采用什么方式可以更清楚的展示这个问题中各量之间的关系？ 小明用如图所示的框图直观地表示了商店从进货、标价到销售获利的过程，并将问题中的数量信息标注在框图中．据此，他列出了方程(1＋40%)x·80%－x＝15.解这个方程，得x＝125.因此，这种服装每件的成本是125元． 【典例】 某商场推出新年大促销活动，其中标价为1800元的某种商品打九折销售，该种商品的利润率为8%.求该商品的成本价是多少？ 300×eq \f(x,10)－200＝200×5%， 【练习】 某商场电视机原价为2500元，现以八折销售，如果想使降价前后的销售额都为10万元，那么销售量应增加多少台？ 解：设销售量应增加x台． 根据题意，得( eq \f(100000,2500) ＋x)×2500×0.8＝100000，解得x＝10. 答：销售量应增加10台，才能使降价前后的销售额都为10万元 1. 某单位的四幢宿舍楼在一条直线上，现要在这四幢宿舍楼之间建一个超市，使得四幢宿舍楼到超市的距离之和最短．超市应建在什么位置？ 2. 周末小明和爸爸骑自行车去郊外游玩，小明和爸爸分别以10 km/h和12 km/h的速度沿相同路线骑行，爸爸先骑行了11 km，然后立即掉转车头，仍以12 km/h速度往回骑，直到与小明会合．会合时他们骑行了多长时间？ 3. 五个人聚会，如果每两个人要握手一次，那么五个人共握手多少次？ 4. 一次测试共有两道题，全班有45名同学参加测试，答对第一题的有32人，答对第二题的有27人，两题都答对的有20人，那么两题都答错的有多少人？ $