23.2 解直角三角形及其应用（第4课时 坡度问题）（教学课件）数学新教材沪科版九年级上册

【新教材】沪科版·九年级上册 第23章 解直角三角形 23.2解直角三角形及其应用 第4课时 坡度问题 学 习 目 标 1 2 3 了解坡度、坡角的相关概念. 能综合运用解直角三角形知识解决堤坝、斜坡等类型的实际问题,发展模型观念. 体会化归思想，感受解直角三角形在工程、水利建设中的应用价值，发展应用意识. 利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 (解直角三角形) 抽象 数学问题 的答案 实际问题 的答案 目标 证明(构造) 直角三角形 解直角三角形 画出平面图形 知识回顾 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 新知探究 思考 α l h i= h : l 坡面 水平面 3.坡度与坡角的关系：,即坡度等于坡角的正切值. 2.坡度(或坡比)：坡面的铅垂高度()和水平长度()的比叫作坡面的坡度(或坡比)，记作， 即 . 坡度通常写成的形式 1.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α 新知探究 A B C D A B h C 1.如图(1)若,，则=______ (2)若,，则h=______ 2.如图是一个拦水大坝的横断面图,, (1)斜坡,大坝高为, 则斜坡AB的坡度_____ (2)如果坡度=,则坡角=______ (3)如果坡度=,, 则大坝迎水坡的水平宽度为________. E 2 针对训练 新知探究 分析：坡度 i = 1 : 1.75 是铅直高度 : 水平宽度 → 在 Rt△ABE 中 tan α = = ，先求 AE（水平宽），再求 AD；最后由 tan α = , 反求坡角 α。 如图，铁路路基的横断面是梯形 ABCD，AD ∥ BC。路基顶宽 BC = 8.8 m，路基高 BE = 5.8 m，斜坡 AB 和斜坡 CD 的坡度 i = 1 : 1.75。求铁路路基下底宽 AD 和斜坡的坡角 α 的值（精确到 1°）。 解：过点 C 作 CF⊥AD 于点 F， 则 CF = BE，EF = BC，∠A = ∠D = α。 ∵ BE = 5.8 m，斜坡坡度 i = ， ∴ AE = DF = 1.75 × 5.8 = 10.15（m）。 ∴ AD = AE + EF + DF = 10.15 + 8.8 + 10.15 = 29.1（m）。 又 ，∴ α ≈ 30°。 答：路基下底宽 AD 为 29.1 m，斜坡坡角 α 约为 30°。 新知探究 方法归纳 坡度问题解题模型 ① 画图标注：画出横断面示意图，标出坝高、顶宽与坡度； ② 作双高化归：梯形 → 矩形 + 两个直角三角形； ③ 用 i 求水平宽：水平宽 = 高 × m（i = 1 : m）； ④ 求底宽与坡角：AD = AE + EF + DF，tan α = i。 思想方法：化归——把未知形状的梯形问题，拆解为熟悉的直角三角形问题。 提分笔记 1.如图所示的是某大坝的横断面，，迎水坡的坡比，背水坡CD的坡比．若坡面的长度为，求坡面AB的长度 解：过点作于点，过点作于点，如图， 由题意可知，四边形是矩形，． 背水坡CD的坡比， ，， ，即． 又迎水坡AB的坡比，， ． 巩固新知 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°. 巩固新知 解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别 为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中， (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 巩固新知 =69+6+57.5=132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在Rt△DCF中，同理可得 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 巩固新知 真题感知 （2026•湖北）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡．如图，坡角为∠A的斜坡AB长10m，铅直高度BC长4.7m，∠C＝90°．该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理由．（参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57） 真题感知 解：该机器人一定能爬上斜坡AB 理由：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sinA===0.47． ∵sin28°≈0.47， ∴∠A≈28°． ∵28°＜35°， ∴斜坡AB长10m，铅直高度BC长4.7m，则该机器人一定能爬上斜坡AB． 真题感知 （2026·四川凉山州·中考）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN相距300米的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AN的坡度i=1:5，点A，B，C，M，N在同一平面内，AB是桥面，CN是水平线，AB∥CN，AB⊥MN．（计算结果均保留根号） (1)求索塔桥面以上部分MB的高度； (2)求索塔MN的高度． 真题感知 （1）在 Rt△ABM 中，， （米）。 （2）作 于 Q，四边形 ABNQ 是矩形， 米。 ，即 ， （米），即 米。 （米）。 方法提炼：竖直高度拆两段——仰角段用正切求 MB，坡度段用 i=竖直高:水平距 求 BN，两段相加。 1.某水坝的坡度，坡长米，则坝的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为，则 ． A 课堂检测 3.如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道BC与地面AD平行，扶梯AB的坡比为1:1，滑梯CD的坡比为1:3，若扶梯AB长为2米，求滑梯CD的长． 解：由题意得：tan∠BAE==1，tan∠CDF===，BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF， ∴∠BAE=45°，∠CDF=30° ∴在Rt△ABE中，BE=AB⋅sin∠BAE=2⋅sin45°=2（米）， ∴CF=BE=2米， ∴在Rt△CDF中，CD== =4（米） 答：滑梯CD的长度为4米． 课堂检测 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？ 2.我们是如何运用解直角三角形的知识来解决坡度问题的？ 3.你认为接下来我们会探究什么内容？ 解直角三角形的应用 坡度问题 坡角 坡度(或坡比) 课堂小结 坡度：坡面的铅垂高度()和水平长度()的比叫作坡面的坡度(或坡比)，记作， 即 . . 坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作. 坡度与坡角的关系： ,即坡度等于坡角的正切值 作业布置 1.基础性作业：课本P145练习第1题和P148第7题. 2.拓展性作业：以小组为单位设计一道有关坡度问题的实际问题并解答 【新教材】沪科版·九年级上册 感谢聆听! $