1.3空间向量及其运算的坐标表示常见的五种题型专项训练（基础）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.3空间向量及其运算的坐标表示常见的五种题型（基础卷） 目　录 题型一　空间向量的坐标运算与概念 题型二　模长与两点间距离 题型三　数量积与夹角 题型四　投影向量 题型五　平行、垂直与坐标条件 题型一　空间向量的坐标运算与概念 【解题技巧】通法：设、，则、、，逐项套公式计算；概念判断抓三点：||>||推不出比大（向量不能比大小）、点关于坐标平面对称只变对应轴坐标的符号（关于xOy面只有z变号）；多选综合判断题逐项用坐标验证，算准一项划一项，不确定的项先放最后处理。易错点：数量积的正负与夹角对应；数乘变号；对称平面记混。 1．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 4．若向量，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5．已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．在六面体中，一定有 D．在空间直角坐标系中，点与点关于平面对称 8．已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 9．(多选题)若向量，，则下列结论正确的为（   ） A． B． C．∥ D． 10．(多选题)空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（    ）. A． B．若，则 C．点关于平面对称的点的坐标为 D． 11．已知空间向量，则______. 题型二　模长与两点间距离 【解题技巧】通法：坐标求模公式；求先算±的坐标再开方，或平方展开；两点距离，即向量坐标的模；最值问题（动点在直线上或满足向量条件）先设参数把目标平方转化为参数函数，配方或基本不等式求最值。易错点：平方展开漏交叉项±2·；开方只取算术平方根；距离公式代错点的对应坐标。 1．已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，则____. 3．已知空间向量，，则___________． 题型三　数量积与夹角 【解题技巧】通法：夹角公式（为与的夹角），三步：坐标算·、分别求模、代入求角；向量夹角范围，几何体中线段角与向量夹角可能互补，按所求对象取舍；由夹角为钝角求参数： 令且排除反向共线；求∠ABC这类角，两边向量必须从同一顶点B出发（与），方向写错角就错。易错点：与方向弄反；求出的角不看范围；钝角条件漏排除共线。 1．在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，已知，则（     ） A． B． C． D． 3．已知向量，则________. 4．已知，，则______. 题型四　投影向量 【解题技巧】通法：在上的投影向量等于；固定三步：先算，再算，最后乘写出结果；投影向量的模用；几何体中先用坐标表示两个向量再套公式；·<0时投影向量与反向，负号保留。易错点：分母是不是；投影向量（向量）与投影数量（标量）混写；被投影对象与投影方向搞反（求在上，系数用·）。 1．已知，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 4．已知，． (1)设向量，，求； (2)若，求的值； (3)求向量在向量上的投影向量． 题型五　平行、垂直与坐标条件 【解题技巧】通法：设、：∥（≠0）⟺坐标成比例，逐分量列方程；⊥⟺；组合向量条件（如）先把组合向量坐标算出来再列数量积为零；方向向量与法向量：直线l∥平面α时，l⊥α时。易错点：平行比例中含0的分量要单独讨论；垂直条件展开漏项；解出参数后回代检验所有分量。 1．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知空间向量，若，则（    ） A． B．3 C．4 D．5 3．下列向量中，与向量，平行的是（    ） A． B． C． D． 4．向量，若，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 6．已知向量，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．已知向量，若，则（　　） A． B． C．6 D． 8．已知，且，则实数的值为（       ） A． B．0 C．1 D．5 9．已知，，且，则实数t的值为（   ） A． B．3 C．4 D．6 10．已知空间向量，，若，则________． 11．已知空间向量，，且，则______． 12．已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 13．（1）已知空间向量，求； （2）已知，若，求实数的值 参考答案 题型一　空间向量的坐标运算与概念 1．C 【详解】由题意知，. 故选：C. 2．C 【详解】由题意可得． 故选：C. 3．A 【详解】因为， 所以， 故选：A 4．A 【详解】解：因为， 所以，又， 所以， 故选：A 5．B 【详解】因为，， 所以. 故选：B 6．A 【详解】因为， 所以， 故选：A 7．D 【详解】对于A，根据向量的定义，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，由，所以，故B错误； 对于C，当六面体为平行六面体时，成立， 当六面体不是平行六面体时，上述结论不一定成立，比如对于正四棱台，上述结论就不成立，故C错误； 对于D，由点关于平面的对称点为，故D正确； 故选：D. 8．D 【详解】对于选项A:因为,所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,,所以，故选项B错误； 对于选项C: 因为,,所以，故选项C错误； 对于选项D: 因为,,所以，，， 在上的投影向量为，故选项D正确. 故选：D. 9．AB 【详解】因为向量，， 所以，故A正确； ， 所以，故B正确； 不存在非零实数，使成立，故与不共线，故C错误； 因为，故D错误. 故选：AB. 10．AB 【详解】对A，，故A正确； 对B，，所以，故B正确； 对C，点关于平面对称的点的坐标为，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：AB. 11． 【详解】因为，所以． 故答案为： 题型二　模长与两点间距离 1．A 【详解】因为，，所以，故. 2． 【详解】向量，由，解得， 则有，又，则. 故答案为：. 3． 【详解】因为，， 所以，则. 故答案为：. 题型三　数量积与夹角 1．C 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 2．D 【详解】， 因为，所以， 所以. 故选：D 3． 【详解】∵， ∴. 故答案为： 4． 【详解】解：因为，， 所以，， 故答案为： 题型四　投影向量 1．C 【详解】因为， 则向量在向量上的投影为， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：. 2．A 【详解】向量在向量上的投影向量为． 故选：A 3． 【详解】由题意向量， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 4．(1). (2). (3)向量在向量上的投影向量为. 【详解】（1）已知，，则， 又，可设， 由得，故，所以. （2）由，得， 即. 又，，，所以， 整理得，解得. （3）向量在向量上的投影向量为. 题型五　平行、垂直与坐标条件 1．C 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 2．A 【详解】由题意可知. 故选：A 3．C 【详解】对于A，因为，所以两向量不平行； 对于B，因为，所以两向量不平行； 对于C，因为，所以两向量平行； 对于D，因为，所以两向量不平行. 故选：C. 4．C 【详解】由题意可得知，则，因此，所以， 故选：C. 5．A 【详解】由题意得，解得. 6．C 【详解】由题意得，解得． 故选：C． 7．A 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故选：A 8．C 【详解】因为，，所以，解得. 故选：C. 9．B 【详解】根据可得，解得， 故选：B 10． 【详解】因为空间向量，，且， 则，解得，， 所以，故. 11． 【详解】由于，所以， 则. 12．(1) (2) 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 13．（1）  （2）. 【详解】（1），所以 （2）∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得. 学科网（北京）股份有限公司 $