期中培优：特殊平行四边形的动点问题、特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

期中培优：特殊平行四边形的动点问题、特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 期中培优：特殊平行四边形的动点问题、特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 特殊平行四边形的动点问题 特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题 考点一 特殊平行四边形的动点问题 例1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 【答案】D 【分析】对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可． 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形，都是矩形， ∴，， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的判定和性质、善于动中取静是解题的关键． 例2．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．    (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离． 【答案】(1)， (2)，理由见详解 (3)存在，的值为或4 (4)或 【分析】（1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，则，即可得，，即可求解； （2）先证四边形是平行四边形，可得四边形是矩形，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）四边形是平行四边形，，，， ，， ，，， ， ，， ； （2），理由如下： 如图1，    动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动， 当时，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ； （3）存在， 当为边时， 四边形是平行四边形， ， ， ； 当为对角线时， 四边形是平行四边形， ， ， ， 综上所述：的值为或4； （4）如图，当点的对称点在线段上时，    ， ， 是等边三角形， ， ， ， 过点作于，则，， ，，， ， ， 在中， ； 如图，当点的对称点在线段的延长线上时，   ， ， 点的对称点在线段的延长线上， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于，则，，   ，，， ， ， 在中， ； 综上所述：点，之间的距离为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作于点P，连接交于点，连接．设运动时间为t秒． (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值； (3)如图2，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻t，使四边形为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 【分析】（1）由，根据即可求出；先证明四边形为矩形，得出，则； （2）根据四边形为平行四边形时，可得，解方程即可； （3）由，，可得当时有四边形为菱形，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：如图1．   ， ． 在直角梯形中，，，于点， 四边形为矩形， ， ； 故答案为：，． （2）四边形为平行四边形时，， ， 解得：； （3）存在时刻，使四边形为菱形． 理由如下： ，， 当时有四边形为菱形， ， 解得． 【点睛】本题主要考查了四边形综合题，其中涉及到直角梯形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、方程思想是解题的关键． 例4．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，，cm，cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)AP= ，CQ= ，(分别用含有t的式子表示)； (2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值； (3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值． 【答案】(1)t，2t (2)2或或4 (3)t=2 【分析】（1）设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t cm， （2）设t秒后四边形ABQP是平行四边形；分情况讨论，根据平行四边形的性质列出方程解方程即可求解． （3）AP=t cm，CQ=2t cm，则PD=（6-t）cm，QB=（10-2t）cm，四边形ABQP和PDCQ是同高，因此根据梯形面积公式可得6-t+2t=t+10-2t，再解即可； 【详解】（1）解：∵点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动， ∴设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t cm， 故答案为：t cm；2t cm； （2）当四边形PDCQ是平行四边形时， PD=CQ 6-t=2t 解得t=2                                                                     当四边形PABQ是平行四边形时， AP=BQ     t=10-2t 解得t=                                                                 当四边形PDQB是平行四边形时， PD=BQ 6-t=10-2t 解得t=4                                                                     综上所述，综上所述，t的值为2或或4； （3）设运动时间为t秒，则AP=t cm，CQ=2t， ∵AD=6cm，BC=10cm， ∴PD=（6-t）cm，QB=（10-2t）cm， 当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时， 四边形ABQP和PDCQ的面积相等， 则6-t+2t=t+10-2t， 解得：t=2， 答：当四边形PDCQ的面积为四边形ABCD面积的一半时，则运动时间为2秒． 【点睛】本题考查了四边形动点问题，平行四边形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题，平行四边形的判定，利用分类讨论的思想解决问题是关键．由题意可得，分两种情况讨论：当点在上时；当点在延长线上时，表示出，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， 当点在上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 当时，四边形是平行四边形， ， 解得：， 综上可知，以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为或秒， 故选：C 变式2．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，AH为ABC的高，BC＝8．过点A作ADBC．且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． (1)直接写出AH的长，并用含t的代数式表示线段AP，CQ的长． (2)①当PE⊥BC时，求t的值． ②当t值取①问结果时，判断四边形APEQ的形状，并说明理由． (3)当t为何值时，以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出t的值． 【答案】(1)4，AP＝t，CQ＝2t (2)①t＝2；②矩形，见解析 (3)t＝10或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可直接写出AH，根据路程等于速度乘以时间即可写出AP和CQ； （2）①当PE⊥BC时，四边形APEH为矩形，根据矩形的性质即可求出t的值； ②根据AP和EQ的长度即可判断四边形APEQ的形状； （3）当AP=BE时，以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出对应的t即可． 【详解】（1）∵∠BAC＝90°，∠B＝45°， ∴∠C＝45°， ∴AH是BC边上的中线， ∴AH＝， 由题意得AP＝t，CQ＝2t； （2）①当PE⊥BC时，四边形APEH为矩形， ∴AP＝EH， ∵CE＝2t﹣2， EH＝4﹣（2t﹣2）＝6﹣2t， ∴t＝6﹣2t， 解得t＝2； ②四边形APEQ是矩形；理由如下： 当t＝2时，AP＝2， ∴AP＝EQ， 又∵AP∥EQ， ∴四边形APEQ是平行四边形， ∵AH⊥BC， ∴四边形APEQ是矩形； （3）当A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形时，有AP＝BE， ∴t＝|8﹣（2t﹣2）|， 解得t＝10或． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，关键是要掌握等腰直角三角形三线合一的性质，当判断平行四边形时，一般考虑一组对边的关系，当一组对边平行且相等时即可判定为平行四边形． 变式3．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts． (1)a＝______cm，b＝______cm； (2)t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？ (3)另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于． 【答案】(1)3，3； (2)2秒 (3)秒或秒或5秒 【分析】（1）由非负性可求a，b的值； （2）先求出四边形BCDE的周长＝18cm，可得BE＋BP＝9cm，可求BP＝4cm，即可求解； （3）分三种情况讨论，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）∵， ∴a−3＝0，2a＋b−9＝0， ∴a＝3，b＝3； 故答案为：3，3； （2）∵AE＝3cm，DE＝3cm， ∴AD＝6cm＝BC， ∵AE＝3cm，AB＝4cm， ∴中，cm， ∴四边形BCDE的周长＝BC＋CD＋DE＋EB＝18cm， ∵EP把四边形BCDE的周长平分， ∴BE＋BP＝9cm， ∴点P在BC上，BP＝4cm， ∴s； （3）解：①点P在BC上（0＜t≤3），如图1所示， ∵S△BPQ＝×2t×4＝6， ∴； ②相遇前，点P在CD上（3＜t≤），如图2所示， ∵S△BPQ＝×[4−(t−3)−(2t−6)]×6＝6， ∴； ③相遇后，点P在CD上（＜t≤5），如图3所示， ∵S△BPQ＝×[(t−3)＋(2t−6)−4]×6＝6， ∴t＝5； ∴综上所述，当秒或秒或5秒时，△BPQ的面积等于6cm2．          图1                         图2                     图3 【点睛】本题考查了矩形的性质，非负性，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 变式4．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段检测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，可得GE＝AE＝2t，FH＝GE＝2t，AF＝AE＝t，EF＝＝，AH＝AF＋FH＝3t，点H与点D重合时，AH＝AD，有3t＝8，即得t＝； （2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，S＝EF•FH＝•2t＝2， ②当H在边AD延长线上，即时，设HG交CD于M，求出S△DHM＝DH•HM，S＝EF•FH−S△DHM即可得到答案； （3）当O∥AD时，证明O是△AFG的中位线，得O是AG中点，从而可得G与C重合，此时，E与B重合，解可得到t＝4； 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°， ∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°， ∵GE∥AD， ∴∠GEB＝∠BAD＝60°， ∴∠EGA＝∠GEB−∠BAC＝30°， ∴∠EGA＝∠BAC＝30°， ∴GE＝AE＝2t， ∵四边形EFHG是矩形， ∴FH＝GE＝2t， 在Rt△AEF中，AF＝AE＝t，EF＝＝， ∴AH＝AF＋FH＝3t， 点H与点D重合时，AH＝AD， ∴3t＝8， ∴t＝； （2）①当H在边AD上，即0＜t≤时，如图： 矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积即是矩形EFHG的面积， ∴S＝EF•FH＝， ②当H在边AD延长线上，即＜t≤4时，设HG交CD于M，如图： 在Rt△DHM中，∠HDM＝∠DAB＝60°，DH＝AH−AD＝3t−8， ∴DM＝2DH＝6t−16，HM＝＝， ∴S△DHM＝DH•HM＝， ∴矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积 S＝EF•FH−S△DHM＝ ， 综上所述，矩形EFHG与菱形ABCD重叠部分图形的面积： ， （3）当AD时，如图： ∵四边形EFHG是矩形， ∴是FG的中点， ∵∥AD， ∴是△AFG的中位线， ∴O是AG中点， ∴OA＝OG， 又∵O是AC中点，OA＝OC， ∴G与C重合，此时，E与B重合， ∴t＝ 故答案为：4 【点睛】本题考查菱形性质及应用、矩形的性质应用，涉及勾股定理、中位线定理等的应用，解题的关键是方程的思想的应用，用t表达出相关线段的长度，再列方程解决问题． 考点二 特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题 例1．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）【回归教材】 如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） (1)请思考，题目中“提示：取的中点，连接”，这样添加辅助线的意图是得到条件__________（选择序号）． ①；②；③ 【类比探究】 (2)如图1，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变．求证：． (3)如图2，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变，连接，交于点，存在常数，，使等式成立，请直接写出和的值． 【答案】(1)① (2)证明：如图1， 在上取点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵交正方形外角的平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)， 【分析】（1）要证明，需要构建一个三角形与全等，根据题目条件只能得，故取的中点，连接，则：，，进而得，即可证明， 根据全等性质即可得，进而得取的中点，意图是得到条件，，即可得①正确． （2）在上取点，使，连接，根据正方形性质可证明为等腰直角三角形，即可得，进而得，根据，即可得，再根据交正方形外角的平分线于点，求出，即可得，进而可证明，根据全等三角形性质即可证明． （3）过点作，根据正方形性质，结合条件交正方形外角的平分线于点，可得，进而可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形性质得，，根据平行线性质得，，即可证明，根据全等三角形性质得，再根据勾股定理，结合正方形性质得，最后根据，等量代换后整理得，再根据，对比两式即可得和的值． 【详解】（1）解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∵交正方形外角的平分线于点， ∴， ∴， ∴要证明，需要构建一个三角形与全等， 取的中点，连接，则：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴取的中点，意图是得到条件：，，故①正确． （2）略 （3）解：如图2， 过点作， ∵四边形是正方形， ∴，，，， 在的延长线上取一个点，记作， ∵交正方形外角的平分线于点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，． 例2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形中，点是上的点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)如图，连接交于点．求证：是的中点； (3)如图，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点是的中点，，直接写出的长． 【答案】(1)证明：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴； (2)证明：连接， ∵四边形是正方形， ∴ ∵ ∴ ∴， 由（1）知 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴是的中点； (3) 【分析】（1）在上取点，使得，连接，证明即可； （2）连接，先证明，则，再导角证明，则，即可等量代换证明； （3）延长交于点，连接，先证明，再证明，则，设，对运用勾股定理求解，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长交于点，连接 ∵四边形是正方形 ∴， ∵点是的中点， ∴ 由折叠可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴垂直平分 ∴ ∴ ∴ ∴， 设， 则， 在中，∵ ∴ 解得 ∴ ∴． 例3．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）已知长方形中，，点为边上一动点，沿所在直线将进行折叠得到． (1)如图1，若点与点重合，交边于点，证明：； (2)如图2，连接并延长交边于点，当时，求的长； (3)连接，在点运动过程中，若面积为4时，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为长方形， ， 由折叠性质可知：， 当E与C重合时， 在和中 ； (2) (3)或 【分析】（1）由折叠性质可知，再利用证明； （2）过点F作分别交于点G、H，先判定出四边形为矩形，由折叠性质求出，再根据含的直角三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出，利用证明，根据求出结果即可； （3）分两种情况F点在下方与F点在上方时，分别作图，利用三角形面积，勾股定理，矩形的判定求出最后结果即可． 【详解】（1）略 （2）如图，过点F作分别交于点G、H， 且， 又四边形是长方形， ， ， 四边形为矩形， ， ， 由折叠性质得：， ，则， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （3）当F点在下方时，如图：过点F作分别交于点K，J，连接 ， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ； ②当F点在上方时，如图：过点F作分别交于点M，N，连接， ， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ； 或 变式1．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，．点P是矩形边上的一点，点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点M，当点M与点O重合时，点P停止运动．连接，设运动时间为t秒（）． (1)当点P运动到点A时，在图1中补全图形，并直接写出线段的长； (2)如图2，当点P在边上运动时，若，求t的值： (3)将沿直线翻折，当点D的对应点N落在矩形的边上时，直接写出t的值． 【答案】(1)补全图形，如图所示： (2)7 (3)或或8 【分析】（1）根据题意画图，根据矩形的性质得出，，，证明四边形为矩形，得出，最后根据勾股定理求出结果即可； （2）先说明当点P在上时，；过点P作于点Q，证明四边形为矩形，得出，，证明，得出，根据，列出方程，解方程即可； （3）分三种情况：当点P在上，点M在上时，当点P在上，点M在上时，当点P在上，点M在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴当点P运动到点A时，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴当点M与点O重合时，点P在点D的正上方， ∵当点M与点O重合时，点P停止运动， ∴当点P在点D的正上方时，停止运动， ∴， ∴当点P在上时，； 根据题意可得：当点P在上时，，， 过点P作于点Q，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴t的值为7； （3）解：当点P在上，点M在上时，如图所示： ∵， ∴此时点M在点D的正上方，，， 根据折叠可得：，， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：； 当点P在上，点M在上时，如图所示： ∵， ∴此时点与B点重合， 根据折叠可得：，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：； 当点P在上，点M在上时，如图所示： ∵， ∴此时点M与点O重合，点N与点C重合， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴点N与点D关于对称，符合题意， ∵此时， ∴， ∴； 综上，t的值为或或8． 变式2．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题初探】 (1)如图1，已知正方形，点E在的延长线上，以为一边向右侧构造正方形，连接和．求证：； 【深入探究】 (2)如图2，在正方形中，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接． ①请判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为4，，连接，求线段的长度． 爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，交的延长线于点H，请你按照她的思路写出求解过程． 【拓展提升】 (3)如图3，王叔叔家有一个正方形菜地（正方形外的区域也可利用），他计划对其进行改造，E为边上一动点，连接，以为一边在的右侧作正方形，连接，他计划沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴； (2)解：①，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)米 【分析】（1）证明，即可证明； （2）①证明，即可证明；②证明，得到，则，再利用勾股定理求解即可； （3）过点G作，交的延长线于点H，由（2）可得，，米，则可证明点G在直线上运动；作点D关于直线的对称点Q，连接交直线于点T，连接，证明四边形是矩形，得到米，米；可证明当B、G、Q三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3所示，过点G作，交的延长线于点H， 由（2）可得，， ∴，米， ∴点H为定点， 又∵， ∴点G在直线上运动； 如图3所示，作点D关于直线的对称点Q，连接交直线于点T，连接， ∴，，， 由正方形的性质可得， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴米； ∵， ∴当B、G、Q三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，米，米， ∴米， 答：灌溉水渠总长度的最小值为米． 变式3．（26-27九年级上·河南平顶山·阶段检测）【问题情境】 已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接，恰好垂直于． (1)【基础探究】 如图1，求证：矩形是正方形； (2)【拓展迁移】 如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 【答案】(1)证明：四边形为正方形， ，，． ∵四边形为矩形， ． ． ， 即， ， ． ． ． ∴矩形为正方形． (2) 【分析】（1）由四边形为正方形，得，，．由四边形为矩形，得．进而得，进而推导出，得到，则四边形是正方形，即可解答； （2）作于点，由，得到，，进而推导出是等腰直角三角形，设，得到，，根据勾股定理，求出，得到，求出，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：如图，过点作于点． ， 是等腰直角三角形． ． 设， 由（1）可得，． ． ，． ． 解得． ． ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：特殊平行四边形的动点问题、特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 期中培优：特殊平行四边形的动点问题、特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题专项训练 考点目录 特殊平行四边形的动点问题 特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题 考点一 特殊平行四边形的动点问题 例1．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时，或 D．当时，或 例2．（25-26九年级上·河北沧州·阶段检测）如图，在中，，，连接，恰有，过点作于点．动点从点出发沿以的速度向终点运动，同时点从点出发，以的速度沿射线运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点运动的时间为．    (1)分别求和的长度； (2)连接，当时，判断与是否垂直，并说明理由； (3)试判断是否存在t的值，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)若点关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出点，之间的距离． 例3．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图1，四边形中，，，，，点M从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作于点P，连接交于点，连接．设运动时间为t秒． (1)______，______．（用含t的代数式表示） (2)当四边形为平行四边形时，求t的值； (3)如图2，将沿AD翻折，得，是否存在某时刻t，使四边形为为菱形，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 例4．（25-26九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，在四边形ABCD中，，cm，cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒． (1)AP= ，CQ= ，(分别用含有t的式子表示)； (2)当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，求t的值； (3)当四边形PQCD的面积为四边形ABCD面积的一半时，直接写出t的值． 变式1．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在四边形中，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，动点Q同时从点A出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点D运动，当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时t值为（    ）秒． A．2或 B．或 C．或 D．2或 变式2．（25-26九年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，在ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝45°，AH为ABC的高，BC＝8．过点A作ADBC．且点D在点A的右侧．点P从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点Q从点C出发沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E，使得QE＝2，连接PE，设点P的运动时间为t秒． (1)直接写出AH的长，并用含t的代数式表示线段AP，CQ的长． (2)①当PE⊥BC时，求t的值． ②当t值取①问结果时，判断四边形APEQ的形状，并说明理由． (3)当t为何值时，以A、B、E、P为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出t的值． 变式3．（25-26九年级上·湖北黄石·阶段检测）如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts． (1)a＝______cm，b＝______cm； (2)t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？ (3)另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于． 变式4．（25-26九年级上·上海奉贤·阶段检测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=8，∠BAD=60°，点E从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点E与点A不重合时，过点E作EF⊥AD于点F，作GE∥AD交AC与点G，过点G作射线AD垂线段GH，垂足为点H，得到矩形EFGH，设点E的运动时间为t秒． (1)求点H与点D重合时t的值． (2)设矩形EFGH与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式； (3)设矩形EFGH的对角线EH与FG相交于点Q’，当OO'∥AD时，t的值为_______． 考点二 特殊平行四边形的性质与全等三角形综合问题 例1．（26-27九年级上·福建漳州·阶段检测）【回归教材】 如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） (1)请思考，题目中“提示：取的中点，连接”，这样添加辅助线的意图是得到条件__________（选择序号）． ①；②；③ 【类比探究】 (2)如图1，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变．求证：． (3)如图2，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变，连接，交于点，存在常数，，使等式成立，请直接写出和的值． 例2．（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，正方形中，点是上的点，，且交正方形外角的平分线于点． (1)求证：； (2)如图，连接交于点．求证：是的中点； (3)如图，将沿翻折得到，连接并延长交于点，若点是的中点，，直接写出的长． 例3．（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）已知长方形中，，点为边上一动点，沿所在直线将进行折叠得到． (1)如图1，若点与点重合，交边于点，证明：； (2)如图2，连接并延长交边于点，当时，求的长； (3)连接，在点运动过程中，若面积为4时，求的长． 变式1．（26-27九年级上·贵州遵义·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，，．点P是矩形边上的一点，点P从点D出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，作，交边或边于点M，当点M与点O重合时，点P停止运动．连接，设运动时间为t秒（）． (1)当点P运动到点A时，在图1中补全图形，并直接写出线段的长； (2)如图2，当点P在边上运动时，若，求t的值： (3)将沿直线翻折，当点D的对应点N落在矩形的边上时，直接写出t的值． 变式2．（26-27九年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题初探】 (1)如图1，已知正方形，点E在的延长线上，以为一边向右侧构造正方形，连接和．求证：； 【深入探究】 (2)如图2，在正方形中，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，连接． ①请判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由； ②若正方形的边长为4，，连接，求线段的长度． 爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，交的延长线于点H，请你按照她的思路写出求解过程． 【拓展提升】 (3)如图3，王叔叔家有一个正方形菜地（正方形外的区域也可利用），他计划对其进行改造，E为边上一动点，连接，以为一边在的右侧作正方形，连接，他计划沿修建灌溉水渠，经测量，米，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 变式3．（26-27九年级上·河南平顶山·阶段检测）【问题情境】 已知四边形为正方形，E为对角线上一动点（不与点A，C重合），连接，过点E作，交于点F，以，为邻边作矩形，连接，恰好垂直于． (1)【基础探究】 如图1，求证：矩形是正方形； (2)【拓展迁移】 如图2，已知正方形的边长为，当时，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $