精品解析：云南昆明市西山区福海中学2025-2026学年度初中九年级上学期数学期中考试卷

2025-2026学年度初中九年级上数学期中考试卷 （本卷满分100分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程x2－3x－k＝0的一个根为－2，那么它的另一个根为（ ） A. 5 B. 1 C. 10 D. －2 3. 若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A. 2 B. C. D. 1 4. 下列一元二次方程中，根是的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 7. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 10. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 11. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 12. 我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 14. 将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　） A. y=（x+3）2﹣2 B. y=（x+3）2+2 C. y=（x﹣1）2+2 D. y=（x﹣1）2﹣2 15. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 17. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为______． 18. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 19. 规定：在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为．若，则x的值为_________. 三、解答题（共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 22. 已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标． 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； 25. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 26. 已知抛物线经过点，且与轴交于两点．设是抛物线与轴交点的横坐标；是抛物线上的点，常数为三角形的面积．已知使成立的点恰好有三个，设为这三个点的纵坐标的和． （1）求c的值； （2）直接写出T的值； （3）求的值． 27. 大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： （1）探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） （2）探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． （3）探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ （4）拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中九年级上数学期中考试卷 （本卷满分100分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 2. 已知方程x2－3x－k＝0的一个根为－2，那么它的另一个根为（ ） A. 5 B. 1 C. 10 D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据根与系数的关系可以得到两根之和，然后利用两根之和，可以求出另一个根． 【详解】解：设，是方程的两根， 由题意知， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：当，是一元二次方程的两根时，，． 3. 若函数是反比例函数，则m的值是（　　） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义即可求出的值． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，且， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查反比例函数的定义：形如（k为常数，）的函数就叫做反比例函数，掌握反比例函数的定义是解题关键． 4. 下列一元二次方程中，根是的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 根据一元二次方程的求根公式计算判断即可．一元二次方程，当时，． 【详解】因为一元二次方程的根是，所以A符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以B不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以C不符合题意； 因为一元二次方程的根是，所以D不符合题意． 故选：A． 5. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数解可知，解不等式即可． 【详解】解：一元二次方程有实数解， ， 解得， 故选B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是记住时，一元二次方程有实数解． 6. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是18V C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】将将代入求出U的值，即可判断A，B，D，利用反比例函数的增减性可判断C． 【详解】解：设，将代入可得，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当时，，该项正确； 当当时，，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 7. 已知点A（1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】D 【解析】 【分析】分别把各点代入反比例函数 求出y1、y2、y3的值，再比较出其大小即可．也可以画出函数的大致图像，根据函数的增减性来判断． 【详解】解：∵点A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）都在反比例函数的图象上， ∴， ∵-2<3<6， ∴y3< y2< y1． 故选D． 8. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数和反比例函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：， 、异号， 当，时，直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限； 当，时，直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限． ∴选项A、B、D中图象不符合题意，选项C中图象符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握两个函数的图象位置与系数及常数项之间的关系是解答的关键． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 10. 用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．通过配方法将给定的一元二次方程转化为的形式，从而确定和的值，进而计算． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， ∴． 故选：B． 11. 如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到，若，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ， ， . 12. 我市某家快递公司，今年8月份与10月份完成投递的快递总件数分别为2万件和2.88万件．若设该快递公司由8月份到10月份投递总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出等量关系：10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，即可解出此题． 【详解】解：根据10月份投递总件数=8月份投递总件数月平均增长率月平均增长率，可得方程： 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 13. 方程的解是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：B． 14. 将二次函数y=x2+2x﹣1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（　　） A. y=（x+3）2﹣2 B. y=（x+3）2+2 C. y=（x﹣1）2+2 D. y=（x﹣1）2﹣2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，可以先化为顶点式，然后再根据左加右减的方法进行解答即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2， ∴二次函数y=x2+2x-1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与几何变换，解答本题的关键是明确二次函数平移的特点，左加右减、上加下减，注意一定将函数解析式化为顶点式之后再平移． 15. 如图，某小区计划在一个长80米，宽36米的长方形场地上，修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积都为260平方米，求道路的宽度．设道路宽度为x米，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设道路宽度为x米，根据草坪的总面积为260平方米列方程即可． 【详解】设道路宽度为x米， 根据题意得，． 故选：A． 二、填空题（共8分） 16. 在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点中心对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于原点中心对称的点的坐标为， ∴点关于原点中心对称的点的坐标是． 17. 已知反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知反比例函数的一般形式，将已知点的坐标代入解析式，即可求出系数，得到最终解析式. 【详解】解： 反比例函数的图象经过点， 将，代入，得，解得， 该反比例函数的解析式为. 18. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系可得，， ∴ ． 19. 规定：在实数范围内定义一种运算“☆”，其规则为．若，则x的值为_________. 【答案】−1或5##5或 【解析】 【分析】根据新定义运算法则以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴x=−1或x=5， 故答案为：−1或5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是理解新定义，熟练运用一元二次方程的解法． 三、解答题（共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）先对方程左边进行因式分解，然后问题可求解； （2）先移项，然后根据因式分解法可求解方程． 【小问1详解】 解：原方程可化为： ∴或 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程可化为： ∴或 ∴，． 21. 如图，D是等边内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵是等边三角形， ， ∵线段绕点顺时针旋转，得到线段， ， ， ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据等边三角形的性质，可得，再由旋转的性质，可得，从而得到，即可证明； 【详解】略 22. 已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标． 【答案】抛物线顶点坐标为（0，-2） 【解析】 【分析】利用待定系数法即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出抛物线的顶点坐标． 【详解】把点A（1，0）、B（-1，0）、C（0，-2）的坐标, 分别代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为． ∴抛物线顶点坐标为（0，-2）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求解析式和化为顶点式是解二次函数题目的关键. 23. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 24. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据函数图象，直接写出不等式的解集； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出反比例函数关系式，再将点代入关系式求出该点，然后将两个点的坐标代入一次函数关系式，求出解即可； （2）先确定一次函数和反比例函数的交点坐标，再根据双曲线在直线上方时自变量的取值范围即为不等式的解集． 【小问1详解】 解：∵反比例函数经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数关系式为． ∵反比例函数经过点， ∴，则该点坐标为． ∵一次函数经过点， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：不等式， ∴． 观察图象，可知当时或时，， 当或时，， 所以不等式的解集是或． 25. 某校组织九年级学生参加冬季研学活动，数学兴趣小组的同学们发现某竞赛活动场地为一个长方形，该长方形场地一边靠墙，墙长为35米，长方形场地面积是360平方米． （1）据场地管理人员介绍，该场地2022年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率； （2）如图，为竞赛场地的示意图．为了美化场地，要对竞赛场地的四周用装饰板材进行装饰，装饰板材共用去65米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，场地面积不变，求场地的宽为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）属于典型的增长率问题，需利用公式“增长后的量=增长前的量×（增长率）”建立方程．设出增长率，根据两年后的面积列方程，并根据实际意义（增长率为正数）对解进行取舍． （2）属于几何图形面积问题，需根据图形特征（一边靠墙、中间有隔断）和板材长度（含门的宽度）表示出长方形的长和宽，然后根据长方形面积列方程，最后根据墙长限制条件对解进行检验． 【小问1详解】 解：设这个增长率为x，由题意得： 解得：，（舍去） 答：这个增长率为． 【小问2详解】 解：设场地的宽为y米，则的长为米， 由题意得： 整理得： 因式分解，得 解得：，． 当时，长为米， 因为，超过了墙长，不符合题意，舍去． 当时，长为米， 因为，符合墙长限制，符合题意． 答：场地的宽为15米． 26. 已知抛物线经过点，且与轴交于两点．设是抛物线与轴交点的横坐标；是抛物线上的点，常数为三角形的面积．已知使成立的点恰好有三个，设为这三个点的纵坐标的和． （1）求c的值； （2）直接写出T的值； （3）求的值． 【答案】（1） 3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线直接求解； （2）找到三个点的纵坐标之间的关系，即可求解； （3）将函数转化为方程，即可表示出，进而计算，，，代入原式即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 得，； 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线的解析式为， 令， 解得，， ， ， 当时恰好有三个点满足， 必有一个为抛物线的顶点，且与另外两个纵坐标互为相反数， 当时，，即此时， 则另外两个点的纵坐标为， ； 【小问3详解】 解：由题可知，，解得， 则， ， ， ， 则 ，其中， 当时，式子成立，值为． 27. 大蒜是我国重要经济蔬菜，依托冷库储存错峰销售是农户、经销商增收致富的重要方式．某农产品经销商张经理在大蒜上市初期，以6元/千克的市场价收购2000千克大蒜存入冷库．经市场调研得到如下规律： ①大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ②冷库存放期间，每日固定支出管理费、水电费等合计170元； ③大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖； ④这批大蒜在冷库中最多储存90天． 设这批大蒜存放x天后一次性全部出售（x为非负整数，），完成下列探究问题： （1）探究一：建立销售金额函数模型. 存放x天后，大蒜的销售单价为 元，可出售大蒜的质量为 千克；销售总金额y（元）与存放天数x之间的函数关系式为 ；（用含x的代数式表示） （2）探究二：定量探究目标利润存放天数. 若张经理想要获得5100元的销售利润，请求出大蒜的存放天数．（利润=销售总金额收购总成本冷库储存总费用）． （3）探究三：最值探究最优销售方案. 写出利润W（元）关于存放天数x的函数关系式，并探究：存放多少天出售可获得最大利润？最大利润为多少元？ （4）拓展探究: 若冷库升级设备，每日储存费用降低a元（），其余条件不变，最终最大利润可提升至10800元，求a的值． 【答案】（1）；；； （2）30天 （3），存放90天，最大利润9900元； （4） 【解析】 【分析】（1）根据题干信息可得大蒜销售单价与可出售大蒜质量，结合销售额等于数量乘以单价可得函数解析式； （2）根据利润为元，可得，再进一步求解即可； （3）根据利润，再利用二次函数的性质求解即可； （4）建立关系式，进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵大蒜市场价格持续上涨，每日每千克涨价元； ∴销售单价为元， ∵大蒜会自然损耗，平均每天有5千克大蒜损坏，无法售卖， ∴可出售大蒜质量为千克， ∴． 【小问2详解】 解：收购总成本元，储存总费用元， 利润． 令， 即， 解得或． 因，舍去， 故存放30天出售可获得5100元利润． 【小问3详解】 解：． 因为抛物线开口向下，对称轴为直线， 而位于对称轴左侧，W随x的增大而增大， 所以当时W最大，最大值为（元）． 即存放90天出售，可获得最大利润9900元． 【小问4详解】 解：∵ ∴． 因为，顶点横坐标， 最大值仍在处取得： 最大利润为：． ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $