精品解析：四川成都市成华区成都七中英才学校2026-2027学年 九年级上学期10月学情自测数学试题

九年级（上）数学10月阶段性学业反馈 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 内角和为 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 3. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 6 D. 10 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 6. 若是二次函数，则a的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 方程的解是______________． 10. 二次函数的顶点坐标是______． 11. 菱形的两条对角线长分别为8和6，则菱形的面积为__________． 12. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 13. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）； （3）； （4）． 15. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 17. 如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 18. 我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． （1）如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； （2）如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； （3）平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值为________． 20. 如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和16，则的面积是_____． 21. 若a是方程的一个根，则的值为__ 22. 若，则______． 23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，点D在AB上，点E在AC的延长线上，ED⊥AB，ED交BC于点F，AB＝DF，3DF＝5EF，CF＝1，则AC＝_____． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 25. 在平面直角坐标系中，已知点M不与原点重合．对于点P给出如下定义：点P关于点M的对称点为．点关于直线的对称点为Q，称点Q是点P关于点M的“双称点”． （1）已知点，、点Q是点P关于点M的“双称点”． ①当时，则点Q的坐标为______； ②试判断的长度是否为定值，若是，请求出的长；若不是，请用m的代数式表示； （2）若点，，其中，点Q是点P关于点M的“双称点”，则当P，Q，M三点构成的三角形为等边三角形时，求出n的值； （3）已知点，是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“双称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 26. 如图1，已知和都是等腰直角三角形，，，．将绕点旋转，使得点落在内部，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，延长交线段于点，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）数学10月阶段性学业反馈 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 内角和为 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项分析求解，即可解题． 【详解】解：矩形的对角线相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为 菱形的四条边都相等，两组对边分别平行，对角线互相平分，内角和为 则矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等； 故选：A． 3. 若，且与的相似比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：，相似比为， ． 4. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，．若，则的长是（ ） A. 2.5 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质知，再由求出，得是等边三角形，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 5. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 6. 若是二次函数，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵是二次函数， ∴且． ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴． 7. 如图，已知点是线段的黄金分割点，，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，，且， ∴． 8. 已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；越大，图象的开口越小． 【详解】解：函数的图象开口向上，函数和的图象开口向下，且函数的开口更大， ，，，， ． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 方程的解是______________． 【答案】， 【解析】 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 10. 二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 11. 菱形的两条对角线长分别为8和6，则菱形的面积为__________． 【答案】24 【解析】 【分析】已知菱形两条对角线的长度，利用菱形面积等于对角线乘积的一半直接计算即可． 【详解】解：∵菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，已知两条对角线长分别为和， ∴该菱形的面积为． 12. 如图，在矩形中，点在边上，连接，过点作，垂足为点F．若，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用矩形性质得到平行线与直角，推出一组等角，结合垂直得到另一组直角相等，证出与相似；再在直角三角形中用勾股定理算出斜边，最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知边长求出的长度． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴． 13. 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 解方程： （1）（用配方法解）； （2）（用公式法解）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2）先化为一般式，再利用公式法解方程即可； （3）直接开平方解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：配方，得 即 开平方，得 ∴，； 【小问2详解】 解：原方程化为 这里，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴ ∴，； 【小问3详解】 解：开平方，得 ∴，； 【小问4详解】 解：移项，得 ∴ ∴或 ∴，． 15. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1） （2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【小问1详解】 解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 16. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ∴根的判别式， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴ 方程总有两个不相等的实数根． （2） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，证明其恒大于0即可得证； （2）利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，代入已知等式求解的值． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵、是方程的两根， ∴由根与系数的关系得：，， 将上述两式代入得：， 整理得：， 解得． 17. 如图，在四边形中，，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得 ，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴ ， ∵， ∴， 由（1）得：是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴在中， ， ∵是的中点， ∴． 18. 我们知道，平角的度数和三角形的内角和都是，借助这一特征，我们可以证明两角的等量关系． 如图，，是边上一点，，则，，故． （1）如图，是上一点，，则图中另一组等角是______； （2）如图，正方形中，在延长线上，是上一点，于点，且，连接，求证：平分； （3）平行四边形中，，，． ①如图，点，分别在边和上，．若，求的长度； ②如图，点，分别在边和延长线上，．若，请直接写出的长度为______． 【答案】（1） （2） 证明：如图， 作于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ， ， ， 平分； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由，，得出； （2）作于，可证得，从而，，进而推出，进一步得出结论； （3）①在上截取，根据（2）得，从而，从而得出，，进而得出，从而； ②延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接，可证得，从而，设，根据得出，从而得出，，根据得出方程，求得，进而得出结果． 【小问1详解】 解：，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 在上截取， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 由（1）知：， ， ， ，， ， ， ； 如图， 延长至，使，作，交的延长线于，在上截取，连接， 可得，， ， ， ， 设， 由知，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则常数的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意推出，即可求解． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得： ∴． 20. 如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是1，4和16，则的面积是_____． 【答案】49 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 设三个小三角形的顶点分别为、、、、、，先由可判定；再根据的面积，可得这三个三角形的相似比；然后判定四边形与四边形均为平行四边形，利用平行四边形的性质得；设，用表示出的长，进而得与的相似比，最后根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：， ， ， ∵（图中阴影部分）的面积分别是 1，4 和 16 ， ∴它们的边长比为， ∵， ∴四边形与四边形均为平行四边形， ， 设， 则， ， ， ， 故答案为：49． 21. 若a是方程的一个根，则的值为__ 【答案】2019 【解析】 【分析】首先根据a是方程的一个根，可得，再把代数式进行恒等变式，化为含有的式子，据此即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ =2019 故答案为：2019． 【点睛】本题考查了代数式求值及恒等变式问题，熟练掌握和运用代数式求值及恒等变式的方法是解决本题的关键． 22. 若，则______． 【答案】6或 【解析】 【分析】根据分母和是否为0分类讨论，根据等比性质推导第一种情况：若，且，则；然后讨论分母和为0时的情况，两种情况综合得出结论． 【详解】解：由等比性质可得：，此时； 当时，可得， 则； 综上所述，m的值为6或． 23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，点D在AB上，点E在AC的延长线上，ED⊥AB，ED交BC于点F，AB＝DF，3DF＝5EF，CF＝1，则AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】作GB⊥AB，GF⊥DE，GB与GF交于点G，连接GC、GE．四边形BDFG是矩形,去确定A、B、G、C四点共圆。得到FG＝FE，又作HF⊥CF交CG于H，证明∴△GFH≌△EFC 再根据三角函数定义去设未知数求值即可. 【详解】如图，作GB⊥AB，GF⊥DE，GB与GF交于点G，连接GC、GE． ∵ED⊥AB于D，则四边形BDFG是矩形， ∴BG＝DF，GF＝BD， ∵AB＝DF， ∴AB＝BG， ∴∠AGB＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACB＝∠AGB， ∴A、B、G、C四点共圆， ∴∠ACG＝∠ABG＝90°，∠GCB＝∠ACB＝45°， ∴∠GFE＝∠GCE＝90°， ∴G、F、C、E四点共圆， ∴∠FGC＝∠FEC，∠FEG＝∠FCG＝45°， ∴FG＝FE， 作HF⊥CF交CG于H，则∠CFH＝∠GFE＝90°，FC＝FH， ∴∠GFH＝∠EFC， 在△GFH和△EFC中： ∴△GFH≌△EFC（AAS）， ∴GH＝CE． ∵3DF＝5EF， ∴3DF＝5FG＝5BD， ∴∠tan∠DFB＝＝， ∴tan∠CGE＝＝tan∠CFE＝∠tan∠DFB＝， 设CE＝GH＝3x，则CG＝5x，所以CH＝2x， ∵CF＝1， ∴CH＝， ∴2x＝， ∴x＝， ∴CG＝5x＝， ∵tan∠CAG＝＝tan∠FBG＝∠tan∠DFB＝， ∴CA＝CG＝． 【点睛】本题比较难，需要学习者基础比较扎实，考查的知识点比较多，关键在于作适当的辅助线，利用四点共圆，三角形全等等知识串联起来. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件． （1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率． （2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？ 【答案】（1） （2）降价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用； （1）设平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． （2）设降价y元，根据商场六月份可获利4250元，列出一元二次方程，解方程并取符合题意的解，即可求解． 【小问1详解】 解：设平均增长率为x，由题意得：， 解得：或舍； 四、五这两个月的月平均增长百分率为； 【小问2详解】 设降价y元，由题意得：， 整理得：， 解得：或舍； 当商品降价5元时，商场六月份可获利4250元． 25. 在平面直角坐标系中，已知点M不与原点重合．对于点P给出如下定义：点P关于点M的对称点为．点关于直线的对称点为Q，称点Q是点P关于点M的“双称点”． （1）已知点，、点Q是点P关于点M的“双称点”． ①当时，则点Q的坐标为______； ②试判断的长度是否为定值，若是，请求出的长；若不是，请用m的代数式表示； （2）若点，，其中，点Q是点P关于点M的“双称点”，则当P，Q，M三点构成的三角形为等边三角形时，求出n的值； （3）已知点，是边长为2的等边三角形（点A，B，C按逆时针方向排列），点N是点B关于点C的“双称点”，在绕点A旋转的过程中，当最大时，直接写出此时的长． 【答案】（1）①；②的长度是定值，的长为2 （2） （3）当最大时，的长为或 【解析】 【分析】（1）①根据“双称点”的定义画出点的位置．再根据中点坐标公式和轴对称的性质即可写出点的坐标； ②由题意可得，轴，根据两点的距离求解即可； （2）连接，，，，利用中心对称的性质得到，利用轴对称的性质得到，则根据直角三角形的判定定理得到，利用菱形的判定定理得到，再解直角三角形即可得出结论； （3）画出图形，可得在绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，点，，如图： 点是点关于点的“双称点”， ，，， ， ， ． 故答案为：； ②的长度为定值，的长为2．理由： 点，，点关于点的对称点为， ， 点关于直线的对称点为， ， ， 轴， ． 的长度为定值，的长为2； 【小问2详解】 解：连接，，，，如图， 点关于点的对称点为， ， ，， ， ． ，， ． 点关于直线的对称点为， ，，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ， 当，，三点构成的三角形为等边三角形时， ，． ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， ． ， ， ； 【小问3详解】 解：∵是边长为2的等边三角形, ∴， 连接，，交于点，如图： 由“双称点”的定义得为的中点，为的中点，， ，，， 当最大时，最大， ∵ ∴在绕点旋转的过程中，当、，、共线时，最大， 当点在左侧时，如图：过点作于点，连接， 是边长为2的等边三角形 ，， ∴ 点， ， ， ． 当点在右侧时，如图：过点作于点， 是边长为2的等边三角形 ，， ∴ 点， ， ， ． 综上，当最大时，的长为或． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，点的坐标的特征，几何变换的特征与性质，中心对称和轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 26. 如图1，已知和都是等腰直角三角形，，，．将绕点旋转，使得点落在内部，连接，． （1）求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，延长交线段于点，若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． （2）的长为； （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形，可得，由勾股定理，结合已知可得，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合三角形相似的性质，可得，，三点共线，根据勾股定理可得，即可得的长； （3）作，交延长线于点，连接，延长，交于点，连接，可得，，，，可得，，可证明，可得，根据勾股定理可得，，可得，从而可得，即可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 又∵， ∴． 由（1）得， ∴， ∴． ∴，，三点共线． 在中，， ∵，， ∴．    ∴． ∴的长为． 【小问3详解】 解：作，交延长线于点，连接，延长，交于点，连接， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，三角形的内角和定理，平行线分线段对应成比例，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $