2027年高考数学一轮复习检测卷03（举一反三）（全国一卷通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

2027年高考数学一轮复习检测卷 高三数学（全国一卷）03 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·福建漳州·模拟预测）样本数据的下四分位数为（   ） A．3 B．3.5 C．10 D．11 【答案】B 【解题思路】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解. 【解答过程】因为，所以样本数据的下四分位数为， 故选：B. 2．（5分）（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据集合交集的概念及运算法则计算即可. 【解答过程】由题意知. 又， 所以. 故选：B. 3．（5分）（2026·云南·模拟预测）已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【解题思路】先利用向量夹角的坐标运算求得，然后利用同角三角函数求得向量与的夹角的正切值. 【解答过程】设向量与的夹角为， 因为，，所以， 所以，故. 故选：C. 4．（5分）（2026·湖南长沙·二模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求导函数，得到斜率为 ，再利用点斜式写出切线方程化简即可. 【解答过程】求导函数得到，则切线斜率为 ， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 故选：D. 5．（5分）（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线与直线平行，求得与之间的等量关系，再根据点在曲线上得到与之间的另一个等量关系，解方程组. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为， 因为其中一条与直线平行，且直线的斜率为， 所以2，即， 因为双曲线过点，所以，即， ，， 所以双曲线的实轴长． 故选：C. 6．（5分）（2026·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知可得的对称中心和对称轴，进而得到周期性，再根据单调性可得一个周期内的最小值. 【解答过程】由是奇函数，可得. 由，可得的图象关于对称， 即，则有， 所以，即的周期为. 因为在单调递增，且是奇函数图像关于原点对称， 则在单调递增，即在单调递增. 又因为的图象关于对称，则在单调递减. 所以在一个周期内， 即在上的最小值是. 故选：C. 7．（5分）（2026·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】B 【解题思路】令所给等差数列为，由给定的两个和建立方程，结合等差数列性质求解. 【解答过程】令所给等差数列为，其前项和为， 则，即，因此， 解得， 则数列的公差，所以谷雨日影长. 故选：B. 8．（5分）（2026·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设答对题的个数为，由条件可得，结合二项分布期望公式和方差公式求，，根据关系，结合期望性质和方差性质求，，由此可得的解析式，再根据二次函数性质求结论. 【解答过程】设答对题的个数为，由已知可得， 所以，， 因为每道题答对得分，答错倒扣分，为小王答完道题的总得分， 所以， 所以， ， 所以，又， 所以当时，取最大值，最大值为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·甘肃·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A．的实部是 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称 【答案】BCD 【解题思路】由复数的除法运算得到，再结合选项逐项判断即可. 【解答过程】由， 得， 则， 所以的实部为1，A错误； 而，B正确； 因为，其在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限，C正确； 在复平面内对应的点的坐标为，则与在复平面内它们所对应的点关于轴对称，D正确. 故选：BCD. 10．（6分）（2026·陕西西安·二模）如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，，则（    ）    A． B． 平面 C．若，则该四棱台的体积为 D．平面 【答案】ABD 【解题思路】根据面面平行的性质定理证明线线平行，判断A的真假；根据线面平行的判定定理证明线面平行，判断B的真假；根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，判断D的真假；利用台体的体积公式求台体体积，判断C的真假. 【解答过程】连结，交于点，连结， 由四棱台，得平面 平面， 又平面平面，平面面， 所以 ，A正确；    因为，所以， 因为为的中点，所以， 所以四边形为平行四边形， 故 ，又平面平面，所以 平面，B正确； 取的中点，连结， 由四棱台得， ， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以， 因为，又，所以，因为 ，所以， 又平面，所以平面，D正确； 因为，所以， 易得菱形的面积， 由四棱台且， 可得， 四棱台的体积： ，C错误. 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（   ） A．的坐标为 B．的最小值为2 C．若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D．的最小值为3 【答案】ACD 【解题思路】利用抛物线的性质求解焦点判断A，举反例判断B，联立方程组，令判别式为0求解切线斜率，进而得到切线方程判断C，利用抛物线的定义求解最小值判断D即可. 【解答过程】对于A，由抛物线性质得的坐标为，故A正确， 对于B，当的斜率不存在时，可得的方程为， 联立方程组，解得，， 得到，，则， 得到的最小值不可能为2，故B错误， 对于C，若，设切线方程为不为， 联立方程组，可得， 此时，解得， 则，即，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，作垂直于准线， 由抛物线定义可得， 当且仅当三点共线时取等，此时，可得， 则的最小值为3，故D正确. 故选：ACD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·上海黄浦·一模）若直线与平行，则____________． 【答案】 【解题思路】根据直线平行列方程求解的值，检验平行即可. 【解答过程】若直线与平行， 则，解得，经检验能使得直线. 故答案为：. 13．（5分）（2026·全国·模拟预测）已知函数，若存在唯一的使得，则ω的最小值为____________． 【答案】/ 【解题思路】根据正弦函数的性质得，根据存在唯一的使得，得，求得，即可求出ω最小值. 【解答过程】对于函数，因为，所以， 所以，所以， 又存在唯一的使得， 则存在唯一的整数，使得， 所以，所以， 又，所以，故时，，所以ω的最小值为. 故答案为：. 14．（5分）（2026·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是____________. 【答案】 【解题思路】根据球的半径、球心到截面的距离及截面圆半径之间的关系求解即可. 【解答过程】因为， 所以是直角三角形，且直角顶点为，斜边为， 所以外接圆的半径为. 又球心到截面的距离， 根据球的截面性质得，，整理得. 所以球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． (1)证明：平面； (2)已知是棱上一点，且，求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由勾股定理逆定理可得，再根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）记，以为原点建立空间直角坐标系，设，由得到的坐标，分别表示出平面与平面的法向量，利用面面角的向量夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为，所以，． 因为四边形是菱形，所以． 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以． 因为，，，，平面， 所以平面． （2）记，过点作，所以平面， 因为，平面， 所以，，即，，两两垂直， 以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示． 设，因为底面是菱形，，所以，，，，，，． 由，得，即． ，，设平面的法向量为， 则即 令，得，， 所以是平面的一个法向量． ，，设平面的法向量为，则即令，得，， 所以是平面的一个法向量． 设平面与平面所成角为，则， 所以，即平面与平面所成角的正弦值为． 16．（15分）（2026·黑龙江大庆·一模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理将已知等式角化边，结合余弦定理即可求出角. （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合正弦定理及已知的值求出边长，最后由余弦定理求出，即可得到三角形周长. 【解答过程】（1）已知， 由正弦定理，得. 所以. 由余弦定理， 因为，故. （2）由，所以. 由正弦定理， 得， 所以（）. 由余弦定理， 得，即 所以（）. 所以的周长为. 17．（15分）（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)当时，； 当时，. 【解题思路】（1）利用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式，计算，； （2）利用组合计数原理与独立事件乘法公式，结合全概率公式与错位相减法推导的表达式； （3）结合条件概率公式转化问题，通过构造数列判断单调性，最后比较两个条件概率的大小. 【解答过程】（1）由题意知，， . （2）记“第次测试后恰好通过第1关”为事件， “第次至次测试后没有通过第2关，且第次测试后恰好通过第2关”为事件， “第至次进行第3关测试没有通过，且第次通过”为事件， 则， ， . 所以. 令， ， 所以， ， 所以. 所以. （3）由（2）得，，， . 令，则， 所以， 因为随的增大而增大， 所以当时，， 当时，，； 当时，，，是增数列. 所以当时，取得最小值，最小值为. 又，且； 所以当时，，即， 所以. 因为，所以，即； 当时，，即， 所以.因为， 所以，即. 综上所述，当时，； 当时，. 18．（17分）（2026·广东佛山·模拟预测）已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）是定值，定值为 【解题思路】（1）根据椭圆性质、直线斜率公式及已知的值，结合联立方程求解，. （2）（ⅰ）利用切线性质得直线参数约束，联立切线与椭圆方程得弦长表达式，结合的范围即可求最值. （ⅱ）联立切线与椭圆方程，结合斜率公式和韦达定理化简等式，得到，再结合即可求解. 【解答过程】（1）由椭圆性质可得：上下顶点为、，右焦点为， 故，设椭圆上动点，所以，即， 根据直线斜率公式可得：​，，则， 将代入可得：，进一步化简可得： ，又因为，所以，由可得： ，解得，因此椭圆方程为. （2）（i）设点，由题意可知， 设直线的方程为，因为直线与圆相切， 可得：，即， 联立直线与椭圆方程消去得：， 故， 由弦长公式 代入韦达定理得： 平方得， 令得 此时， 此时， 当切线斜率不存在时，切线方程为，代入椭圆方程可得： ，化简可得：，即， 取上交点，下交点， 则，综上可得取得最大值：.​​ （ii）根据斜率的定义可得： ， 其中， 又，结合几何意义可得， 又，代入可得：， 化简可得：，又， 所以是个定值. 19．（17分）（2026·河北·模拟预测）已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】(1) 运用导数的几何意义求出切线方程，再通过计算该切线在两坐标轴上的截距来求解三角形面积； (2) 采用分离参数法，将“存在实数使不等式成立”的问题，转化为求解新构造函数最小值的最值问题； (3)使用换元法，将难以处理的双根不等式问题，转化为关于单变量的函数单调性证明问题. 【解答过程】（1）当时，， 则，即切点坐标为， ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即. （3）证明：由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，结论得证. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习检测卷 高三数学（全国一卷）03 （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（2026·福建漳州·模拟预测）样本数据的下四分位数为（   ） A．3 B．3.5 C．10 D．11 2．（5分）（2026·河北沧州·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（2026·云南·模拟预测）已知向量，，则向量与的夹角的正切值等于（   ） A．1 B． C． D．2 4．（5分）（2026·湖南长沙·二模）曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 5．（5分）（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，且双曲线过点，则双曲线的实轴长为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）（2026·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（2026·江苏宿迁·模拟预测）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺，前八个节气日影长之和为92尺，则谷雨日影长为（ ） A．15 B．16 C．17 D．18 8．（5分）（2026·山东·模拟预测）小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立，记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（2026·甘肃·模拟预测）若复数满足（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则（    ） A．的实部是 B． C．在复平面内对应的点在第一象限 D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称 10．（6分）（2026·陕西西安·二模）如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，，则（    ）    A． B． 平面 C．若，则该四棱台的体积为 D．平面 11．（6分）（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，为抛物线上一个动点，，则（   ） A．的坐标为 B．的最小值为2 C．若，则过与抛物线相切的直线的方程为 D．的最小值为3 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（2026·上海黄浦·一模）若直线与平行，则____________． 13．（5分）（2026·全国·模拟预测）已知函数，若存在唯一的使得，则ω的最小值为____________． 14．（5分）（2026·湖南长沙·二模）已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的，且，，，则球的表面积是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2026·广西·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，． (1)证明：平面； (2)已知是棱上一点，且，求平面与平面所成角的正弦值． 16．（15分）（2026·黑龙江大庆·一模）在中，角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，，求的周长． 17．（15分）（2026·广东广州·模拟预测）某互联网公司正在测试一款新型AI内容安全审核模型，该模型的部署需依次通过三项检测：数据预处理校验（第1关）、偏见与公平性检测（第2关）、对抗鲁棒性测试（第3关）．测试人员必须按顺序完成各关检测，每关检测次数不限，只有当前关通过后才能进入下一关．一旦通过第3关，即视为模型合格并结束全部检测．已知该模型在第1，2，3关单次通过的概率分别为，，，且每次检测相互独立．记“该模型在第n次检测后通过第3关”为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)记“该模型在第n次检测后恰好通过第2关”为事件，试比较与的大小，并说明理由． 18．（17分）（2026·广东佛山·模拟预测）已知椭圆：的上下顶点分别为，，右焦点的坐标为．点是椭圆上位于第一象限或正半轴上的动点，设直线，的斜率为，，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点作圆的切线交椭圆于点（点位于点的下方）． （ⅰ）求线段的最大值； （ⅱ）设直线的斜率为，请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19．（17分）（2026·河北·模拟预测）已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $