第8章 第3节 用样本估计总体（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦用样本估计总体核心考点，通过基础到综合题型构建数字特征、图表分析与抽样应用的逻辑体系，培养数据观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|1-3、6|数字特征（众数、平均数等）计算与性质判断|从单一数据特征概念生成到性质推导| |图表数据分析|4、7-9|频率分布直方图的数字特征估计与应用|结合图表实现数据可视化到特征量化| |抽样综合应用|5、10-14|分层抽样与数字特征（方差、均值）综合计算|抽样方法与样本估计总体的应用拓展|

课时冲关64　用样本估计总体 学生用书　P379 [基础训练组] 1．在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是(　　) A．众数　　　　　　 B．平均数 C．中位数 D．标准差 解析：D　[A样本数据：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. B样本数据84,86,86,88,88,88,90,90,90,90 众数分别为88,90，不相等，A错． 平均数86,88不相等，B错． 中位数分别为86,88，不相等，C错 A样本方差s2＝4，标准差s＝2， B样本方差s2＝4，标准差s＝2，D正确。] 2．为了解我国14岁男生的平均体重，从北方抽取了200名男生，平均体重54 kg；从中部抽取100名男生，平均体重55 kg；从南方抽取了200名男生，平均体重56 kg，由此可推断我国14岁男孩的平均体重为(　　) A．54 kg B．56 kg C．55 kg D．53 kg 解析：C　[＝＝55(kg)] 3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为(　　) A．85,85,85 B．87,85,86 C．87,85,85 D．87,85,90 解析：C　[平均数＝＝87分，众数为85，中位数为85.] 4．(多选)在某次高中学科知识竞赛中，对4 000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是(　　) A．成绩在[70,80)的考生人数最多 B．不及格的考生人数为1 000 C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D．考生竞赛成绩的中位数为75分 解析：ABC　[由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；成绩在[40,60)的频率为0.01×10＋0.015×10＝0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；考生竞赛成绩的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，在[70,80)的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．] 5．(多选)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二高三各600人，学校为了了解学生在寒假期间每天的读书时间，按照分层随机抽样的方法从全校学生中抽取100人，其中高一学生，高二学生，高三学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.7，2＝3.1，3＝3.3，每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则下列正确的是(　　) A．从高二年级抽取30人 B．被抽取的学生中，高二年级每天的总读书时间比高一年级多15小时 C．被抽取的学生每天的读书时间的平均数为3小时 D．估计全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966 解析：ACD　[对于A，根据分层抽样，分别从高一学生，高二学生，高三学生中抽取40人，30人，30人，故A正确；对于B，抽取的高二年级每天的总读书时间为2×30＝93，抽取的高一年级每天的总读书时间为1×40＝108，高二年级每天的总读书时间比高一年级少15小时，故B错误；对于C，被抽取的学生每天的读书时间的平均数为×2.7＋×3.1＋×3.3＝3(小时)，故C正确；对于D，被抽取的学生每天的读书时间的方差为：×[1＋(2.7－3)2]＋×[2＋(3.1－3)2]＋×[3＋(3.3－3)2]＝1.966，∴估计全体学生每天的读书时间的方差为s2＝1.966，故D正确．] 6．某次测试成绩满分为150分，设n名学生的得分分别为a1，a2，…an(ai∈N,1≤i≤n)，bk(1≤k≤150)为n名学生中得分至少为k分的人数．记M为n名学生的平均成绩，则(　　) A．M＝ B．M＝ C．M＞ D．M＞ 解析：A　[利用特殊值法解决．假设n＝2，这2名学生的得分分别为150,150. 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：b1＝2， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：b2＝2， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：b3＝2， …… 这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：b150＝2， 即这2名学生中得分至少为k(1≤k≤150)分的人数bk分别为： 2,2，……，2,2.一共有150个“2”， 从而得k分的同学会被记k次，所有bk的和恰好是所有人得分的总和， 即b1＋b2＋…bk－1＋bk＝a1＋a2， 从而＝＝＝150. ＝＝＝2. 对照选项，只有(A)正确．] 7．作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题．为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录，作出频率分布直方图如下： 已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6 000元的，超过400元的部分报销65%；花费在6 000元以上的报销所花费费用的80%.则下列说法中，正确的是(　　) A．a＝0.001 8 B．若某病人住院花费了4 300元，则报销后实际花费为2 235元 C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为80%的概率为 D．这100份花费费用的中位数是4 205元 解析：C　[直方图的面积等于1，所以(0.000 05＋0.000 10＋0.000 12＋a＋0.000 25＋0.000 15＋0.000 10＋0.000 05)×1 000＝1，a＝0.000 18，A错误；根据报销的规则，花费了4 300元，报销的费用为(4 300－400)×65%＝2 535，实际花费4 300－2 535＝1 765，B错误；根据报销的规则，当花费在6 000以上时报销80%，所以概率＝(0.000 1＋0.000 05)×1 000＝0.15＝，C正确；设中位数为4 000＋x，其面积为， ∴(0.000 05＋0.000 1＋0.000 12＋0.000 18)×1 000＋0.000 25x＝，x＝200，即中位数为4 200，D错误．] 8．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待 时间/分 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25] 频数 4 8 5 2 1 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值＝______，病人等待时间方差的估计值s2＝______. 解析：(1)＝＝9.5； (2)s2＝ ＝28.5 答案：9.5　28.5 9．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22 ℃.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据：(记录数据都是正整数) ①甲地5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.则肯定进入夏季的地区有________． 解析：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22、22、24、25、26，其连续5天的日平均气温均不低于22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，当5个数据为19、20、27、27、27，可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，假设取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22，故③对． 则肯定进入夏季的地区有甲、丙两地．故答案为①③. 答案：①③ 10．对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 24 N [20,25) m p [25,30] 2 0.05 合计 M 1 (1)求出表中M，p及图中a的值； (2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数； (3)估计这次学生参加社区服务人数的众数、中位数以及平均数． 解：(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m＋2＝40，解得m＝4，p＝＝＝0.10.因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a＝＝0.12. (2)因为该校高三学生有240人，在[10,15)内的频率是0.25， 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60. (3)估计这次学生参加社区服务人数的众数是＝17.5.因为N＝＝0.6，所以样本中位数是15＋≈17.1，估计这次学生参加社区服务人数的中位数是17.1.样本平均人数是12.5×0.25＋17.5×0.6＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝17.25，估计这次学生参加社区服务人数的平均数是17.25. [能力提升组] 11．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法中不正确的是(　　) A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在(2 400，3 200]家庭数量超过总数的三分之一 B．若该地区有2 000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2 400元的有940个 C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2 100元 D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2 200元 解析：C　[由题意得，年夜饭消费金额在(2 400，3 200]的频率为＝0.35，故A正确；若该地区有2 000个家庭，可以估计年夜饭超过2 400元的家庭个数为2 000×＝940，故B正确；可以估计，平均数为400×0.08＋1 200×0.2＋2 000×0.25＋2 800×0.35＋3 600×0.08＋4 400×0.04＝2 216(元)，故C错误；可以估计，中位数为1 600＋×800＝2 304(元)，故D正确．] 12．(2024·衡阳市模拟)已知样本x1，x2，…，xn的平均数为x；样本y1，y2，…，ym的平均数为y(x≠y)，若样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y；其中0＜a＜，则n，m(n，m∈N＋)的大小关系为(　　) A．n＝m B．n≥m C．n＜m D．n＞m 解析：D　[由样本x1，x2，…，xn的平均数为x，样本y1，y2，…，ym的平均数为y，样本x1，x2，…，xn，y1，y2，…，ym的平均数z＝ax＋(1－a)y，其中0＜a＜， ∴＝x＋y＝ax＋(1－a)y， ∴a＝.又0＜a＜时，1－a＞a，∴＞，∴n＞m.] 13.国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识．为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄(单位：岁)分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示． (1)求图中a的值； (2)求这200人年龄的平均数(同一组数据用该组所在区间的中点值作代表)和中位数(精确到0.1)； (3)现要从年龄在[25,35)与[55,65]的两组中按照人数比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选3人进行问卷调查，求从[25,35)中至少抽到2人进行问卷调查的概率． 解：(1)由题图可知10×(2a＋0.015＋0.035＋0.030)＝1， 解得a＝0.010. (2)平均数为(20×0.01＋30×0.015＋40×0.035＋50×0.03＋60×0.01)×10＝41.5， 设中位数为x，由已知可得x∈[35,45)， 且10×0.010＋10×0.015＋(x－35)×0.035＝0.5， 解得x＝42.1，即中位数约为42.1. (3)年龄在[25,35)和[55,65]这两组的人数分别为30,20， 则年龄在[25,35)的应抽取3人，年龄在[55,65]的应抽取2人， 设“从这5人中任选3人，年龄在[25,35)内的至少有2人”为事件A， 则P(A)＝＝. 14．(2024·泉州模拟)随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变，消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注．某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在[60,80)的老年人的年收入按年龄[60,70)，[70,80)分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在[60,70)的老年人500人．年龄在[70,80)的老年人300人．现作出年龄在[60,70)的老年人年收入的频率分布直方图(如下图所示)． (1)根据频率分布直方图，估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数及第95百分位数； (2)已知年龄在[60,70)的老年人年收入的方差为3，年龄在[70,80)的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在[60,80)的老年人的年收入的方差． 解：(1)频率分布直方图中，该地年龄在[60,70)的老年人年收入的平均数约为：0.04×2＋0.08×3＋0.18×4＋0.26×5＋0.20×6＋0.15×7＋0.05×8＋0.04×9＝5.35， 由频率分布直方图，年收入在8.5万元以下的老年人所占比例为1－0.04×1＝0.96， 年收入在7.5万元以下的老年人所占比例为1－(0.05×1＋0.04×1)＝0.91， 因此，第95百分位数一定位于[7.5,8.5)内， 由7.5＋1×＝8.3， 可以估计该地年龄在[60,70)的老年人年收入的第95百分位数为8.3. (2)设年龄在[60,70)的老年人样本的平均数记为，方差记为s； 年龄在[70,80)的老年人样本的平均数记为，方差记为s； 年龄在[60,80)的老年人样本的平均数记为，方差记为s2. 由(1)得＝5.35，由题意得，s＝3，＝3.75，s＝1.4， 则＝×＋×＝4.75， 由s2＝×{500×[s＋(－)2]＋300×[s＋(－)2]}， 可得s2＝×{500×[3＋(5.35－4.75)2]＋300×[1.4＋(3.75－4.75)2]}＝3， 即估计该地年龄在[60,80)的老年人的年收入方差为3. 8 学科网（北京）股份有限公司 $