精品解析：重庆市永川北山中学校2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

重庆市永川北山中学校高2028届高二上期10月月考 数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分，试卷总页数：4页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为 A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样各层在总体的比例与在样本的比例相同求解. 【详解】因为分层抽样总体和各层的抽样比例相同， 所以各层在总体的比例与在样本的比例相同， 所以样本中乙类型饮品的数量为. 故选B. 【点睛】本题考查分层抽样，依据分层抽样总体和各层的抽样比例相同. 2. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 3. 现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（　　） A. 719 B. 556 C. 512 D. 050 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机数表的使用方法判断即可. 【详解】从3开始向右读，第一个符合条件的数为378，第二个数为591，第三个数为695，第四个数为556，第五个数为719，大于699，不符合，第六个数为981，大于699，不符合，第七个数为050，符合，所以第5个样本为050. 故选：D. 4. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】设，，，由基底概念可知不共线，再由不能构成基底可得共面，由共面向量基本定理确定待定系数即得解. 【详解】由题意，是空间的一个基底， 设，，，则不共线． 因为不能构成空间的一个基底，则共面， 所以存在实数使得， 即， 所以，解得，，． 故选：A. 5. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片都为绿色． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可得解. 【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”. 给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有:“2张都不是红色”,“2张恰有一张红色”,“2张都为绿色”. 而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”,二者并非互斥．所以符合题意的事件为①②④，一共3个. 故选：C. 6. 已知，，不共面，若，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，由此求出的值，即可得解. 【详解】因为，，三点共线，所以， 即， 所以，解得， 所以. 7. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件为互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概型的概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A错误； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件与事件不为互斥事件，D错误. 8. 如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ） A. 中央大街日旅游人数的极差是1.2 B. 冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C. 冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D. 冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 【答案】BC 【解析】 【分析】根据折线图可求中央大街日旅游人数的极差、冰雪大世界日旅游人数的中位数，故可判断AB的正误.同样根据折线图可求两者的均值和方差，故可判断CD的正误. 【详解】对于A，中央大街日旅游人数的最大值为万，最小值为万， 极差为万，故A错误. 对于B，冰雪大世界日旅游人数由小到大依次为：， 其中位数为，故B正确. 对于C，冰雪大世界日旅游人数的平均值为， 中央大街日旅游人数的平均值为， 因，故C正确. 对于D，冰雪大世界日旅游人数的方差为： ， 中央大街日旅游人数的方差为： ， 故冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街小，故D错误， 故选：BC. 10. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量的运算，空间位置关系得到向量表示，投影向量的概念依次讨论各选项即可. 【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，因为，，所以，， ，设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，因为，所以，则，解得，故C正确； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选:BCD． 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 若是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若是棱的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 D. 若与平面所成的角为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算异面直线夹角的余弦值判断A；利用线面平行的性质及锥体体积公式判断B；利用面面平行的性质确定截面形状判断C；利用向量法求出线面角的正弦值关于动点位置的函数，进而求出范围判断D。 【详解】选项A：以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 . 因为为中点，所以. 若是的中点，则.故. 设异面直线与所成角为，， 则，A正确； 选项B：由题知. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为在上运动，所以到平面的距离为定值. 又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B正确； 选项C：若是的中点，平面平面， 平面平面， 平面平面（在上），所以. 在矩形中，，. 在矩形中，，设，. 由得，解得. 因为，所以在棱上. 所以截面图形为四边形，C错误； 选项D：.设平面的法向量为， 则，取，得. 设，则. . 令，又函数在上单调递增 . 当时，最小为，； 当时，最大为，. 所以，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 【答案】18 【解析】 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】因为数据的方差为2， 则数据的方差为． 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知，， 所以， 且， 所以在上的投影向量的模长为， 故点到直线的距离为， 所以． 14. 已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为______，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件（，2，3，4，5），“妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件，记事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”，事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”，先利用对立事件的概率、互斥事件的加法结合独立事件的乘法公式求得，，再由利用独立事件的乘法公式计算即得； ②记事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”，事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”，事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”，先由，利用对立事件的概率结合独立事件的乘法公式求得，，再由利用互斥事件的加法和独立事件的乘法计算即得答案. 【详解】这对夫妻中，“丈夫在科目二考试中第i次通过”记为事件（，2，3，4，5）， “妻子在科目二考试中第i次通过”记为事件， 则，． 记事件“丈夫参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“妻子参加科目二考试不需要交补考费”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费”， 则， ， ． 记事件“丈夫参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“妻子参加科目二考试需交补考费200元”， 事件“这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元”， 则， ， ． 因此这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为． 故答案为：；． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）求； （2）若与垂直，求实数t的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由空间向量的坐标，用坐标表示出，然后由空间向量的模长公式求得； （2）由空间向量的坐标，用坐标表示出和，由空间向量的数量积建立方程，解得实数t的值. 【小问1详解】 ，所以. 【小问2详解】 ，， ， 所以. 16. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 对于事件，有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，因此． 【小问2详解】 对于事件，不放回地依次取出两个球的样本空间 ，，，，，，，，，，，，，，， 则，因为，所以， 所以． 17. 为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛．现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并根据频率分布直方图计算样本的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则．已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差． 【答案】（1） ，平均成绩为 分 （2） ， 【解析】 【分析】（1）先利用频率分布直方图中小矩形面积之和为1求参数，再利用组中值与频率乘积之和估算平均数； （2）根据频率计算各组样本量，代入分层抽样总平均数与总方差公式求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的性质可知，所有小矩形的面积之和为1，即 ， 整理得 ，解得. 样本的平均成绩为各组中值与对应频率乘积之和，即：  . 故图中的值为，样本的平均成绩为分. 【小问2详解】 由题意及(1)可知，在 的频率为， 在的频率为. 因为样本总量为，所以的样本量，的样本量. 这两组样本的总平均数. 这两组样本的总方差 . 故这两组样本的总平均数 为，总方差 为. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）取中点，连接， 由于是的中点，故，且， 由于是的中点，故，且， 则有，，故四边形是平行四边形， 故，又平面，平面，故平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，由线线平行得到线面平行即可证明； （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量即可求解； （3）根据空间上点到平面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 由已知条件可得：， 因为分别为的中点，可得，， 平面内的向量，， 设平面的法向量为， 则，令，解得，即， 直线的方向向量可取为， 设直线与平面的夹角为，且， 则， 所以直线与平面夹角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）可知，点，平面过点，法向量，向量 ， 则点到平面的距离. 19. 如图1，在中，，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角余弦值； （3）线段上是否存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为分别为边的中点，所以， 又因为，所以，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得，得到，再由，结合线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求出平面与平面的法向量，然后利用向量法求解即可； （3）假设线段上存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，设，利用求出关于的坐标，求出平面的法向量，结合面面角的向量法建立关于的方程，求解分析即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 连接，因为，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示， 可得， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为为， 则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为， 设此时， 由（2）得， 设，则，又， 所以， 所以，即， 由， 设平面的一个法向量为， 则 取，可得，所以， 由（2）知平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， ， 化简得：，解得：（舍去）或， 所以线段上存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市永川北山中学校高2028届高二上期10月月考 数学试题 注意事项： 1．考试时间：120分钟，满分：150分，试卷总页数：4页． 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 某厂家生产甲、乙、丙三种不同类型的饮品・产量之比为2:3:4.为检验该厂家产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为72的样本，则样本中乙类型饮品的数量为 A. 16 B. 24 C. 32 D. 48 2. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 现从700瓶水中抽取5瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将700瓶水编号，可以编为000，001，002，…，699，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第6列的数3.（下面摘取了附表1的第8行与第9行） 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 规定从选定的数3开始向右读，得到的第5个样本的编号为（　　） A. 719 B. 556 C. 512 D. 050 4. 若是空间的一个基底，且不能构成空间的一个基底，则（ ） A. B. C. D. 0 5. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片都为绿色． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，，不共面，若，，且，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 7. 在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 事件与事件为互斥事件 8. 如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 进入冬季哈尔滨旅游火爆全网，下图是2024年1月1．日到1月7日哈尔滨冰雪大世界和中央大街日旅游人数的折线图，则（ ） A. 中央大街日旅游人数的极差是1.2 B. 冰雪大世界日旅游人数的中位数是2.3 C. 冰雪大世界日旅游人数的平均数比中央大街大 D. 冰雪大世界日旅游人数的方差比中央大街大 10. 已知空间向量，，下列结论正确的是（ ） A. B. ，夹角的余弦值为 C. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数 D. 在上的投影向量为 11. 如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 若是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 若是棱的中点，则过，，三点的平面截正方体所得的截面图形是三角形 D. 若与平面所成的角为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则的面积为________． 14. 已知某人报名参加了驾驶证考试，要顺利地拿到驾驶证，需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试．在每一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试，若5次都没有通过，则需要重新报名），其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费．某驾校通过几年的资料统计，得到如下结论：男性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为，女性学员参加科目二考试，每次通过的概率均为．现有一对夫妻同时报名参加驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．则这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率为______，这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为200元的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）求； （2）若与垂直，求实数t的值. 16. 不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5．现从盒子里随机取出2个小球． （1）记事件“有放回地依次取出时，取到两个白球”，求事件发生的概率． （2）记事件“不放回地依次取出时，取出小球编号之和为”，求事件发生的概率； 17. 为推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识宣传活动，举办“网络防骗”知识竞赛．现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值，并根据频率分布直方图计算样本的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； （2）若总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数样本方差分别为：，，；，，．记总的样本平均数为，样本方差为，则．已知在的平均数是65，方差是6，在的平均数是75，方差是3，求这两组样本的总平均数和总方差． 18. 如图，在四棱柱中，平面，，，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 如图1，在中，，分别为边的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求平面与平面的夹角余弦值； （3）线段上是否存在点（不含端点），使平面与平面的夹角余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $