2026-2027学年高三上学期数学自编模拟二（山东烟台适用）

高三数学期中复习（二）(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.已知函数，则的值为 A. B. 0 C. D. 1 3.在平行四边形ABCD中，，，，，则 A. 2 B. C. D. 4 4.如图，某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A，B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部 N的仰角为，，则M，N之间的距离为    A. B. C. D. 5.已知，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 6.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．若函数的图象关于直线轴对称，则的值为     A. B. C. D. 7.定义在R上的函数的导函数为，满足且当时，，则不等式的解集为    A. B. C. D. 8.已知函数，则函数的零点个数是    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.已知函数的部分图象如图所示，则    A. B. 函数的图象关于对称 C. 函数的图象关于对称 D. 函数在上单调递增 10.已知，则下列不等式一定成立的有 A. B. C. D. 11.已知函数的定义域为 R，满足，且时，，则      A. 时，函数的最大值为 B. 函数在区间上单调递减 C. 方程有两个实根 D. 若 ，则t的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若，，，则的最小值为           13.已知函数，则的最小值为           14.若过点有三条直线与函数的图象相切，则实数m的取值范围为           四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题14分 已知平面向量，， 若，求； 若与的夹角为锐角，求x的取值范围. 16.本小题14分 已知函数，其中，函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为 求的解析式和单调递增区间； 若将函数图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的最大值. 17.本小题14分 在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为的面积，且满足_________. 求的值： 若为锐角三角形，求的取值范围． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 18.本小题15分 已知函数 讨论的单调性; 当时，若方程总有三个不相等的实根，求实数b的取值范围. 19.本小题20分 已知函数 若，求函数的单调区间和最值 若，且一次函数的图象和曲线相切于处，求函数的解析式并证明：恒成立． 若，且函数在上有两个极值点，求实数t的取值范围 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查交集运算，属于基础题. 化简A，B，由交集运算即可求解. 【解答】 解：，， 则  2.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查求分段函数的函数值，属于基础题． 利用函数的解析式可求得的值. 【解答】 解：， 则 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】本题主要考查的是平面向量的线性运算，平面向量的数量积运算，属于基础题. 利用作为基底，表示出，再求其数量积即可. 【解答】解：由题，，， 所以， 故选 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了解三角形问题，涉及到余弦定理的应用，属于中档题． 由题意求得AC、BC，在三角形ABC中，利用余弦定理求出AB的大小，过M作于D，再在直角三角形MDN中，利用勾股定理求出MN的大小即可． 【解答】 解：中，，，，故； 中，，，，故； 中，， 则由余弦定理可得， 则， 过M作于D，则四边形ABDM为矩形， 则中，，， 所以由勾股定理可得， 故选 5.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题. 构造函数，得出；构造函数 ，得出即可得出a，b，c的大小关系. 【解答】 解：令，则， 所以在上为增函数，则， 所以，即，所以 令，则， 所以在上为增函数，则， 所以，即，所以 所以 6.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二倍角公式以及函数的图象与性质，属于中档题.  先化简，进而得到的解析式，根据是函数的一条对称轴，解得的值.  【解答】 解：， 将的图象向左平移个单位长度可得， 又是函数的一条对称轴，所以当时，函数取得最值， 所以，  因为，所以 故选 7.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查利用导数解不等式，属中档题. 令，由已知等式可判断奇偶性，求导结合已知判断单调性，不等式化为，根据单调性、奇偶性求解即可. 【解答】 解：由， 可得， 令，即， 由，定义域均为R，故为偶函数. ， 时，， 时，，单调递增， 故在上单调递减. 不等式，即， 又，则， 故不等式即为， 则，解得或， 故选 8.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查分段函数图象，属于中档题. 令，先求出使时的t的值，然后画出函数和函数，其中的图象，观察其交点个数即可得答案. 【解答】 解：由已知， 令，即， 当时，得或， 当时，明显函数在上单调递减，且，即， 故存在，使， 画出的图象如下， 再画出直线，其中， 观察图象可得交点个数为5个， 即函数的零点个数是 故选： 9.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查了根据部分三角函数图象确定三角函数解析式以及函数的性质，属于中档题． 由题意可求函数周期，利用周期公式可求，根据图象可求A，，结合范围，可求，可得函数解析式为，进而根据正弦函数的性质即可逐项求解． 【解答】解：因为，所以， 因为最大值为2，所以， 因为，所以，， 又因为，所以， 所以，所以A正确； 对于B，，不是最大或最小值，所以B不正确； 对于C，， 的图象关于点对称，所以C正确； 对于D，，，则函数单调递增，所以D正确． 故选： 10.【答案】AB  【解析】【分析】 本题考查不等式性质、指数函数、对数函数性质和利用导数研究单调性，属于基础题. 根据不等式的性质、指数函数、对数函数性质和利用导数研究单调性，逐一分析四个选项即可． 【解答】 解：由已知可知， 对于A，因为 在 上为增函数，所以  ，A选项正确; 对于B，由已知可知，所以 ，且 ，由基本不等式得 ，故B正确； 对于C，易知 在上单调递减，在 上单调递增，所以 与 的大小不确定，所以与不确定， C不成立； 对于D，如果，，则不成立，故D错. 故选AB 11.【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查函数的周期性，考查函数的单调性，考查函数的零点与图象的综合应用，属于基础题. 利用函数的性质，依次对各选项进行判断. 【解答】 解： 由题可知，在定义域R上，的图象每向右平移2个单位，函数值会变为原来的一半. 当时，，在上单调递增，在上单调递减， 令，则，此时， 故当时，， 当时有最大值，为，A选项错误； 由选项A可知，在上单调递减，B选项正确； 画出的图象和的图象，如下图所示， 故方程有两个实根，C正确； 由的图象可知，当时， 故可知若，t的最大值在区间中， 当时，，， 所以时，， 令，解出或，故t的最大值为选项错误. 12.【答案】8  【解析】【分析】 本题考查了利用基本不等式求最值，属于中档题． ，展开后利用基本不等式即可得出. 【解答】 解：，，且， 则， ， 当且仅当且，即，时取等号， 则的最小值为 故答案为 13.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查三角恒等变换公式的综合应用，考查基本不等式的扩展应用，属于较难题. 利用二倍角公式将化简整理为，再利用基本不等式求出最值即可，注意应用基本不等式的条件. 【解答】 解：由题， ， 因为，所以， 所以 ， 当且仅当时等号成立，此时， 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，方程根的个数，属于中档题， 利用导数的几何意义，设切点为，求过点的切线方程，即可得，存在三条切线等价于有三个实根，令，求得的极值点，利用方程根的个数即可确定m的取值范围. 【解答】 解：由可得，， 设直线l与函数图象的切点为，则切线的斜率为， 所以切线方程为， 由切线过点，则， 整理得， 则要使过点有三条直线与函数的图象相切， 等价于有三个实根， 令，则， 则当和，则，单调递减；当，则，单调递增； 故有极小值，有极大值， 要使有3个实根，则 故实数m的取值范围为 15.【答案】解：由，则， 得或 当时，，， 当时，， 与夹角为锐角，，，解得：， 又因为时，且同向，所以x的取值范围是  【解析】【分析】本题考查向量共线定理的应用，以及由向量数量积的定义求夹角的范围，属于简单题. 由，得或，故可得，故可得 由与夹角为锐角可知，且同向时不合题意，解不等式组可得答案. 16.【答案】解：由题知 ，所以， 则   所以，，即，， 故  的单调递增区间为 将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得 ，再向右平移个单位长度，得 所以 ， 因为， ， 所以当， 时， 取得最大值为    【解析】本题考查判断正弦型函数的单调性或求解单调区间，正弦型函数的图象变换，求正弦型函数的值域或最值，属于中档题． 由图象可得T，进一步求得，则可求的解析式和单调递增区间； 利用函数的伸缩变换与平移变换求得的解析式，再由x的取值范围可得在上的最大值. 17.【答案】解：若选①：由正弦定理得，  ， 因为  ，所以  ， 即  ，又因为  ，  ， 所以  ; 若选②：因为  ，所以  ， 所以  ，由余弦定理， 所以  ， 所以  ， 又  ，即， 可得，解得  或  舍， 所以  ; 若选③：由正弦定理得，  ， 因为  ，所以  ， 所以  ， 所以  .  又因为 A， ，  ，所以  ， 又  ，解得  . 在  中，  ，则  ，  . 因为  是锐角三角形，所以  ，即  ，即  ， 所以  ， 所以  ， 所以  . 设  ，则  ， 令  ，  ，则  ， 令  ，则  ， 则 y 在  上单调递减，在  上单调递增， 所以  ，即  的取值范围为  .   【解析】本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，属于中档题. ①由正弦定理可得，结合三角形内角关系，可得的值； 选②代入三角形面积公式得 ，由余弦定理得 ，结合，可得的值； 选③由题意得，  ，结合三角形内角关系，可得的值； 由题意，得出，设  ，，令  ，利用导数判断函数单调性，进而求出 的取值范围. 18.【答案】解：由题知，， 所以，当时，恒成立， 所以，令，解得 所以，当  时，  ，  在  上单调递减； 当  时，  ，  在  上单调递增; 当  时，令  ，解得  或  ， 所以，当  ，即  时，  时，  ，  在  上单调递减， 当  时，  ，  在  和  上单调递增； 当  ，即  时，  时，  ，  在  上单调递减， 当  时，  ，  在  和  上单调递增； 当，即时，在上恒成立， 所以  在  上单调递增. 由知，当  时，  在  上单调递减，在  和  上单调递增， 且当  时，  ，当  时，  ， 所以，若方程  始终有三个不相等的实根， 则，即在上恒成立.  当时，显然 令，则， 因为，所以， 所以恒成立， 所以在上单调递减，所以 综上，若方程始终有三个不相等的实根， b的取值范围为   【解析】本题考查导数中的恒成立问题，利用导数判断函数的单调性，属中档题. 求导，对a分当时， 时， 时，时，这四种情况，分别判断单调性即可； 由可知时单调单调性，可得极值情况，由题意可得上恒成立，分析两侧函数最值情况，即可得解. 19.【答案】解：因为，所以，求导得， 令，解得，令，解得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，最小值为，无最大值. 易知，所以，又， 所以， 令，则，，这里表示的导函数. 令有， 当x变化时，与的变化情况如下表： 所以当时，函数有极小值，极小值为，也是最小值， 因为当时，无限趋向于，所以当时，， 又，此时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，即不等式恒成立. 因为函数在上有两个极值点，所以在上有两个变号零点， 因为，令，即，可得， 令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，，作出函数在上的图象， 当，即时，直线与函数在上的图象有两个交点， 设两个交点的横坐标分别为，，且， 由图可知，当或时，，此时， 当时，，此时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时，函数有两个极值点，合乎题意. 因此，实数t的取值范围为  【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间、曲线上一点的切线方程、利用导数研究恒成立问题、利用导数根据极值或极值点求参等，属于较难题. 利用导数即可求函数的单调区间; 先利用导数求出曲线再处的切线方程，再令，利用导数证明即可; 函数在上有两个极值点，所以在上有两个变号零点，利用导数求解即可. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $