考点30 尺规作图及用无刻度的直尺作图（2024年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

考点30 尺规作图及用无刻度的直尺作图 命题点1 五种基本作图 角度1根据作图痕迹判断作图结果 1.(2024河北)观察图中尺规作图的痕迹,可得线段BD一定是△ABC的 (　　) A.角平分线 B.高线 C.中位线 D.中线 2.(2024烟台)某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动,各组展示作图痕迹如下,其中射线OP为∠AOB的平分线的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 角度2根据作图步骤或痕迹进行计算或结论判断 3.(2024武汉)小美同学按如下步骤作四边形ABCD(如图):(1)画∠MAN;(2)以点A为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AM,AN于点B,D;(3)分别以点B,D为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,CD,BD.若∠A=44°,则∠CBD的大小是 (　　) A.64° B.66° C.68° D.70° (第3题)　　(第4题) 4.(2024湖北)如图,AB是半圆O的直径,C为半圆O上一点,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点D,画射线BD,连接AC.若∠CAB=50°,则∠CBD的度数是 (　　) A.30° B.25° C.20° D.15° 5.(2024南充)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为 (　　) A. B. C.-1 D.-2 (第5题)　　(第6题) 6.(2024成都)如图,在▱ABCD中,按以下步骤作图:①以点B为圆心,以适当长为半径作弧,分别交BA,BC于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点O;③作射线BO,交AD于点E,交CD延长线于点F.若CD=3,DE=2,下列结论错误的是 (　　) A.∠ABE=∠CBE B.BC=5 C.DE=DF D.= 7.(2024湖南)如图,在锐角三角形ABC中 ,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N,若MN=2,AD=4MD,则AM=　　　　.  (第7题)　　　(第8题) 8.(2024临沂)如图,已知∠MAN,以点A为圆心,以适当长为半径作弧,分别与AM,AN相交于点B,C;分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧在∠MAN内部相交于点P,作射线AP;分别以A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点D,E,作直线DE分别与AB,AP相交于点F,Q.若AB=4,∠PQE=67.5°,则F到AN的距离为　　　　.  9.(2024吉林)小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联,下面是他的研究过程: 【探究论证】 (1)如图(1),在△ABC中,AB=BC,BD⊥AC,垂足为点D.若CD=2,BD=1,则S△ABC=　　　　.  (2)如图(2),在菱形A'B'C'D'中,A'C'=4,B'D'=2,则S菱形A'B'C'D'=　　　　.  (3)如图(3),在四边形EFGH中,EG⊥FH,垂足为点O. 若EG=5,FH=3,则S四边形EFGH=　　　　;  若EG=a,FH=b,猜想S四边形EFGH与a,b的关系,并证明你的猜想. 【理解运用】 如图(4),在△MNK中,MN=3,KN=4,MK=5,点P为边MN上一点. 小明利用直尺和圆规分四步作图: (ⅰ)以点K为圆心,适当长为半径画弧,分别交边KN,KM于点R,I; (ⅱ)以点P为圆心,KR长为半径画弧,交线段PM于点I'; (ⅲ)以点I'为圆心,IR长为半径画弧,交前一条弧于点R',点R',K在MN同侧; (ⅳ)过点P画射线PR',在射线PR'上截取PQ=KN,连接KP,KQ,MQ. 请你直接写出S四边形MPKQ的值. 图(1)　　　　图(2)　　　　图(3)　　　　　图(4) 角度3根据要求直接作图 10.(2024新疆)如图,已知平行四边形ABCD. (1)尺规作图:请用无刻度的直尺和圆规,作∠A的平分线交CD于点E;(要求:不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,求证:△ADE是等腰三角形. 11.(2024重庆A)在学习了矩形与菱形的相关知识后,智慧小组进行了更深入的研究,他们发现,过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形,可利用证明三角形全等得到此结论.根据他们的想法与思路,完成以下作图和填空: (1)如图,在矩形ABCD中,点O是对角线AC的中点.用尺规过点O作AC的垂线,分别交AB,CD于点E,F,连接AF,CE (不写作法,保留作图痕迹). (2)已知:矩形ABCD,点E,F分别在AB,CD上,EF经过对角线AC的中点O,且EF⊥AC.求证:四边形AECF是菱形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥CD. ∴①　　　　　　　　　　　　　,∠FCO=∠EAO.  ∵点O是AC的中点, ∴②　　　　　　　　,  ∴△CFO≌△AEO(AAS), ∴③　　　　　　　　.  又∵OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵EF⊥AC, ∴四边形AECF是菱形. 进一步思考,如果四边形ABCD是平行四边形呢?请你模仿题中表述,写出你猜想的结论:④  　.  12.(2024广西)如图,在△ABC中,∠A=45°,AC>BC. (1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l,分别交AB,AC于点D,E;(要求:保留作图痕迹,不写作法,标明字母) (2)在(1)所作的图中,连接BE,若AB=8,求BE的长. 13.(2024河南)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,BE∥DC交AC的延长线于点E. (1)请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM,使∠ECM =∠A,且射线CM交BE于点F(保留作图痕迹,不写作法). (2)证明(1)中得到的四边形CDBF是菱形. 角度4转化类作图 14.(2024陕西)如图,已知直线l和l外一点A,请用尺规作图法,求作一个等腰直角三角形ABC,使得顶点B和顶点C都在直线l上.(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法) 15.(2024广州)如图,Rt△ABC中,∠B=90°. (1)尺规作图:作AC边上的中线BO(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)所作的图中,将中线BO绕点O逆时针旋转180°得到DO,连接AD,CD.求证:四边形ABCD是矩形. 16.(2024福建)如图,已知直线l1∥l2. (1)在l1,l2所在的平面内求作直线l,使得l∥l1∥l2,且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若l1与l2间的距离为2,点A,B,C分别在l,l1,l2上,且△ABC为等腰直角三角形,求△ABC的面积. 17.(2024威海)感悟 如图(1),在△ABE中,点C,D在边BE上,AB=AE,BC=DE.求证:∠BAC=∠EAD. 应用 (1)如图(2),用直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧),使得∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法,保留作图痕迹). (2)如图(3),用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法,保留作图痕迹). 图(1)　图(2) 图(3) 18.(2024甘肃)马家窑文化以发达的彩陶著称于世,其陶质坚固,器表细腻,红、黑、白彩共用,彩绘线条流畅细致,图案繁缛多变,形成了绚丽典雅的艺术风格,创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品,体现了古代劳动人民的智慧.如图(1)的彩陶纹样呈现的是三等分圆周,古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点,这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图(2),已知☉O和圆上一点M.作法如下: ①以点M为圆心,OM长为半径,作弧交☉O于A,B两点; ②延长MO交☉O于点C. 即点A,B,C将☉O的圆周三等分. (1)请你依据以上步骤,用不带刻度的直尺和圆规在图(2)中将☉O的圆周三等分(保留作图痕迹,不写作法); (2)根据(1)画出的图形,连接AB,AC,BC,若☉O的半径为2 cm,则△ABC的周长为　　　　cm.  　　　　　　　图(1)　　　　　　　　　图(2) 19.(2024盐城)如图(1),E,F,G,H分别是▱ABCD各边的中点,连接AF,CE交于点M,连接AG,CH交于点N,将四边形AMCN称为▱ABCD的“中顶点四边形”. (1)求证:中顶点四边形AMCN为平行四边形. (2)①如图(2),连接AC,BD交于点O,可得M,N两点都在BD上,当▱ABCD 满足　　　　时,中顶点四边形AMCN是菱形;  ②如图(3),已知矩形AMCN为某平行四边形的中顶点四边形,请用无刻度的直尺和圆规作出该平行四边形.(保留作图痕迹,不写作法) 　图(1)　　　　　　　图(2)　　　 　　　 图(3) 20.(2024扬州)如图,已知∠PAQ及AP边上一点C. (1)用无刻度直尺和圆规在射线AQ上求作点O,使得∠COQ=2∠CAQ;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,以点O为圆心,OA为半径的圆交射线AQ于点B,用无刻度直尺和圆规在射线CP上求作点M,使点M到点C的距离与点M到射线AQ的距离相等;(保留作图痕迹,不写作法) (3)在(1)、(2)的条件下,若sin A=,CM=12,求BM的长. 命题点2 用无刻度的直尺作图 角度1正方形网格中作图 21.(2024滨州)如图,在边长为1的正方形网格中,点A,B均在格点上. (1)AB的长为　　　　;  (2)请无刻度的直尺,在如图所示的网格中,画出以AB为边的矩形ABCD,使其面积为,并简要说明点C,D的位置是如何找到的(不用证明):  　.  22.(2024安徽)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy,格点(网格线的交点)A,B,C,D的坐标分别为(7,8),(2,8),(10,4),(5,4). (1)以点D为旋转中心,将△ABC旋转180°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1; (2)直接写出以B,C1,B1,C为顶点的四边形的面积; (3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标. 23.(2024吉林)图(1)、图(2)均是4×4的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.点A,B,C,D,E,O均在格点上.图(1)中已画出四边形ABCD,图(2)中已画出以OE为半径的☉O,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图. (1)在图(1)中,画出四边形ABCD的一条对称轴. (2)在图(2)中,画出经过点E的☉O的切线. 　　　图(1)　　　　　　　　图(2) 24.(2024武汉)如图是由小正方形组成的3×4网格,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每个任务的画线不得超过三条. (1)在图(1)中,画射线AD交BC于点D,使AD平分△ABC的面积; (2)在(1)的基础上,在射线AD上画点E,使∠ECB=∠ACB; (3)在图(2)中,先画点F,使点A绕点F顺时针旋转90°到点C,再画射线AF 交BC于点G; (4)在(3)的基础上,将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段MN(点A与点M对应,点B与点N对应). 　 图(1)　　　　　　图(2) 角度2根据图形性质作图 25.(2024江西)如图,AC为菱形ABCD的对角线,请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图(保留作图痕迹). (1)如图(1),过点B作AC的垂线; (2)如图(2),点E为线段AB的中点,过点B作AC的平行线. 　　　　　　　图(1)　　　　　　　　图(2) 26.(2023天门)已知正六边形ABCDEF,请仅用无刻度的直尺完成下列作图(保留作图痕迹,不写作法,用虚线表示作图过程,实线表示作图结果). (1)在图(1)中作出以BE为对角线的一个菱形BMEN; (2)在图(2)中作出以BE为边的一个菱形BEPQ. 　　图(1)　　　　　　　　　图(2) 考点30尺规作图及用无刻度的直尺作图 1 B　 2 D　分析如下.故选D. 分析 第1个 题图 连接CP,DP.由作图可知CP=DP,OC=OD.又OP=OP,∴△OCP≌△ODP,∴∠COP=∠DOP,即OP为∠AOB的平分线. 第2个 题图 由作图可知OC=OD,OA=OB,∴AC=BD.又∵∠AOD=∠BOC,∴△AOD≌△BOC,∴∠OAD=∠OBC.又∵AC=BD,∠APC=∠BPD,∴△APC≌△BPD,∴AP=BP.又∵OA=OB,OP=OP,∴△AOP≌△BOP,∴∠AOP=∠BOP,即OP为∠AOB的平分线. 第3个 题图 由作图可知∠ACP=∠AOB,OC=CP,∴CP∥OB,∠COP=∠CPO,∴∠CPO=∠BOP,∴∠COP=∠BOP,即OP为∠AOB的平分线. 第4个 题图 由作图可知OP⊥CD,OC=OD,∴OP为∠AOB的平分线. 3 C　由作图可得AB=AD=BC=DC,∴四边形ABCD是菱形(依据:四条边相等的四边形是菱形),∴AD∥BC,∠CBD=∠ABC,∴∠CBD=(180°-∠A)=(180°-44°)=68°. 4 C　∵AB为半圆O的直径,∴∠ACB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角).∵∠CAB=50°,∴∠ABC=40°.由作图知,BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABC=20°. 5 A　设AB=a,则BC=a,∴在Rt△ABC中,AC===a.由题意得AD=AE,CD=BC=a,∴AE=AD=AC-CD=a-a=a.∵AE=mAB,∴m=.故选A. 6 D　如图,由尺规作图可知,BF是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2.∵AD∥BC,∴∠3=∠2,∴∠1=∠3,∴AE=AB=CD=3,∴BC=AD=AE+DE=3+2=5.∵AB∥CD,∴∠F=∠1,∴∠2=∠F,∴CF=BC=5,∴DF=CF-CD=5-3=2=DE.∵AD∥BC,∴==.故选D. 7 6 【解析】由作图可知,BP平分∠ABC.又AD⊥BC,MN⊥AB,∴MD=MN=2.∵AD=4MD,∴AD=8,∴AM=6. 8 【解析】如图,过点F作FH⊥AC于点H,由作图可得∠BAP=∠CAP,DE⊥AB,AF=BF=AB=2.∵∠PQE=67.5°,∴∠AQF=67.5°.∴∠CAP=∠BAP=90°-67.5°=22.5°,∴∠FAH=45°,∴AH=FH=AF=,∴F到AN的距离为. 9 【探究论证】(1)2　(2)4 (3) S四边形EFGH=ab. 证明:∵EG⊥FH, ∴S△FEG=EG·FO,S△EHG=EG·HO, ∴S四边形EFGH=S△FEG+S△EHG=EG·FO+EG·HO=EG(FO+HO)=EG·FH=ab. 【理解运用】S四边形MPKQ=10. 解法提示:∵MN=3,KN=4,MK=5, ∴MN2+KN2=9+16=25=MK2, ∴∠MNK=90°,∴∠NMK+∠MKN=90°. 设PQ与MK交于点T. 由作图可知∠MPQ=∠MKN, ∴∠NMK+∠MPQ=90°, ∴∠PTM=90°,即PQ⊥MK, ∴S四边形MPKQ=×PQ×MK=×4×5=10. 10 (1)如图,AE即为所求.　　 (2)证明:∵AE为∠BAD的平分线, ∴∠BAE=∠DAE. ∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠BAE=∠DEA(依据:两直线平行,内错角相等), ∴∠DAE=∠DEA, ∴DA=DE(依据:等角对等边), ∴△ADE是等腰三角形.　 11 (1)作答如图. (2)①∠CFO=∠AEO　②OC=OA　③OF=OE　④过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线,与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 12 (1)如图(1)所示,直线l即为所作. 图(1)　　　　　　　　图(2) (2)如图(2), ∵DE为线段AB的垂直平分线, ∴BE=AE, ∴∠EBA=∠A=45°, ∴△ABE为等腰直角三角形, ∴BE=AB=×8=4. 13 (1)作图如图所示. (2)证明:由(1),得∠ECF=∠A, ∴CF∥AB. 又∵BE∥DC, ∴四边形CDBF是平行四边形. ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD=BD, ∴▱CDBF是菱形. 14 如图,△ABC即为所求作.(答案不唯一) 15 (1)如图,线段BO即为所求.　　　　 (2)证明:如图,∵BO是Rt△ABC的斜边AC上的中线, ∴BO=AC=AO=CO. 由旋转可知DO=BO, ∴DO=BO=AO=CO, ∴AC=BD,四边形ABCD为平行四边形, ∴四边形ABCD是矩形. 16 (1)如图(1),直线l就是所求作的直线. 图(1) (2)①当∠BAC=90°,AB=AC时,如图(2). ∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离,根据图形的对称性可知BC=2, ∴AB=AC=, ∴S△ABC=AB·AC=1. 图(2)图(3) ②当∠ABC=90°,BA=BC时,如图(3), 分别过点A,C作直线l1的垂线,垂足为M,N, ∴∠AMB=∠BNC=90°. ∵l∥l1∥l2,直线l1与l2间的距离为2,且l与l1间的距离等于l与l2间的距离, ∴CN=2,AM=1. ∵∠MAB+∠ABM=90°,∠NBC+∠ABM=90°, ∴∠MAB=∠NBC, ∴△AMB≌△BNC(模型:“一线三直角”全等模型), ∴BM=CN=2. 在Rt△ABM中,由勾股定理得AB2=AM2+BM2, ∴AB=. ∴S△ABC=AB·BC=. ③当∠ACB=90°,CA=CB时,如图(4),同理可得, S△ABC=. 综上所述,△ABC的面积为1或. 图(4) 17 感悟　证明:∵AB=AE,∴∠B=∠E. 在△ABC和△AED中, ∴△ABC≌△AED, ∴∠BAC=∠EAD. 应用　(1)作图如图(1)所示. 图(1) (2)作图如图(2)所示. 图(2) 18 (1)作图如图(1)所示. 图(1) 即点A,B,C将☉O的圆周三等分. (2)6 解法提示:∵点A,B,C是☉O的三等分点, ∴==,∴AB=BC=CA, ∴△ABC是等边三角形. 如图(2),连接AO,易知∠AOC=120°, 图(2) ∴∠OCA=×(180°-120°)=30°, ∴AC=2×OCcos 30°=2 cm, ∴△ABC的周长为3×2=6(cm). 19 (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AB∥CD,AD∥BC,AB=CD,AD=BC. ∵点E,F,G,H分别是▱ABCD各边的中点, ∴AE=AB=CD=CG,AE∥CG, ∴四边形AECG为平行四边形(依据:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形). 同理可得:四边形AFCH为平行四边形, ∴AM∥CN,AN∥CM, ∴四边形AMCN是平行四边形. (2)①AC⊥BD(答案不唯一) ②如图所示,即为所求.(作法不唯一) 20 (1)作图如图所示. (2)作图如图所示. (3)如图,过点M作MN⊥AB,垂足为点N,则MN=MC=12. 在Rt△AMN中,sin A=,∴AM=20, ∴AN==16, ∴cos A==. ∵AC=AM-MC=8, ∴AB==10, ∴BN=AN-AB=6. 在Rt△BMN中,BM==6. 一题多解 对于第(1)(2)问,可用如下方法作图. 21 (1) (2) 根据相似三角形的性质和矩形的面积,可以得到AD与AB的乘积为,从而可以得到点C,D的位置(说法不唯一,正确即可) 【解析】(1)根据勾股定理得AB==.(2)如图,易证△ABF∽△DAE(点拨:“一线三直角”相似模型),∴=,即=,∴AD=,∴AD·AB=×=.这样找到点D的位置,同理可以找到点C的位置. 22 (1)△A1B1C1如图所示. (2)40. (3)(3,0)或(4,2)或(5,4)或(6,6).(写出一个即可) 解题突破 ◀ ◀ ◀ 本题第(3)问需要学生利用网格得到△ABC的边AB,AC的长,判断出AB=AC=5,再结合等腰三角形“三线合一”的性质,判断出点E在BC的垂直平分线上,即可解决问题. 23 (1)如图(1),直线l1或l2即为所求(画出一条即可). 　　　　 图(1)　　　　　　　　 　　图(2) (2)如图(2),直线l3即为所求.　 24 (1)如图(1),射线AD即为所求. (2)如图(1),点E即为所求. (3)如图(2),点F及射线AF即为所求. (4)如图(2),线段MN即为所求. 　　　　　　图(1)　　　　　　　　　图(2) 25 (1)如图(1),直线BD即为所求. 图(1) (2)方法一:如图(2),直线BF即为所求. 图(2) 方法二:如图(3),直线BF即为所求. 图(3) 26 (1)如图(1),菱形BMEN即为所求(注:只需作出一种即可). 图(1) (2)如图(2),菱形BEPQ即为所求(注:只需作出一种即可). 图(2) 学科网（北京）股份有限公司 $