考点27 圆的基本性质（2024年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

考点27 圆的基本性质 命题点1 圆的相关概念、过三点画圆的条件　 1.(2024连云港)如图,将一根木棒的一端固定在O点,另一端绑一重物.将此重物拉到A点后放开,让此重物由A点摆动到B点.则此重物移动路径的形状为 (　　) A.倾斜直线 B.抛物线 C.圆弧 D.水平直线 2.(2023连云港)如图,甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形;乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形;丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形.下列叙述正确的是 (　　) A.只有甲是扇形 B.只有乙是扇形 C.只有丙是扇形 D.只有乙、丙是扇形 (第2题)　(第3题) 3.(2023江西)如图,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 (　　) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 命题点2 圆周角定理及其推论的相关计算 4.(2024湖南)如图,AB,AC为☉O的两条弦,连接OB,OC,若∠A=45°,则∠BOC的度数为 (　　) A.60° B.75° C.90° D.135° (第4题)　　(第5题)　　(第6题) 5.(2024云南)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D= (　　) A.9° B.18° C.36° D.45° 6.(2024甘肃)如图,点A,B,C在☉O上,AC⊥OB,垂足为D,若∠A=35°,则∠C的度数是 (　　) A.20° B.25° C.30° D.35° 7.(2024宜宾)如图,AB是☉O的直径,若∠CDB=60°,则∠ABC的度数等于 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° (第7题)　　(第8题)　　(第9题) 8.(2023岳阳)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何?”结合图形(如图),其大意是:今有圆形木材,直径BD为25寸(注:1寸≈3.33厘米),要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是 (　　) A. 寸　 B.25寸　 C.24寸　 D.7寸 9.(2024泰安)如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,BA平分∠CBD.若∠AOD=50°,则∠A的度数为 (　　) A.65° B.55° C.50° D.75° 10.(2024宜宾)如图,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于D.则的值为 (　　) A. B. C.2 D.2 (第10题)　　(第11题)　 11.(2023河北)如图,点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为a,b,则下列正确的是 (　　) A.a<b B.a=b C.a>b D.a,b大小无法比较 12.(2024武汉)如图,四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=60°,∠BAC=∠CAD=45°,AB+AD=2,则☉O的半径是 (　　) A. B. C. D. (第12题)　　(第13题) 13.(2024北京)如图,☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=　　　　°.  14.(2024南充)如图,AB是☉O的直径,位于AB两侧的点C,D均在☉O上,∠BOC=30°,则∠ADC=　　　　°.  (第14题)　　(第15题)　　(第16题) 15.(2024苏州)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若∠OBC=28°,则∠A=　　　　°.  16.(2024陕西)如图,BC是☉O的弦,连接OB,OC,∠A是所对的圆周角,则∠A与∠OBC 的和的度数是　　　　.  17.(2024临沂)如图,△ABC是☉O的内接三角形,若OA∥CB,∠ACB=25°,则∠CAB=　　　　.  (第17题)　　(第18题)　　(第19题) 18.(2024连云港)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4=　　　　°.  19.(2024眉山)如图,△ABC内接于☉O,点O在AB上,AD平分∠BAC交☉O于点D,连接BD.若AB=10,BD=2,则BC的长为　　　　.  命题点3 垂径定理及其推论 角度1垂径定理及其推论的相关计算 20.(2024新疆)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 (第20题)　　　　(第21题)　　　　 21.(2024广州)如图,☉O中,弦AB的长为4,点C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面内有一点P,若OP=5,则点P与☉O的位置关系是 (　　) A.点P在☉O上 B.点P在☉O内 C.点P在☉O外 D.无法确定 22.(2024重庆B)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,点D是☉O上一点,连接BD,CD.若∠D=28°,则∠OAB的度数为 (　　) A.28° B.34° C.56° D.62° 角度2垂径定理的实际应用 23.(2024通辽)如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心O.若AB=1 m,CD=2.5 m,则拱门所在圆的半径为 (　　) A.1.25 m B.1.3 m C.1.4 m D.1.45 m 24.(2024凉山州)数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交于点C,测出AB=40 cm,CD=10 cm,则圆形工件的半径为 (　　) A.50 cm B.35 cm C.25 cm D.20 cm (第24题)　　　(第25题)　 25. (2023东营)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问径几何.”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸(注:1寸≈3.33厘米),AB=10寸,则直径CD的长度为　　　　寸.  命题点4 圆内接四边形 26.(2024广元)如图,已知四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AD延长线上一点,∠AOC=128°,则∠CDE等于 (　　) A.64° B.60° C.54° D.52° (第26题)　　　　(第27题)　　　 27.(2024吉林)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点B作BE∥AD,交CD于点E.若∠BEC=50°,则∠ABC的度数是 (　　) A.50° B.100° C.130° D.150° 28.(2024济宁)如图,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边,延长线相交于点E,F.若∠E=54°41',∠F=43°19',则∠A的度数为 (　　) A.42° B.41°20' C.41° D.40°20' (第28题)　　(第29题)　　　 29.(2024滨州)如图,四边形ABCD内接于☉O,若四边形OABC是菱形,则∠D=　　　　°.  命题点5 圆的基本性质综合题 30.(2024安徽)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE. (1)求证:CD⊥AB; (2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长. 31.(2024新疆)如图,在☉O中,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,=. (1)求证:△ACD∽△ECB; (2)若AC=3,BC=1,求CE的长. 32.(2024苏州)如图,△ABC中,AB=4,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆. (1)求BC的长; (2)求☉O的半径. 33.(2023长春) 【感知】如图(1),点A,B,P均在☉O上,∠AOB=90°,则锐角∠APB的大小为　　　　度.  【探究】小明遇到这样一个问题:如图(2),☉O是等边三角形ABC的外接圆,点P在上(点P不与点A,C重合),连接PA,PB,PC.求证:PB=PA+PC. 小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA,可推得△PBE是等边三角形,进而得证. 下面是小明的部分证明过程: 证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE. ∵四边形ABCP是☉O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°. ∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE. ∵△ABC是等边三角形.∴BA=BC, ∴△PBC≌△EBA(SAS). 请你补全余下的证明过程. 【应用】如图(3),☉O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在☉O上,且点P与点B在AC的两侧,连接PA,PB,PC.若PB=2PA,则的值为　　　　.  　 图(1)　　　　图(2)　　　　　图(3) 考点27圆的基本性质 1 C 2 B　由扇形的定义(提示:由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形)可知,只有乙是扇形.故选B. 3 D　∵不在同一直线上的三个点确定一个圆,∴能作圆的情况有A,B,P;A,C,P;A,D,P;B,C,P;B,D,P;C,D,P,共6种,故最多可画出圆的个数为6个.故选D. 4 C　∠BOC=2∠BAC=90°(依据:同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍). 5 B　连接OB,∵=,∴∠BOC=∠AOC=36°(依据:等弧所对的圆心角相等),∴∠D=∠BOC=18°(依据:圆周角定理). 6 A　∵∠A=35°,∴∠O=2∠A=70°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).∵AC⊥OB,∴∠CDO=90°,∴∠C=90°-∠O=20°.故选A. 7 A　∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°(依据:圆周角定理的推论).∵∠A=∠CDB=60°(依据:同弧所对的圆周角相等),∴∠ABC=180°-∠ACB-∠A=90°-∠A=30°.故选A. 8 C　由题意知,四边形ABCD是矩形,∴BC⊥CD,∴在Rt△BCD中,BC===24(寸),故选C. 9 A　∵∠AOD=50°,∴∠ABD=∠AOD=25°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半).∵BA平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD=25°.∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°(依据:直径所对的圆周角是直角),∴∠A=180°-90°-25°=65°.故选A. 10 A　如图,连接BD,CD.∵BC是☉O的直径,∴∠BAC=∠BDC=90°(依据:圆周角定理的推理).∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴=,∴BD=CD.将△ADC绕点D逆时针旋转90°,得到△A'DB,∠A'BD+∠ABD=∠ABD+∠ACD=180°,故A,B,A'三点共线,∴AB+AC=AB+A'B=AA'(点拨:截长补短法).∵由旋转可知∠A'DB=∠ADC,A'D=AD,∴∠A'DA=∠A'DB+∠BDA=∠ADC+∠BDA=∠BDC=90°,∴在等腰直角三角形A'DA中,=,∴=.故选A. 一题多解 本题可利用特殊位置求解.当点A在BC的垂直平分线上时,AD为直径,易得AB=AC=BC,∴==. 11 A　△P1P3P7的周长=P7P3+P1P3+P1P7=a,四边形P3P4P6P7的周长=P7P3+P4P6+P3P4+P6P7=b.如图,连接P1P8,P7P8,则P1P8+P7P8>P1P7.∵点P1~P8是☉O的八等分点,∴P1P3=P4P6,P1P8=P7P8=P3P4=P6P7,∴P3P4+P6P7>P1P7,∴b>a. 12 A　如图,延长AB至点E,使BE=AD,连接BD,CE.∵AB+AD=2,∴AB+BE=AE=2.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ADC+∠ABC=180°(提示:圆内接四边形对角互补).又∠ABC+∠CBE=180°,∴∠ADC=∠CBE.∵∠BAC=∠CAD=45°,∴∠CDB=∠CBD=45°(依据:同弧所对的圆周角相等),∴DC=BC,∠DCB=90°,∴△ADC≌△EBC(SAS),∴∠ACD=∠ECB,CA=CE,∴∠ACE=∠DCB=90°,∴△ACE是等腰直角三角形,∴AC=AE=.连接CO并延长交☉O于点F,连接AF,则∠FAC=90°(依据:直径所对的圆周角为直角).又∵∠AFC=∠ABC=60°,∴CF==,∴OF=OC=CF=. 13 55 【解析】∵直径AB平分弦CD,∴AB⊥CD.∵∠A=∠D=35°(依据:同弧所对的圆周角相等),∴∠C=90°-35°=55°. 14 75 【解析】∵∠BOC=30°,∴∠AOC=180°-∠BOC=150°,∴∠ADC=∠AOC=75°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半). 一题多解 连接BD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角).∵∠BOC=30°,∴∠BDC=∠BOC=15°,∴∠ADC=∠ADB-∠BDC=75°. 15 62 【解析】如图,连接OC,∵OB=OC,∠OBC=28°,∴∠OCB=∠OBC=28°,∴∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC=124°,∴∠A=∠BOC=62°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半). 16 90° 17 40° 【解析】如图,连接OB,∵∠ACB=25°,∴∠AOB=2∠ACB=50°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半).∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=(180°-∠AOB)=65°.∵OA∥CB,∴∠OAC=∠ACB=25°,∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°. 18 90　 【解析】如图,连接FD,FE,FB,则∠AFB=90°(依据:直径所对的圆周角为直角),∠CFD=∠2,∠DFE=∠3,∠EFB=∠4(依据:同弧所对的圆周角相等),∴∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠CFD+∠DFE+∠EFB=∠AFB=90°. 19 8 【解析】如图,延长AC,BD交于点E.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠ADE=∠ACB=∠BCE=90°.∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAE.又∵AD=AD,∴△ABD≌△AED(ASA),∴DE=BD=2,∴BE=4.∵AB=10,BD=2,∴AD==4.∵∠DAC=∠CBD,∠BAD=∠DAE,∴∠BAD=∠CBD,∴△ABD∽△BEC,∴=,∴=,∴BC=8. 20 B　∵AB是☉O的直径,且AB⊥CD,∴DE=CD=4(依据:垂径定理).在Rt△DOE中,OE==3,∴BE=5-3=2.故选B. 21 C　连接AO.∵∠ABC=30°,∴∠AOC=60°.设OC与AB交于点D.∵OC⊥AB,∴AD=BD=AB=2,∴OA==4.∵OP=5>4,∴点P在☉O外. 22 B　∵∠D=28°,∴∠BOC=2∠D=56°.∵OC⊥AB,OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=90°-∠BOC=34°. 23 B　24 C 25 26 【解析】如图,连接OA.∵AB⊥CD,AB=10,∴AE=BE=5.设☉O的半径为x,则OC=OA=x,∴OE=x-1.在Rt△AOE中,根据勾股定理,得x2-(x-1)2=52,∴2x=26,即直径CD的长度是26寸. 26 A 27 C　∵BE∥AD,∴∠D=∠BEC=50°,∴∠ABC=180°-∠D=130°(点拨:圆内接四边形对角互补). 28 C 29 60 【解析】∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠B+∠D=180°.∵四边形OABC是菱形,∴∠B=∠AOC,∴∠AOC+∠D=180°.又∠AOC=2∠D,∴3∠D=180°,∴∠D=60°. 一题多解 如图,连接OB,∵四边形OABC是菱形,∴△OAB是等边三角形,∴∠OAB=60°,∴∠OAB+∠AOC=180°,∴∠AOC=180°-∠OAB=120°,∴∠D=∠AOC=60°(依据:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半). 30 (1)证明:因为FA=FE,所以∠FAE=∠AEF. 又∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角, 所以∠FAE=∠BCE. 由于∠AEF=∠CEB,所以∠CEB=∠BCE. 因为CE平分∠ACD,所以∠ACE=∠DCE. 又AB是直径,所以∠ACB=90°. 于是∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°. 故∠CDE=90°,即CD⊥AB. (2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,所以BE=BC. 又AF=EF,FM⊥AB,所以MA=ME=2,AE=4, 从而圆的半径OA=OB=AE-OE=3, 于是BC=BE=OB-OE=2. 在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°, 所以AC===4, 即AC的长为4. 31 (1)证明:∵=, ∴∠ACD=∠BCE(依据:等弧所对的圆周角相等). 又∵∠ADC=∠ABC(依据:同弧所对的圆周角相等), ∴△ACD∽△ECB. (2)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°(依据:直径所对的圆周角是直角), ∴∠ACD=∠BCD=45°. 过点B作BF⊥CD于点F,如图,则BF=CF=BC=. ∵∠CAB=∠CDB, ∴tan∠CDB=tan∠CAB=, ∴=, ∴DF=, ∴CD=CF+DF=2. ∵△ACD∽△ECB, ∴=,即=, ∴CE=. 一题多解 第(2)问有其他解法: 方法一:∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ACB中,AB===, ∴sin∠CAB=,cos∠CAB=,AO=BO=. 过点C作CG⊥AB于点G,如图(1),则CG=ACsin∠CAG=,AG=ACcos∠CAG=, ∴OG=AG-AO=. 连接OD,∵=,∴AD=BD. 又∵AO=OB, ∴DO⊥AB(依据:等腰三角形“三线合一”), ∴DO∥CG, ∴△OED∽△GEC(依据:“8”字型相似), ∴===, ∴EG=OG=. 在Rt△CEG中,CE==.　 图(1)　　　　　　　　图(2) 方法二:如图(2),过点E作EM⊥BC于点M. ∵AB是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACD=∠BCE=45°, ∴∠CEM=45°=∠ECM, ∴ME=MC. ∵∠ACM=∠EMB=90°, ∴EM∥AC, ∴∠BEM=∠BAC(依据:两直线平行,同位角相等), ∴tan∠BEM=tan∠BAC=. 在Rt△BEM中,设BM=m,则CM=EM=3m, ∴BC=BM+CM=4m. ∵BC=1,∴m=,∴CM=, ∴CE=CM=. 32 (1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,∴△BAC∽△BCD, ∴=. ∵AB=4,D为AB的中点,∴BD=AD=2, ∴=,∴BC=4. (2)如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接CO,并延长交☉O于F,连接AF. 在Rt△AED中,cos∠CDA==. ∵AD=2,∴DE=1, ∴AE==. ∵△BAC∽△BCD,∴==. 设CD=x,则AC=x,CE=x-1. ∵在Rt△ACE中,AC2-CE2=AE2, ∴(x)2-(x-1)2=()2, 即x2+2x-8=0,解得x1=2,x2=-4(舍去). ∴CD=2,AC=2. ∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角, ∴∠AFC=∠ADC. ∵CF为☉O的直径, ∴∠CAF=90°(依据:直径所对的圆周角是直角), ∴sin∠AFC==sin∠CDA==. ∴CF=,∴☉O的半径为. 33 【感知】45　 【探究】补充证明过程如下: ∴PB=EB,∠PBC=∠EBA, ∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°, ∴△PBE是等边三角形, ∴PB=PE=PA+AE=PA+PC. 【应用】 解法提示:如图,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE. ∵四边形ABCP是☉O的内接四边形, ∴∠BAP+∠BCP=180°(依据:圆内接四边形对角互补). 又∵∠BAP+∠BAE=180°, ∴∠BCP=∠BAE. 又∵PC=AE,BC=AB, ∴△PBC≌△EBA(SAS), ∴PB=EB,∠PBC=∠EBA, ∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°, ∴PE=PB. ∵PE=PA+AE=PA+PC, ∴PA+PC=PB, 又∵PB=2PA, ∴PA+PC=×2PA=4PA, ∴PC=3PA, ∴==. 学科网（北京）股份有限公司 $