第一部分 分类训练19 锐角三角函数及其应用（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练19 锐角三角函数及其应用 考点1　直角三角形的边角关系 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 1.(2025云南)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.若AB=13,BC=5,则sin A= (　　) A. B. C. D. 2.新考法结合网格　(2025威海)问题提出 已知∠α,∠β都是锐角,tan α=,tan β=,求∠α+∠β的度数. 问题解决 (1)如图,小亮同学在由边长为1的正方形组成的网格中画出∠BAD和∠CAD,请你按照这个思路求∠α+∠β的度数.(点A,B,C,D都在格点上) 策略迁移 (2)已知∠α,∠β都是锐角,tan α=,tan β=,则∠α+∠β=　　　　°.  (3)已知∠α,∠β,∠θ都是锐角,tan α=,tan β=,∠α+∠β=∠θ,求tan θ的值. (提示:在正方形网格中画出求解过程的图形,并直接写出答案) 　 备用图(1)　　　备用图(2) 考点2　锐角三角函数的实际应用 考向1　坡度、坡角问题 3.(2025绥化)如图,某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i=1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比),堤坝高BC=15 m,则迎水坡面AB的长度是　　　　m.  4.(2025扬州)如图(1),棱长为9 cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上,其中水面高度BM=7 cm.将此正方体放在坡角为α的斜坡上,此时水面MN恰好与点A齐平,其主视图如图(2)所示,则tan α=　　　　.  图(1)　　　　　　　　图(2) 考向2　仰角、俯角问题 5.(2025成都)在综合与实践活动中,某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图,无人机从西门A处垂直上升至C处,在C处测得东门B的俯角为30°,然后沿AB方向飞行60米到达D处,在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离.(结果精确到0.1米;参考数据:sin 63.4°≈0.89,cos 63.4°≈0.45,tan 63.4°≈2.00,≈1.73) 6.(2025安徽)某公司为庆祝新产品上市,在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示,甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示,彩带用线段AD表示.工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°,测得点D的仰角为36.9°.已知AB=13.20 m,求AD的长(精确到0.1 m). 参考数据:sin 23.8°≈0.40,cos 23.8°≈0.91,tan 23.8°≈0.44, sin 36.9°≈0.60,cos 36.9°≈0.80,tan 36.9°≈0.75. 7.(2025青岛)学校综合实践小组测量博学楼的高度.如图,点A,B,C,D,E在同一平面内,点B,C,D在同一水平线上.一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°,另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点,在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°,求博学楼DE的高度. (参考数据:sin 22°≈,cos 22°≈,tan 22°≈,sin 42°≈,cos 42°≈,tan 42°≈) 8.(2025陕西)小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度.在征得家长同意后,他们带着工具前往测量,测量示意图如图所示,他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE,测得信号杆顶端A的仰角α为45°,DE与坡面的夹角β为72.5°,又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22 m.已知DE=1.7 m,点A,B,C在同一条直线上,AB,DE均与水平线FC垂直.试求信号杆AB的高.(参考数据:sin 72.5°≈0.95,cos 72.5°≈0.30,tan 72.5°≈3.17) 考向3　方向角问题 9.(2025长沙)如图,某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上,位于景点A的北偏东30°方向上,景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800 m. (1)求∠ACB的度数; (2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号) 10.新情境无人机巡视林场　(2025重庆)为加强森林防火,某林场采用人工瞭望与无人机巡视两种方式监测森林情况.如图,A,B,C,D在同一平面内.A是瞭望台,某一时刻,观测到甲无人机位于A的正东方向10千米的B处,乙无人机位于A的南偏西30°方向20千米的D处.两无人机同时飞往C处巡视,D位于C的正西方向上,B位于C的北偏西30°方向上. (参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24,≈2.65) (1)求BD的长度(结果保留小数点后一位). (2)甲、乙两无人机同时分别从B,D出发沿BC,DC往C处进行巡视,乙无人机的速度为甲无人机速度的2倍.当两无人机相距20千米时,它们可以开始相互接收到信号.请问甲无人机飞离B处多少千米时,两无人机可以开始相互接收到信号(结果保留小数点后一位)? 考向4　实物问题 11.(2025甘肃)如图(1),位于嘉峪关的长城第一墩,又称天下第一墩,是明代万里长城最西端的一座墩台,始建于明嘉靖十八年(1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上,扼守丝绸之路咽喉要道,与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系.随着岁月的变迁和自然的风化,长城第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一墩的现存高度,某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动.如图(2)是他们测量长城第一墩高度AB的示意图,点A为最高点,点B,F,D是地面同一直线上的三个点(点D,F都在保护栅栏外),在D,F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°,∠AEG=22°,其中CD=EF=1.7 m(测角仪的高度),DF=CE=5.5 m,求长城第一墩的高度AB(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93,tan 22°≈0.40,sin 16.7°≈0.29,cos 16.7°≈0.96,tan 16.7°≈0.30). 图(1)　　图(2) 12.新素材靠墙玻璃淋浴房　(2025江西)图(1)是一种靠墙玻璃淋浴房,其俯视示意图如图(2)所示,AE与DE两处是墙,AB与CD两处是固定的玻璃隔板,BC处是门框,测得AB=BC=CD=60 cm,∠ABC=∠BCD=135°,MN处是一扇推拉门,推动推拉门时,两端点M,N分别在BC,CD对应的轨道上滑动.当点N与点C重合时,推拉门与门框完全闭合;当点N滑动到限位点P处时,推拉门推至最大,此时测得∠CNM=6°. (1)在推拉门从闭合到推至最大的过程中, ①∠CMN的最小值为　　　　度,最大值为　　　　度;  ②△CMN面积的变化情况是 (　　) A.越来越大 B.越来越小 C.先增大后减小 (2)当∠CMN=30°时,求△CMN的面积. 图(1)　　　　　　图(2) 考向5　项目式学习型 13.(2025新疆)某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动,撰写实验报告如下: 实验 主题 测量校徽的高度 工具 准备 测角仪、卷尺等 实 验 过 程 1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处,由于大树CD的遮挡,视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F,C,E三点在同一直线上); 2.测量A,D两点和B,D两点间的距离; 3.用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG; 4.向后退至点H处时,视线恰能看到校徽底部M处(此时N,C,M三点在同一直线上),测量B,H两点间的距离; 5.用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG. 实 验 图 示 测 量 数 据 1.AD=4 m 2.BD=10 m 3.BH=13.5 m 4.∠EFG=43° 5.∠MNG=21.8° 备注 1.图上所有点均在同一平面内;2.AE,CD,FB,NH均与地面垂直. 参考数据:sin 21.8°≈0.37,cos 21.8°≈0.93,tan 21.8°≈0.40; sin 43°≈0.68,cos 43°≈0.73,tan 43°≈0.93. 请你根据以上实验过程和测量的数据,计算校徽的高度EM的值. 14.(2025山西) 图(1) 项目学习 项目背景:如图(1),“源池泉涌”为我省某景区的一个景点,主体设计包括外栏墙与内栏墙,外栏墙高于内栏墙,两栏中间为步道,内栏墙内为泉池,池内泉水清澈见底.从正上方看,外栏墙呈正八边形,内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动,形成了如下活动报告. 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案 说明 图(2)为该景点俯视图的示意图,点A,D是正八边形中一组平行边的中点,BC为圆的直径,图中点A,B,C,D在同一条直线上. 图(3)为测量方案示意图,直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙AE与DF均与水平地面垂直,且AE=DF.BE,CF均表示步道的宽,BE=CF.图中各点都在同一竖直平面内. 俯视图的示意图图(2) 测量方案示意图图(3) 数据 测量 在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°,∠DAC=8.5°,AD=26米.图中墙的厚度均忽略不计. 计算 … 交流展示 … 请根据上述数据,计算内栏墙围成泉池的直径BC的长(结果精确到1米.参考数据:sin 8.5°≈0.15,cos 8.5°≈0.99,tan 8.5°≈0.15,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75). 考向6　其他问题 15.新考法结合双动点问题　(2025苏州)两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作,∠ABC=90°,AB=40 m,BC=30 m,直线BD为生产流水线,且BD平分△ABC的面积(即D为AC中点).机器人甲从点A出发,沿A→B的方向以v1(m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点P表示,机器人乙从点B出发,沿B→C→D的方向以v2(m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发,设机器人运动的时间为t(min),记点P到BD的距离(即垂线段PP'的长)为d1(m),点Q到BD的距离(即垂线段QQ'的长)为d2(m).当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动,此时d1=7.5 m.d2与t的部分对应数值如下表(t1<t2): t(min) 0 t1 t2 5.5 d2(m) 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为　　　　m;  (2)求t2-t1的值; (3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等(即d1=d2)时,求t的值. 备用图 分类训练19锐角三角函数及其应用 1 D　 2 (1)如图(1),连接BC. 图(1) 观察可知,tan∠BAD=,tan∠CAD=, ∴∠α=∠BAD,∠β=∠CAD. ∵AB2=BC2=12+22=5,AC2=12+32=10, ∴AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°, ∴∠α+∠β=45°. (2)90 解法提示:如图(2),取格点A,B,C,D,使tan∠BAD=,tan∠CAD=,连接BC. 图(2) ∴∠α=∠BAD,∠β=∠CAD. ∵AB2=AC2=22+32=13,BC2=12+52=26, ∴AB2+AC2=BC2, ∴△ABC是等腰直角三角形, ∴∠BAC=90°, ∴∠α+∠β=∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°. (3)如图(3).tan θ=. 图(3) 解法提示:取格点D,F,G,H,使tan∠GDH=,tan∠HDF=, ∴∠α=∠GDH,∠β=∠HDF. ∵∠α+∠β=∠θ, ∴∠θ=∠GDH+∠HDF=∠GDF. ∵DG==2,GF==,DF==5, ∴DG2+GF2=DF2, ∴∠DGF=90°, ∴tan θ=tan∠GDF===. 3 15 4 【解析】在题图(2)中,易知∠DAN=α,设DN=x cm.结合题意,根据容器里水的体积不变可列方程为9×9×7=9×9×9-x×9×9,整理得7=9-x,解得x=4,即DN=4 cm,∴tan α=tan∠DAN==. 5 由题意,得∠CAB=∠ACD=90°,∠ABC=∠BCD=30°,CD=60米. 在Rt△ACD中,AC=CD·tan 63.4°≈60×2.00=120(米), ∴在Rt△ABC中,AB==120≈207.6(米). 答:校园西门A与东门B之间的距离约为207.6米. 6 如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E. 由题意知,四边形ABCE为矩形,所以CE=AB=13.20. 在Rt△ACE中,tan∠CAE=, 所以AE==≈=30.0. 在Rt△ADE中,cos∠DAE=, 所以AD==≈=37.5. 因此,AD的长约为37.5 m. 7 如图,过点E作EF⊥AB于点F,则四边形BDEF是矩形, ∴EF=BD,BF=DE. 由题意知,AB=19米,BC=15米,∠AEF=22°. 设CD=x米,则EF=BD=BC+CD=(x+15)米. 在Rt△DCE中,∠ECD=42°,tan∠ECD=, ∴DE=CD·tan 42°≈x米, ∴BF=DE=x米. 在Rt△AEF中,∠AEF=22°,tan∠AEF=, ∴AF=EF·tan 22°≈(x+15)米. ∵AF+BF=AB, ∴(x+15)+x=19,解得x=10, ∴DE=x=×10=9(米). 故博学楼DE的高度约为9米. 8 如图,分别过点D,E作AC的垂线,垂足分别为G,H,则四边形DEHG是矩形. 由题意可得∠DBG=β=72.5°. 在Rt△BDG中,DG=BDsin 72.5°≈22×0.95=20.9(m),BG=BDcos 72.5°≈22×0.30=6.6(m), ∴EH=DG=20.9 m. 在Rt△AEH中,∠AEH=45°,∴AH=EH=20.9 m. ∵HG=DE=1.7 m, ∴AB=AG-BG=AH+HG-BG=20.9+1.7-6.6=16(m). 答:信号杆AB的高约为16 m. 9 (1)如图,由题意可得∠CBE=60°,∠CAF=30°,∠BDM=45°,BM⊥DM,BE∥AF∥DM, ∴∠BCM =∠CBE=60°,∠ACM=∠CAF=30°, ∴∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°. (2)∵∠CBE=60°, ∴∠CBM =90°-∠CBE=90°-60°=30°. 由(1)得∠ACB=30°, ∴∠ABC=∠ACB=30°. 又∵AB=800, ∴AC=AB=800. 在Rt△ACM中,sin∠ACM=,cos∠ACM=, ∴AM=AC·sin∠ACM=800sin 30°=800×=400, CM=AC·cos∠ACM =800cos 30°=800×=400, ∴BM=BA+AM=800+400=1 200. ∵∠BDM=45°,BM⊥DM, ∴DM=BM=1 200, ∴DC=DM-CM=1 200-400, ∴景点C与景点D之间的距离为(1 200-400)m. 10 (1)如图,过点A作AE⊥CD于点E,过点B作BF⊥CD于点F. 在Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=20, ∴AE=AD·cos∠DAE=20·cos 30°=10,DE=AD·sin∠DAE=20·sin 30°=10. ∵甲无人机位于A的正东方向10千米的B处,D位于C的正西方向上, ∴AB∥CD,AB=10,∴AE⊥AB,BF⊥AB, ∴四边形AEFB是矩形, ∴EF=AB=10,BF=AE=10, ∴DF=DE+EF=20, ∴BD==10≈26.5(千米). 答:BD的长度约为26.5千米. (2)在Rt△FBC中,∠BCF=90°-30°=60°, ∴BC===20, CF===10, ∴CD=DF+CF=30. 如图,假设当甲无人机运动到M,乙无人机运动到N时,满足MN=20.过点M作MT⊥CD于点T. 设BM=x,则DN=2x,CM=(20-x). 在Rt△CMT中,CT=CM·cos∠MCT=(20-x)·cos 60°=10-x, MT=CM·sin∠MCT=(20-x)·sin 60°=10-x, ∴TN=CD-DN-CT=30-2x-(10-x)=20-x. 在Rt△MNT中,由勾股定理,得MN2=MT2+TN2, ∴202=(10-x)2+(20-x)2, ∴x1=15-5,x2=15+5(舍去), ∴BM=15-5≈3.8(千米). 答:甲无人机飞离B处约3.8千米时,两无人机可以开始相互接收到信号. 11 设AG的长为x m,由题意得, 在Rt△AGE中,GE==≈. 在Rt△AGC中,GC==≈. ∵GC-GE=EC=5.5 m, ∴-=5.5, 解得x=6.6,即AG=6.6 m. 由已知得GB=CD=EF=1.7 m, ∴AB=AG+GB=6.6+1.7=8.3(m). 答:长城第一墩的高度AB约为8.3 m. 12 (1)①0　39 ②C (2)如图,过点N作NH⊥BC交BC的延长线于点H. 依题意可知:MN=BC=60 cm. ∵∠CMN=30°, ∴NH=MN=30 cm,MH=MN·cos 30°=MN=30 cm. ∵∠BCD=135°,∴∠NCH=∠CNH=45°, ∴CH=NH=30 cm,∴MC=(30-30)cm, ∴S△CMN=×(30-30)×30=(450-450)(cm2). 答:当∠CMN=30°时,△CMN的面积为(450-450)cm2. 13 易得四边形FBAG,四边形NHAG为矩形, ∴FG=AB=AD+BD=4+10=14(m),NG=AH=AD+DB+BH=4+10+13.5=27.5(m). ∵在Rt△EFG中,tan∠EFG=, ∴EG=FG·tan∠EFG=14×tan 43°≈14×0.93=13.02(m). 在Rt△MNG中,tan∠MNG=, ∴MG=NG·tan∠MNG=27.5×tan 21.8°≈27.5×0.40=11(m), ∴EM=EG-MG=13.02-11=2.02(m). 答:校徽的高度EM约为2.02 m. 14 由题意得,∠AEF=90°,四边形AEFD为矩形, ∴EF=AD=26米,AD∥EF, ∴∠ABE=∠DAB=37°,∠ACE=∠DAC=8.5°. 设BE=CF=x米,则CE=(26-x)米,BC=(26-2x)米. 在Rt△ABE中,∠AEB=90°,tan∠ABE=, ∴AE=BE·tan ∠ABE=x·tan 37°. 在Rt△ACE中,∠AEC=90°,tan∠ACE=, ∴AE=CE·tan∠ACE=(26-x)·tan 8.5°, ∴x·tan 37°=(26-x)·tan 8.5°, 解得x≈, ∴BC=26-2×≈17(米). 答:内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米. 15 (1)55 (2)方法一:根据题意,得v2==10. ∵△ABC中,∠ABC=90°,AB=40,BC=30,∴AC=50. ∵△ABC中,∠ABC=90°,D为AC中点, ∴BD=CD=AD=25, ∴∠ABD=∠BAC,∠DBC=∠C, ∴sin∠ABD=sin∠BAC=,sin∠DBC=sin C=. 当点Q在BC上时,d2=BQ·sin∠DBC=10t·=8t, ∴8t1=16,解得t1=2. 当点Q在CD上时,如图(1),过点A作AH⊥BD,垂足为H, 图(1) 则AH=AB·sin∠ABD=40×=24. ∵∠CDB=∠ADH,∴sin∠CDB=sin∠ADH=, ∴d2=QD·sin∠CDB=(55-10t)×=-t, ∴-t2=16,解得t2=, ∴t2-t1=-2=. 方法二:如图(2),由方法一,得v2=10. 当点Q1在BC上时,由d2=16,得BQ1===20, ∴CQ1=BC-BQ1=10. ∵当t=t1,t=t2时,d2=16,∴Q1Q2∥BD, ∴===,∴CQ1+CQ2=(CB+CD)=, ∴t2-t1==×=. 图(2) (3)∵当t=5.5时,d1=7.5. 此时,BP===12.5, ∴AP=AB-BP=40-12.5=27.5, ∴v1===5, ∴d1=BP·sin∠ABD=(40-5t)×=24-3t. 当点Q在BC上时,由d1=d2,得24-3t=8t,解得t=. 当点Q在CD上时,由d1=d2,得24-3t=-t,解得t=, ∴t=或t=. 学科网（北京）股份有限公司 $