第一部分 分类训练16 三角形（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练16 三角形 考点1　三角形及边角关系　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 考向1　三角形的三边关系 1.(2025连云港)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 (　　) A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.新课标开放性试题　(2025河北)平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为n.若n 为整数,则n的值可以为　　　　.(写出一个即可)  考向2　三角形的内角及内外角关系 3.(2025南充)如图,把含有60°的直角三角板斜边放在直线l上,则∠α的度数是 (　　) A.120° B.130° C.140° D.150° 4.(2025齐齐哈尔)将一个含30°角的三角尺和直尺按如图摆放,若∠1=50°,则∠2的度数是 (　　) A.50° B.60° C.70° D.80° 　　　　(第4题) 　　(第5题) 5.(2024凉山州)如图,△ABC中,∠BCD=30°,∠ACB=80°,CD是边AB上的高,AE是∠CAB的平分线,则∠AEB的度数是　　　　.  考点2　与三角形有关的重要线段 6.(2025河南)如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,点D,E分别是边BA,CA与网格线的交点,连接DE,则DE的长为 (　　) A. B.1 C. D. (第6题)　　(第7题) 7.(2025连云港)如图,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2025广东)如图,D,E,F分别是△ABC各边上的中点,若∠A=70°,则∠EDF= (　　) A.20° B.40° C.70° D.110° (第8题)　　(第9题)　　(第10题) 9.(2025辽宁)如图,在△ABC中,AB=16,BC=12,CA=10,∠ABC的平分线BP与AC相交于点D.在线段AD上取一点K,以点C为圆心,CK长为半径作弧,与射线BP相交于点M和点N,再分别以点M和点N为圆心,大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点Q,作射线CQ,与AB相交于点E,连接DE,则△DAE的周长为 (　　) A.12 B.14 C.16 D.18 10.(2025成都)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2.以点A为圆心,以AB长为半径作弧;再以点C为圆心,以BC长为半径作弧,两弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长为　　　　.  考点3　等腰三角形 11.(2025扬州)在如图的房屋人字梁架中,AB=AC,点D在BC上,下列条件不能说明AD⊥BC的是 (　　) A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC (第11题)　　(第12题) 12.(2025安徽)如图,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC,边AC的中点为D,边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE=,则AC的长是 (　　) A.4 B.6 C.2 D.3 13.(2024内江)如图,在△ABC中,∠DCE=40°,AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数为　　　　.  14.(2025长沙)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=72°,以点C为圆心,适当长为半径作弧,交CA于点M,交CB于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长度为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数; (2)若BC=2.5,求AD的长. 考点4　等边三角形 15.(2025资阳)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B,点E在线段AB上,CE∥DA,若使△BCE成为等边三角形,可增加的一个条件是　　　　.  (第15题)　(第16题)　(第17题) 16.(2025南充)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是　　　　.  17.(2025广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=,则AD=　　　　.  18.(2025福建)如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小; (2)求证:△CEG是等边三角形. 考点5　直角三角形 考向1　勾股定理及其应用 19.(2025连云港)如图,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为 m. (第19题)　　　(第20题) 考向2　直角三角形的性质及相关计算 20.(2025陕西)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC于点E,则图中与∠A互余的角共有 (　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 21.(2025扬州)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在线段DE的延长线上,且∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是　　　　.  (第21题)　　　(第22题) 22.(2024达州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段BC上,∠BAD=45°.若AC=4,CD=1,则△ABC的面积是　　　　.  考点6　等腰直角三角形 23.(2024广州)如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC=6,D为边BC的中点,点E,F分别在边AB,AC上,AE=CF,则四边形AEDF的面积为 (　　) A.18 B.9 C.9 D.6 (第23题)　　(第24题) 24.(2025广安)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连接AD,则AD的最小值为　　　　　　.  25.(2024成都)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的一条角平分线,E为AD中点,连接BE.若BE=BC,CD=2,则BD=　　　　.  (第25题)　　　(第26题) 26.(2025山西)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,BC=4,点E在边AB上,AE=3,连接CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上,连接DF.若DF=DC,则线段CF的长为　　　　.  27.新课标项目式学习　(2025苏州)综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究.如图,△ABC中,∠ACB =90°,CA=CB,△CDE中,∠DCE=90°,∠E=30°,AB=CE=12 cm. 【观察感知】 (1)如图(1),将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合,AB,DE交于点F,求∠AFD的度数和线段AD的长.(结果保留根号) 【探索发现】 (2)在图(1)的基础上,保持△CDE不动,把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度使得点A落在边DE上(如图(2)). ①求线段AD的长;(结果保留根号) ②判断AB与DE的位置关系,并说明理由. 图(1)　　　　　　　图(2) 28.新考法结合函数　(2025吉林)如图,在△ABC中,AB=3,BC=5,∠BAC=45°.动点P从点A出发,沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动,当点P出发后,以AP为边作正方形APDE,使点D和点B始终在边AC同侧.设点P的运动时间为x(s)(x>0),正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y (平方单位). (1)AC的长为　　　　.  (2)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. (3)当正方形APDE的对称中心与点B重合时,直接写出y的值. 备用图 29.新考法代数推理　(2025广东)《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.若直角三角形的三边长a,b,c都是正整数,则a,b,c为一组“勾股数”.下表中的每一组数都是勾股数. 3,4,5 7,24,25 11,60,61 15,112,113 19,180,181 4,3,5 8,15,17 12,35,37 16,63,65 20,21,29 5,12,13 9,12,15 13,84,85 17,144,145 21,28,35 6,8,10 10,　　,26  14,48,50 18,80,82 22,120,122 (1)请补全上表中的勾股数. (2)根据上表中数据规律,用含字母(均为正整数)的代数式分别表示a,b,c,使该组代数式能表示上表中所有的勾股数,并证明. (3)某校计划在一块绿地上种花,使之构成如图所示的图案,该图案是由四个全等的直角三角形组成的.种花要求:仅在三角形边上种花,每个三角形顶点处都种一株花,各边上相邻两株花之间的距离均为1 m.如果每个三角形最短边都种21株花,那么这块绿地最少需要种植多少株花? 分类训练16三角形 1 B　1+2=3;3-2<4<3+2;3+5=8;4+5<10.根据三角形三边关系可知选B. 知识积累 ◀ ◀ ◀ 三角形的三边关系 在一个三角形中,任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 2 2(答案不唯一,2,3,4,5,6均可) 【解析】由题意知4-3<n<4+3,即1<n<7.∵n为整数,∴n可以是2,3,4,5,6. 3 D　4 C 5 100° 6 B　由网格线的特点可知,点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=BC=1. 7 C　由垂直平分线可知AE=BE,AG=GC,∴AE+AG+EG=BE+GC+EG=BC,即△AEG的周长为7.故选C. 8 C　∵D,E,F分别是BC,AB,AC的中点,∴DE∥AC,DF∥AB(依据:中位线定理),∴四边形AEDF是平行四边形,∴∠EDF=∠A=70°. 9 B　如图,设CE,BD交于点O.∵BP平分∠ABC,∴∠1=∠2.由作图可知,CE⊥BD,∴∠BOC=∠BOE=90°.又∵BO=BO,∴△BOC≌△BOE(ASA),∴BE=BC=12,OC=OE,∴AE=16-12=4,BD是CE的垂直平分线,∴DE=DC,∴△DAE的周长为AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=10+4=14. 10 如图,连接AD,CD,设AC,BD交于点O.由作图可知,AD=AB,CD=CB,∴AC垂直平分BD(依据:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上).∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,∴AC===.∵S△ABC=AC·OB=AB·BC,∴OB=1×2(点拨:利用“等面积法”列方程),∴OB=,∴BD=2OB=. 11 B 12 B　∵∠A=120°,AB=AC,∴∠C=30°.又∵ED⊥AC,DE=,∴CD=DE=3,∴AC=2CD=6. 13 100° 14 (1)∵AB=AC,∠B=72°, ∴∠ACB=∠B=72°. 由作图可知,CD是∠ACB的平分线, ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=×72°=36°. (2)在△BCD中,由三角形内角和定理得∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-72°-36°=72°, ∴∠BDC=∠B,∴CD=CB. 在△ACD中,∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°, ∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°, ∴∠A=∠ACD,∴AD=CD,∴AD=BC. ∵BC=2.5,∴AD=2.5. 15 ∠B=60°(答案不唯一) 16 【解析】如图,连接OD,由作图可知,OD=CD=OC,∴△OCD是等边三角形,∴∠OCD=60°,∴OE=OC=. 17 -1 【解析】∵DB=CD,AB=CA,∴点A,D在线段BC的垂直平分线上(依据:到线段两端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).如图,延长AD交BC于点E,则AE⊥BC,BE=BC=1,∴AE===,DE===1,∴AD=AE-DE=-1. 18 (1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°. ∵D是AB的中点, ∴∠DCB=∠DCA=∠ACB=30°. ∵CE⊥BC,∴∠BCE=90°, ∴∠DCE=∠BCE-∠DCB=60°. (2)证明:由平移可知CD∥EF, ∴∠EAC=∠DCA=30°. 又∵∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°, ∴∠EAC=∠ECA, ∴AE=CE,∠AEC=120°. 又∵AB=CB,∴BE垂直平分AC, ∴∠GEC=∠AEC=60°. 由(1)知,∠GCE=60°, ∴∠EGC=60°, ∴∠GEC=∠GCE=∠EGC, ∴△CEG是等边三角形. 19 2.4 20 C　∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,DE⊥AC,∴∠B=∠ADE=70°.∵CD为AB边上的中线,∴CD=AD=BD,∴∠DCA=∠A=20°,∠DCB=∠B=70°,∠CDB=2∠A=40°,∴∠CDE=70°.综上可知,题图中与∠A互余的角是∠B,∠DCB,∠CDE,∠ADE,共有4个.故选C. 21 6 【解析】∵D,E分别是边AB,BC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=AC=2(依据:三角形中位线定理).∵E是Rt△BCF的斜边BC的中点,∴EF=BC=4(依据:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),∴DF=DE+EF=6. 22 【解析】如图,过点D作DE⊥AD交AB于点E,过点E作EF⊥BC于点F.易证△ACD≌△DFE(点拨:“一线三垂直”全等模型),∴DF=AC=4,FE=CD=1.由EF∥AC,可得△EBF∽△ABC,∴=,即=,∴BF=,∴S△ABC=BC·AC=×(1+4+)×4=. 23 C　如图,连接AD.∵∠BAC=90°,AB=AC,D为边BC的中点,∴∠B=∠C=∠BAD=45°,AD=DC=BD.又∵AE=CF,∴△DAE≌△DCF,∴S△AED=S△CFD,∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CDF+S△ADF=S△ACD=S△ABC=××6×6=9. 24 2 25 【解析】如图,连接CE.∵点E为Rt△ACD斜边AD的中点,∴CE=AE=DE.过点E作EH⊥CD于点H,则CH=HD=1,∠CED=2∠1,∴AC=2EH(依据:三角形中位线定理).设EH=m,BD=x,则HB=1+x,BE=BC=2+x.由勾股定理,得EH2=BE2-BH2,∴m2=(2+x)2-(1+x)2=2x+3①.∵EH∥AC,∴∠2=∠1,∴∠CAB=2∠2=2∠1=∠CED.∵BE=BC,∴∠BEC=∠3.∵EC=ED,∴∠3=∠4,∴∠EBC=∠CED=∠CAB.又∠BHE=∠ACB=90°,∴△BHE∽△ACB,∴=,即=,得2m2=(1+x)(2+x)②,联立①②,得2(2x+3)=(1+x)(2+x),解得x=(负值已舍去),∴BD=. 26 【解析】在Rt△BCE中,CE==,∴sin∠ECB=,cos∠ECB=.如图,分别延长CE,DA,两线交于点Q.∵AD∥BC,∴∠QAE=∠B=90°,∠Q=∠ECB,∴sin Q=,cos Q=,∴EQ===,∴QC=EQ+EC=+=.∵∠DCE=∠BCE,∴∠Q=∠DCQ,∴DQ=DC.过点D作DG⊥QC于点G,则QG=GC=QC=,∴DC===.过点D作DH⊥CF于点H.∵DC=DF,∴CH=FH.易得四边形ABHD是矩形,∴DH=AB=8,∴CH===,∴CF=2CH=. 27 (1)根据题意,可得∠CDE=60°,∠A=45°. ∵∠CDE=∠AFD+∠A, ∴∠AFD=∠CDE-∠A=60°-45°=15°. ∵△ABC中,∠ACB=90°,AB=12,∠A=45°,∴CA=6. ∵△CDE中,∠DCE=90°,CE=12,∠E=30°,∴CD=4, ∴AD=CA-CD=(6-4)cm. (2)①方法一:如图(1),过点C作CG⊥DE,垂足为G. ∵△CDG中,∠CGD=90°,∠CDE=60°,CD=4, ∴DG=2,CG=6. ∵△CGA中,∠CGA=90°,CA=6,CG=6,∴AG=6, ∴AD=AG+DG=(6+2)cm. 图(1) 方法二:如图(2),过点A作AH⊥CD,垂足为H. 设DH=x,则CH=4-x. ∵△ADH中,∠AHD=90°,∠CDE=60°,DH=x, ∴AH=x,AD=2x. ∵△ACH中,∠CHA=90°, ∴ CH2+AH2=AC2,即(4-x)2+(x)2=(6)2(点拨:设元利用勾股定理列方程求线段长),  解得x=+3,或x=-3(舍去). ∴AD=2x=(6+2)cm. 图(2) ②AB⊥DE. 理由:如图(1),∵CG⊥DE,GC=GA=6, ∴∠CAG=∠GCA=45°. 又∵∠CAB=45°, ∴∠DAB=∠CAG+∠CAB=45°+45°=90°, ∴AB⊥DE. 28 (1)7　 解法提示:如图(1),过点B作BF⊥AC于点F,则△AFB是等腰直角三角形.又∵AB=3,∴BF=AF=3.又∵BC=5,∴FC=4,∴AC=AF+FC=7. 图(1)　　图(2) (2)当0≤x≤3时,点D在AB边上, 此时y=S△APD=AP2=x2. 当3<x≤7时,点D在AB的延长线上,如图(2),记PD与BC的交点为G, 则y=S四边形ABGP=S△ABC-S△GPC. 由(1)可知S△ABC=×7×3=. ∵AP=x,∴PC=7-x,∴PG=PCtan C=(7-x), ∴S△GPC=×(7-x)×(7-x)=(7-x)2, ∴y=-(7-x)2+. 综上可知,y= (3)y的值为. 解法提示:正方形的对称中心是其对角线的交点,故当正方形APDE的对称中心与点B重合时,点B为AD的中点,如图(3). 图(3) 连接BD,则A,B,D三点共线,且AD=2AB=6, ∴AP=6. 将x=6代入y=-(7-x)2+,得y=-+=. 29 (1)24　 (2)①根据表中数据(3,4,5),(4,3,5),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17),(11,60,61),(12,35,37),(13,84,85),(15,112,113),(16,63,65),(17,144,145),(19,180,181),(20,21,29)的规律能用含字母n,m (m>n,且n,m均为正整数)的代数式表示三角形的三边.设为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2. 证明:∵a2=(m2-n2)2=m4-2m2n2+n4, b2=(2mn)2=4m2n2, ∴a2+b2=m4+2m2n2+n4. ∵c2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4, ∴a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理,得a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2能够成为直角三角形的三边长. ②根据表中数据可知(6,8,10),(9,12,15),(21,28,35)分别是(3,4,5)的2倍,3倍,7倍;(10,24,26),(14,48,50),(18,80,82),(22,120,122)分别是(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)的2倍,经验算(9,40,41)满足m2-n2,2mn,m2+n2. ∴表中数据能用含字母n,m,k (m>n,且n,m,k均为正整数)的代数式表示三角形的三边.设为a=(m2-n2)k, b=2mnk,c=(m2+n2)k. 证明:∵a2=[(m2-n2)k]2=m4k2-2m2n2k2+n4k2,b2=(2mnk)2=4m2n2k2, ∴a2+b2=m4k2+2m2n2k2+n4k2. ∵c 2=[(m2+n2)k]2=m4k2+2m2n2k2+n4k2, ∴a2+b2=c2. 根据勾股定理的逆定理,得(m2-n2)k,2mnk,(m2+n2)k能够成为直角三角形的三边长,∴利用a=(m2-n2)k,b=2mnk,c=(m2+n2)k能够表示出表中所有勾股数组. (3)设三角形三边长分别为a,b,c(a<b<c),由题意知a=20,且b,c均为正整数.由勾股定理可得a2+b2=c2,则有c2-b2=202,即(c+b)·(c-b)=400.下面分4种情况讨论. ①解得 ∵a<b, ∴b=15(舍去). ②解得 ∴所需花为4×120=480(株). ③解得 ∴所需花为4×220=880(株). ④解得 ∴所需花为4×70=280(株). 答:这块绿地最少需要种植280株花. 学科网（北京）股份有限公司 $