第一部分 分类训练14 二次函数与几何图形综合题（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练14 二次函数与几何图形综合题 考向1　与线段、面积有关的问题 1.(2025天津)已知抛物线y=ax2+bx+c (a,b,c为常数,a<0,b>0). (Ⅰ)当a=-1,b=2,c=3时,求该抛物线顶点P的坐标. (Ⅱ)点A(-1,0)和点B为抛物线与x轴的两个交点,点C为抛物线与y轴的交点. ①当a=-2时,若点D在抛物线上,∠CAD=90°,AC=AD,求点D的坐标; ②若点B(m,0),∠CAB=2∠ABC,以AC为边的▱ACEF的顶点F在抛物线的对称轴l上,当CE+CF取得最小值为2时,求顶点E的坐标. 2.(2025苏州)如图,二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,作直线BC,M(m,y1),N(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图象上两点. (1)求直线BC对应函数的表达式. (2)试判断是否存在实数m使得y1+2y2=10.若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. (3)已知P是二次函数y=-x2+2x+3图象上一点(不与点M,N重合),且点P的横坐标为1-m,作△MNP.若直线BC与线段MN,MP分别交于点D,E,且△MDE与△MNP的面积的比为1∶4,请直接写出所有满足条件的m的值. 备用图 考向2　与角度有关的问题 3.(2025南充)抛物线y=ax2+2ax-(a≠0)与x轴交于A(3,0),B两点,N是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式及点B的坐标. (2)如图(1),抛物线上两点P(m,y1),Q(m+2,y2),若PQ∥BN,求m的值. (3)如图(2),点M(-1,-5),如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G,H,满足∠GMN=∠HMN.探究直线l是否过定点.若直线l过定点,求定点坐标;若不过定点,请说明理由. 　 图(1)　　　　　　　　　　　　图(2) 考向3　与特殊三角形有关的问题 4.(2025青海)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(1,0),点C(2,5)在抛物线上. (1)求抛物线的解析式. (2)①求点A的坐标; ②当y<0时,根据图象直接写出x的取值范围:　　　　.  (3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若不存在,请说明理由. 5.(2024达州)如图(1),抛物线y=ax2+kx-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式. (2)如图(2),连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物线上一点,且S△PMC=2S△DMC,求点P的坐标. (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点,是否存在以点N,A,C为顶点的三角形是等腰三角形,若存在,请直接写出满足条件的点N的坐标;若不存在,请说明理由. 　　　 图(1)　　　　　　　图(2) 考向4　与特殊四边形有关的问题 6.(2025广安)如图,二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点C,已知点B的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,-3),连接AC,BC. (1)求抛物线的解析式; (2)若点P为抛物线上的一个动点,连接PC,当∠PCB=∠OBC时,求点P的坐标; (3)将抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度后得到新抛物线,点E在新抛物线上,点F是原抛物线对称轴上的一点,若以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出点E的坐标. 备用图　　　 分类训练14二次函数与几何图形综合题 1 (Ⅰ)∵a=-1,b=2,c=3, ∴该抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3. ∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴该抛物线顶点P的坐标为(1,4). (Ⅱ)①∵点A(-1,0)在抛物线y=ax2+bx+c(a<0,b>0)上, ∴0=a-b+c,即c=b-a. 又a=-2,点C(0,c), ∴OC=c=b+2,AO=1. 根据题意,点D在第四象限,过点D作DH⊥x轴于点H, ∴∠AHD=90°,∴∠HAD+∠ADH=90°. ∵∠CAD=90°,∴∠CAO+∠HAD=90°, ∴∠ADH=∠CAO. 又AD=AC,∠AHD=∠AOC=90°,∴△ADH≌△CAO, ∴DH=AO=1,AH=OC=b+2. 由OH=AH-AO,得OH=b+1, ∴点D的坐标为(b+1,-1). ∵点D在抛物线y=-2x2+bx+b+2上, ∴-1=-2(b+1)2+b(b+1)+b+2,即b2+2b-1=0. 解得b1=-1+,b2=-1-(舍去), ∴点D的坐标为(,-1). ②由c=b-a,a<0,b>0,得c>0,m>1. 在x轴上点A的左侧取点G,使GA=AC,连接GC, ∴∠ACG=∠CGA,∴∠CAB=2∠CGA. ∵∠CAB=2∠ABC, ∴∠ABC=∠CGA,∴CG=CB,∴GO=OB. 在Rt△AOC中,根据勾股定理,得AC2=AO2+OC2, ∴AC=,∴GA=, ∴GO=GA+AO=+1. 又点B(m,0),∴OB=m, ∴+1=m,即c2=m2-2m.(*) 根据题意,点A和点B关于直线l对称,点F在直线l上,得AF=BF. 又▱ACEF中,AF=CE,∴CE=BF, ∴CE+CF=BF+CF≥BC(点拨:两点之间,线段最短). ∴当点F在线段BC上时,CE+CF取得最小值2,即BC=2. 在Rt△OBC中,OB2+OC2=BC2, ∴m2+c2=24. 将(*)式代入,得m2+(m2-2m)=24, 解得m1=4,m2=-3(舍去), ∴c=2(不符合题意的值已舍去), ∴点B(4,0),C(0,2). 易得直线BC的函数解析式为y=-x+2. 设点F的横坐标为x0,则4-x0=x0-(-1),∴x0=, ∴点F的坐标为(,). ∵线段CE可以看作是由线段AF经过平移得到的, ∴点E的坐标为(,). 2 (1)令x=0,则y=3,∴点C的坐标为(0,3). 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得x=-1或x=3,∴点B的坐标为(3,0). 设直线BC对应函数的表达式为y=kx+b, 由题意,得解得 ∴直线BC对应函数的表达式为y=-x+3. (2)不存在实数m使得y1+2y2=10. 理由如下: 方法一:∵M(m,y1),N(m+2,y2)为二次函数y=-x2+2x+3图象上两点, ∴y1=-m2+2m+3, y2=-(m+2)2+2(m+2)+3=-m2-2m+3, ∴y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)=-3m2-2m+9, 配方,得y1+2y2=-3(m+)2+9, ∴当m=-时,y1+2y2有最大值为9. ∵9<10,∴不存在实数m使得y1+2y2=10. 方法二:由方法一,得y1+2y2=-3m2-2m+9. 当y1+2y2=10时,-3m2-2m+9=10,即3m2+2m+1=0. ∵Δ=4-12=-8<0,∴方程没有实数根, ∴不存在实数m使得y1+2y2=10. (3)m=或m=. 解法提示:如图,过点N作NH∥y轴,交x轴于点H,交BC于点N',过点P作PQ⊥NH,垂足为Q,过点M作MM'∥y轴,交BC于点M',则MM'∥NN'. 当x=1-m时,y=-(1-m)2+2(1-m)+3=-m2+4, ∴点P的坐标为(1-m,-m2+4). ∵点N的坐标为(m+2,-m2-2m+3), ∴点Q的坐标为(m+2,-m2+4),点H的坐标为(m+2,0), 点N'的坐标为(m+2,-m+1), ∴NQ=PQ=|2m+1|,BH=HN'=|-m+1|, ∴∠PNQ=∠BN'H=45°, ∴PN∥BC,∴△MDE∽△MNP, ∴()2==, ∴ MD=MN,即MD=ND. ∵MM'∥NN',∴△MM'D∽△NN'D, ∴==,即MM'=NN'. ∵点M的坐标为(m,-m2+2m+3), ∴点M'的坐标为(m,-m+3), ∴m2-3m=-m2-m+2,即m2-m-1=0, 解得m=或m=. 3 (1)把A(3,0)代入y=ax2+2ax-, 得0=9a+6a-,解得a=, ∴y=x2+x-. 令y=0,则x2+x-=0, 解得x1=-5,x2=3,∴B(-5,0). (2)∵B(-5,0),N(-1,-4), ∴直线BN的解析式为y=-x-5. ∵PQ∥BN,∴设直线PQ的解析式为y=-x+n. ∵点P(m,m2+m-), Q(m+2,(m+2)2+(m+2)-), ∴m2+m-=-m+n,(m+2)2+(m+2)-=-(m+2)+n. 解得m=-4. (3)直线l过定点. 设直线l的解析式为y=kx+b,G(x3,y3),H(x4,y4), 联立得kx+b=x2+x-, ∴x2+(2-4k)x-15-4b=0, ∴Δ>0,x3+x4=4k-2,x3x4=-15-4b. 如图,作GC⊥MN于点C,HD⊥MN于点D,则GC=-1-x3,MC=y3+5,HD=x4+1,MD=y4+5, ∵∠GMN=∠HMN,∴tan∠GMN=tan∠HMN, 即=,∴=, ∴(x3+1)(y4+5)+(x4+1)(y3+5)=0, ∴(x3+1)(kx4+b+5)+(x4+1)(kx3+b+5)=0, ∴2kx3x4+(k+b+5)(x3+x4)+2b+10=0, ∴2k(-15-4b)+(k+b+5)(4k-2)+2b+10=0, ∴-4k(b-k+3)=0. ∵直线l不垂直于y轴,∴k≠0,∴b-k+3=0,∴b=k-3, ∴直线l的解析式为y=k(x+1)-3. ∵无论k为何值,都存在x=-1,y=-3, ∴直线l过定点,定点的坐标为(-1,-3). 4 (1)将B(1,0),C(2,5)代入y=ax2+bx-3, 得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)①当y=0时,x2+2x-3=0, 得x1=-3,x2=1, ∴A(-3,0). ②-3<x<1. (3)存在,P1(0,7),P2(0,-3). 解法提示: 以AC为直角边的直角三角形分点A为直角顶点,点C为直角顶点两种情况,如图. 设P(0,p). ∵A(-3,0),C(2,5), ∴AP2=32+p2=9+p2,CP2=22+(5-p)2=29-10p+p2,AC2=(2+3)2+52=50. 当点A为直角顶点时,则AC2+AP2=CP2, ∴50+9+p2=29-10p+p2,解得p=-3. 当点C为直角顶点时,则AC2+CP2=AP2, ∴50+29-10p+p2=9+p2,解得p=7. 综上点P的坐标为(0,7)或(0,-3). 5 (1)将A(-3,0),B(1,0)分别代入y=ax2+kx-3, 得解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)对于y=x2+2x-3,当x=0时,y=-3,∴C(0,-3). ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴D(-1,-4). 设直线AC的解析式为y=k1x+b1, 将A(-3,0),C(0,-3)分别代入, 得解得 ∴直线AC的解析式为y=-x-3. 当x=-1时,y=-2,∴M(-1,-2), ∴S△DMC=×[-2-(-4)]×1=1,MC=, ∴S△PMC=2S△DMC=2. 如图,连接MB,BC,设直线MD交x轴于点E, 则ME=EB=2, ∴△MBE是等腰直角三角形, ∴∠BME=45°,BM=2. 易知∠DMC=45°,∴BM⊥AC, ∴S△BMC=×MC×BM=××2=2, ∴点P与点B重合时,符合题意,此时P(1,0). 过点B作BP0∥AC交抛物线于点P0,则此时=S△BMC(点拨:同底等高的两个三角形面积相等), 设直线BP0的解析式为y=-x+m, 将B(1,0)代入,得0=-1+m,解得m=1, ∴直线BP0的解析式为y=-x+1. 联立 解得或 ∴P0(-4,5). ∴点P位于P0处时,符合题意,此时P(-4,5). 综上所述,点P的坐标为(1,0)或(-4,5). (3)存在,点N的坐标为(-1,),(-1,-),(-1,-1)或(-1,-3). 解法提示:∵A(-3,0),C(0,-3),∴AC2=32+32=18. 设N(-1,n),其中n>-4, ∴AN2=(-3+1)2+n2=4+n2,CN2=(-1)2+(n+3)2=n2+6n+10. ①当AN=AC时,4+n2=18,解得n1=,n2=-; ②当NA=NC时,4+n2=n2+6n+10,解得n3=-1; ③当CA=CN时,18=n2+6n+10, 解得n4=-3,n5=--3(舍去). 综上所述,点N的坐标为(-1,),(-1,-),(-1,-1)或(-1,-3). 6 (1)把B(9,0),C(0,-3)分别代入y=x2+bx+c, 得 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-x-3. (2)如图(1),当点P在BC下方时, ∵∠PCB=∠OBC,∴PC∥OB, ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称. ∵抛物线对称轴为直线x=-=4, ∴点P的坐标为(8,-3). 图(1)　　　　　　　　图(2)　 如图(2),当点P在BC上方时,设PC交x轴于点H, ∵∠PCB=∠OBC,∴CH=BH,∴CH2=BH2, 设H(m,0), ∵OC2+OH2=CH2=BH2, ∴(-3-0)2+(0-m)2=(9-m)2, 解得m=4,∴H(4,0). 设PC所在直线的解析式为y=k1x+b1(k1≠0), ∴∴ ∴PC所在直线的解析式为y=x-3. 令x-3=x2-x-3, 解得或(舍去), ∴点P的坐标为(,). 综上所述,点P的坐标为(8,-3)或(,). (3)点E的坐标为(-5,14),(13,38)或(5,). 解法提示:由(2)可得原抛物线对称轴为直线x=4. ∵B(9,0),∴由对称性可得A(-1,0),∴OA=1. ∵C(0,-3),∴OC=3,∴AC==. ∵将抛物线沿射线CA的方向平移2个单位长度后得到新抛物线, ∴将原抛物线向左平移2个单位长度,向上平移6个单位长度得到新抛物线, ∴新抛物线的解析式为y=(x+2)2-(x+2)-3+6=x2-x-1. 当BE为对角线时,∵平行四边形对角线互相平分, ∴BE,CF的中点坐标相同,∴=, ∴xE=-5,∴yE=×(-5)2-×(-5)-1=14, ∴此时点E的坐标为(-5,14). 当BF为对角线时,∵平行四边形对角线互相平分, ∴BF,CE的中点坐标相同, ∴=,∴xE=13, ∴yE=×132-×13-1=38, ∴此时点E的坐标为(13,38). 当BC为对角线时,∵平行四边形对角线互相平分, ∴BC,EF的中点坐标相同, ∴=,∴xE=5,∴yE=×52-×5-1=, ∴此时点E的坐标为(5,). 综上所述,点E的坐标为(-5,14),(13,38)或(5,). 学科网（北京）股份有限公司 $