第一部分 分类训练13 二次函数的实际应用（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练13 二次函数的实际应用 　　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 考向1　抛物线形问题 1.(2025甘肃)如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM.喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x≥0),则水流喷出的最大高度是 (　　) A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m (第1题)　　　(第2题) 2.(2025连云港)如图,小亮同学掷铅球时,铅球沿抛物线y=a(x-3)2+2.5运行,其中x是铅球离初始位置的水平距离,y是铅球离地面的高度.若铅球掷出时离地面的高度OA为1.6 m,则铅球掷出的水平距离OB为　　　　m.  3.(2024甘肃)如图(1)为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分,如图(2)是棚顶的竖直高度y(单位:m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图象,点B(6,2.68)在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4 m,高DE=1.8 m的矩形,则可判定货车　　　　完全停到车棚内(填“能”或“不能”).  图(1)　图(2) 4.(2025广东)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式. 5.(2025陕西)某景区大门上半部分的截面示意图如图所示,顶部L1,左、右门洞L2,L3均呈抛物线型,水平横梁AC=16 m,L1的最高点B到AC的距离BO=4 m,L2,L3关于BO所在直线对称.MN,MP,NQ为框架,点M,N在L1上,点P,Q分别在L2,L3上,MN∥AC,MP⊥AC,NQ⊥AC.以O为原点,以AC所在直线为x轴,以BO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系. (1)求抛物线L1的函数表达式; (2)已知抛物线L3的函数表达式为y=-(x-4)2,NQ= m,求MN的长. 6.(2025新疆)天山胜利隧道预计于2025年建成通车,它将成为世界上最长的高速公路隧道,能大大提升区域交通效率,促进经济发展.如图是隧道截面图,其轮廓可近似看作抛物线的一部分.若隧道底部宽12米,高8米,按照如图所示的方式建立平面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式. (2)该隧道设计为单向双车道通行,车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米,当两辆车在隧道内并排行驶时,需沿中心线两侧行驶,且两车至少间隔2米(中心线宽度不计).若宽3米、高3.5米的两辆车并排行驶,能否安全通过?请说明理由. 7.(2024江西)如图,一小球从斜坡点O以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表: x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … (1)①m=　　　　,n=　　　　;  ②小球的落点是A,求点A的坐标. (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt. ①小球飞行的最大高度为　　　　米;  ②求v的值. 8.新课标项目式学习　(2025辽宁)为方便悬挂电子屏幕,学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱.为此,某数学兴趣小组开展了综合与实践活动,记录如下: 活动 主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动 准备 1.去学校档案馆查阅框架结构的图纸; 2.准备皮尺等测量工具. 采集 数据 如图(1)是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图,信息如下: 1.大门形状为矩形(矩形ABCD); 2.底部跨度(AD的长)为8 m; 3.立柱OE的长为2 m,且OE⊥AD,垂足为点O,AO=OD. 图(1) 设计 方案 考虑实用和美观等因素,在A,D间增加两根与AD垂直的立柱,垂足分别为点M1,M2,立柱的另一端点N1,N2在抛物线形框架结构上,其中AM1=M2D=1 m. 图(2) 确定 思路 小组成员经过讨论,确定以点O为坐标原点,线段AD所在直线为x轴,建立如图(2)所示的平面直角坐标系.点E的坐标为(0,2),设抛物线的表达式为y=ax2+2,分析数据得到点A或点D的坐标,进而求出抛物线的表达式,再利用表达式求出增加立柱的长度,从而解决问题. 根据以上信息,解决下列问题: (1)求抛物线的表达式; (2)现有一根长度为2 m的材料,如果用它制作这两根立柱,请你通过计算,判断这根材料是否够用(因施工产生的材料长度变化忽略不计). 考向2　面积问题 9.(2024泰安)如图,小明的父亲想用长为60米的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形菜园.已知房屋外墙长40米,则可围成的菜园的最大面积是　　　　平方米.  10.(2024湖北)如图,某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏,围成一块一边靠墙的矩形实验田,墙长为42 m.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位:m),与墙平行的一边长为y(单位:m),面积为S(单位:m2). (1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围). (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗?如果能,求x的值;如果不能,请说明理由. (3)当x的值是多少时,矩形实验田的面积S最大?最大面积是多少? 考向3　销售、利润问题 11.新考法结合阅读材料　(2025南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地,参加主题为“缅怀先烈,强国有我”的研学活动,请阅读下列材料,并完成相关问题. 材料一 租车公司有A,B两种型号的客车可供租用,在每辆车满员情况下,每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人;用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同. 材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆;B型客车租车费用为3 000元/辆. 优惠方案:租用A型客车m辆,租车费用(3 200-50m)元/辆;租用B型客车,租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车; 学校参加研学活动师生共有530人,租用A,B两种型号客车共10辆. (1)A,B两种型号的客车每辆载客量分别是多少? (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 12.(2025大庆)为推进大庆市“红色研学”文化旅游发展,大庆博物馆新推出A,B两种文创纪念品.已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元;4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元.一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成.规定:每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元(每套售价为整数).如果每套纪念品的售价为72元,那么每天可销售80套.经调查发现,每套纪念品的售价每降低1元,其销售量相应增加10套.设每天的利润为W(元),每套纪念品的售价为a元(65≤a≤72且a为整数). (1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本; (2)求当a为何值时,每天的利润W最大. 13.(2024南充)2024年“五一”假期期间,阆中古城景区某特产店销售A,B两类特产.A类特产进价50元/件,B类特产进价60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元,购买3件A类特产和5件 B类特产需540元. (1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元. (2)A类特产供货充足,按原价销售每天可售出60件.市场调查反映,若每降价1元,每天可多售出10件(每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元,每天的销售量为y件,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下,由于B类特产供货紧张,每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两类特产的总利润为w元,求w与x的函数关系式,并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大,最大利润是多少元?(利润=售价-进价) 考向4　其他类型 14.新课标跨学科试题　(2025山东)在水分、养料等条件一定的情况下,某植物的生长速度y(厘米/天)和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x<1 000)内,y与x近似成一次函数关系;在中高光照强度范围(x≥1 000)内,y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象,下列结论正确的是 (　　) A.当x≥1 000时,y随x的增大而减小 B.当x=2 000时,y有最大值 C.当y≥0.6时,x≥1 000 D.当y=0.4时,x=600 15.(2024河南)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h=-5t2+v0t,其中t(s)是物体运动的时间,v0(m/s)是物体被发射时的速度.社团活动时,科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球. (1)小球被发射后　　　　s时离地面的高度最大(用含v0的式子表示).  (2)若小球离地面的最大高度为20 m,求小球被发射时的速度. (3)按(2)中的速度发射小球,小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说:“这两次间隔的时间为3 s.”已知实验楼高15 m,请判断他的说法是否正确,并说明理由. 16.新课标项目式学习　(2025兰州)综合与实践 在学校项目化学习中,某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究.请你阅读以下材料,解决“数学建模”中的问题. 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽,也会因浓度过高抑制种子发芽.探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题,可以借助数学模型进行解决. 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素,以生长素浓度x(标准单位)为自变量,种子的发芽率y(%)为因变量,进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验,获得相关数据: 生长素浓度x (标准单位) 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y(%) 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图,小组成员以表中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描出相应的点. 说明:①当生长素浓度x=0时,种子的发芽率为自然发芽率; ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时,该生长素抑制种子发芽; ③当生长素抑制种子发芽,使得发芽率减小到0时,停止实验. 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题: (1)观察各点的分布规律,判断y关于x的函数类型,并求出该函数的表达式; (2)请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围. 分类训练13二次函数的实际应用 1 B　∵y=-x2+2x+=-(x-1)2+2.75,∴抛物线的顶点坐标为(1,2.75),∴水流喷出的最大高度是2.75 m. 2 8　 【解析】由题意可知A(0,1.6),将(0,1.6)代入y=a(x-3)2+2.5,得9a+2.5=1.6,解得a=-0.1.令-0.1(x-3)2+2.5=0,解得x1=-2,x2=8,∴B(8,0),∴OB=8 m. 3 能 【解析】假设DE刚好在点B的正下方,∵CD=4,B(6,2.68),∴OC=6-4=2.对于y=-0.02x2+0.3x+1.6,当x=2时,y=2.12,∵2.12>1.8,∴货车能完全停到车棚内. 4 建立如图所示的平面直角坐标系. 易得点(0,0.001 5),(0.85,0.18)在抛物线上. 设抛物线的表达式为y=ax2+c. 将(0,0.001 5),(0.85,0.18)代入, 得解得 ∴y=x2+0.001 5(-0.85≤x≤0.85). 5 (1)∵BO=4 m, ∴抛物线L1的顶点B的坐标为(0,4), 由此可设抛物线L1的函数表达式为y=ax2+4. 由题可知AC=16 m,结合二次函数的对称性得A(-8,0),C(8,0),将(8,0)代入y=ax2+4, 得0=64a+4,解得a=-, 故抛物线L1的函数表达式为y=-x2+4. (2)设N(n,-n2+4),则由NQ⊥AC,可知Q(n,-(n-4)2). ∵NQ=,∴-n2+4-[-(n-4)2]=, 整理得,n2-12n+36=0,即(n-6)2=0, ∴n1=n2=6, ∴MN=2×6=12(m). 6 (1)由题意得,抛物线的顶点坐标为(,8),即(6,8). 设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0). 将(0,0)代入,得a(0-6)2+8=0, 解得a=-, ∴抛物线的函数解析式为y=-(x-6)2+8. (2)能安全通过. 理由如下:当两车间隔2米,且两车距离中心线的距离相等时,甲车左侧到点O的距离是6-1-3=2(米). 将x=2代入y=-(x-6)2+8, 得y=-×(2-6)2+8=. -3.5=>0.5,故能安全通过. 7 (1)①3　6 ②方法一:把和分别代入y=ax2+bx, 得 解得 ∴y=-x2+4x. 令x=-x2+4x, 解得x1=0(舍),x2=. 将x=代入y=x,得y=, ∴点A的坐标是(,). 方法二:设y=a(x-4)2+8, 将(2,6)代入,得a(2-4)2+8=6, 解得a=-, ∴y=-(x-4)2+8, 即y=-x2+4x. 令x=-x2+4x, 解得x1=0(舍),x2=. 将x=代入y=x,得y=, ∴点A的坐标是(,). (2)①8(填“”亦可) ②方法一:∵y=-5t2+vt=-5(t-)2+, ∴=8, ∴v1=4,v2=-4. ∵y=-5t2+vt=-5(t-)2+图象的对称轴为直线t=, ∴>0. ∴v>0, ∴v=4.(答案写“4米/秒”亦可) 方法二:∵y=-5t2+vt图象的顶点纵坐标为8, ∴=8, ∴v1=4,v2=-4. 当v=-4时,y=-5t2+vt=-5t2-4t. ∵t≥0, ∴y≤0, ∴v=-4不成立, ∴v=4.(答案写“4米/秒”亦可) 8 (1)由题意,得AD=8,OA=OD=4, ∴A(-4,0). 把A(-4,0)的坐标代入y=ax2+2,得0=16a+2, 解得a=-, ∴y=-x2+2. (2)由题意,可知OM1=OM2=4-1=3, ∴点N1,N2关于y轴对称. 将x=3代入y=-x2+2,得y=-×32+2=, 结合抛物线的对称性可知,M1N1=M2N2=. ∵2×=<2,∴这根材料够用. 9 450 【解析】设垂直于墙的边长为x米,菜园的面积为y平方米,则平行于墙的边长为(60-2x)米,∴y=x(60-2x)=-2x2+60x=-2(x-15)2+450.∵墙长40米,∴0<60-2x≤40,∴10≤x<30,故当x=15时,可围成的菜园的面积最大,最大面积是450平方米. 10 (1)y=80-2x,S=-2x2+80x. 解法提示:由题意,得x+y+x=80, ∴y=80-2x, ∴S=y·x=(80-2x)x=-2x2+80x. (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2. 令S=750,则-2x2+80x=750, 整理,得x2-40x+375=0, 解得x1=15,x2=25. ∵墙长为42 m(易错点:易忽略墙长这一条件),  ∴0<y≤42, ∴0<80-2x≤42, 解得19≤x<40, ∴x=25. (3)S=-2x2+80x=-2(x-20)2+800. ∵-2<0,19≤x<40, ∴当x=20时,S取得最大值,此时S=800, 即当x=20时,S最大,最大面积是800 m2. 11 (1)设A型客车每辆载客量为x人,则B型客车每辆载客量为(x-15)人, 由题意得=, 解得x=60, 经检验,x=60是方程的根. 60-15=45. 答:A型客车每辆载客量为60人,B型客车每辆载客量为45人. (2)由题意知,租A型客车m辆,则租B型客车(10-m)辆, 设租车总费用为w元, 则60m+45(10-m)≥530, 解得m≥. w=(3 200-50m)m+3 000×0.8×(10-m) =-50m2+800m+24 000. ∵对称轴为直线m=-=8,-50<0, ∴当m≤8时,w随着m的增大而增大. ∵m取正整数,且m≥,∴当m=6时,w取得最小值,最小值为27 000, ∴本次研学活动学校的最少租车费用为27 000元. 12 (1)设每个A纪念品的成本为x元,每个B纪念品的成本为y元, 由题意,得解得 答:每个A纪念品的成本为25元,每个B纪念品的成本为35元. (2)由题意,得W=[a-(25+35)][80+10(72-a)]=-10a2+1 400a-48 000=-10(a-70)2+1 000. ∵-10<0,∴函数图象开口向下. 又65≤a≤72且a为整数, ∴当a=70时,W的值最大. 13 (1)设每件A类特产的售价为m元,则每件B类特产的售价为(132-m)元. 根据题意得3m+5(132-m)=540, 解得m=60. 每件B类特产的售价为132-60=72(元). 答:A类特产的售价为60元/件,B类特产的售价为72元/件. (2)由题意得y=10x+60(0≤x≤10). (3)w=(60-50-x)(10x+60)+100×(72-60) =-10x2+40x+1 800=-10(x-2)2+1 840. ∵-10<0,∴当x=2时,w有最大值1 840. ∴A类特产每件降价2元时,总利润最大,最大总利润为1 840元. 14 B　当x≥1 000时,y随x的增大先增大、后减小,故A错误.由题中函数图象可知,抛物线的对称轴为直线x==2 000,即当x=2 000时,y有最大值,故B正确.由题中函数图象可知,当y≥0.6时,1 000≤x≤3 000,故C错误.当y=0.4时,由题中图象知,x对应的值有两个,故D错误.故选B. 15 (1) (2)根据题意,得当t=时,h=20, ∴-5×()2+v0×=20, ∴v0=20,即小球被发射时的速度为20 m/s. (3)小明的说法不正确. 理由如下: 由(2),得h=-5t2+20t. 当h=15时,15=-5t2+20t, 解得t1=1,t2=3. ∵3-1=2(s), ∴小明的说法不正确. 16 (1)y是关于x的二次函数. 由表格可知图象过点(1,56),(3,56), ∴该二次函数图象的对称轴为直线x=2,顶点为(2,63), ∴可设该函数的表达式为y=a(x-2)2+63. 将(0,35)代入,得4a+63=35,解得a=-7, ∴y=-7(x-2)2+63. (2)由表格可知,当x=4时,y=35. 令-7(x-2)2+63=0,解得x1=-1(舍去),x2=5. 分析可知,当生长素浓度满足4<x≤5时,抑制种子发芽. 学科网（北京）股份有限公司 $