第一部分 分类训练12 二次函数的图象与性质（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练12 二次函数的图象与性质 考点1　二次函数的基本性质 1.(2024广州)函数y1=ax2+bx+c与y2=的图象如图所示,当y1,y2均随着x的增大而减小时,x的取值范围是 (　　) A.x<-1 B.-1<x<0 C.0<x<2 D.x>1 (第1题)　　(第4题)　　 2.(2025威海)已知点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　) A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2 C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1 3.(2024眉山)定义运算:a􀱋b=(a+2b)(a-b),例如4􀱋3=(4+2×3)×(4-3),则函数y=(x+1)􀱋2的最小值为 (　　) A.-21 B.-9 C.-7 D.-5 4.(2024赤峰)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m,n(m>n>0),则下列结论正确的是 (　　) A.m+n=1 B.m-n=1 C.m=1 D.=1 5.(2024贵州)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是-3,顶点坐标为(-1,4),则下列说法正确的是 (　　) A.二次函数图象的对称轴是直线x=1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x<-1时,y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 6.(2025广州)在平面直角坐标系中,两点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=ax2-2ax(a>0)上,则下列结论中正确的是 (　　) A.当x1<0且y1·y2<0时,0<x2<2 B.当x1<0且y1·y2>0时,0<x2<2 C.当x1<x2<1时,y1<y2 D.当x1>x2>1时,y1<y2 7.(2025福建)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上,若3<b<4,则下列判断正确的是 (　　) A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 8.(2024宁夏)若二次函数y=2x2-x+m的图象与x轴有交点,则m的取值范围是　　　　.  9.(2025广东)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过点(c,0),但不经过原点,则该二次函数的表达式可以是　　　　.(写出一个即可)  10.(2024辽宁)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A,B,点B的坐标为(3,0),若点C(2,3)在抛物线上,则AB的长为　　　　.  11.(2025广州)若抛物线y=x2-6mx+6m2+5m+3的顶点在直线y=x+2上,则m的值为　　　　.  12.(2025连云港)已知二次函数y=x2+2(a+1)x+3a2-2a+3,a为常数. (1)若该二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,求a的取值范围; (2)若该二次函数的图象与x轴有交点,求a的值; (3)求证:该二次函数的图象不经过原点. 考点2　二次函数图象的平移 13.(2025上海)将函数y=3x2的图象向下平移2个单位长度后,得到的新函数的图象对应的解析式为　　　　.  14.(2024滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　.  15.(2024济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是　　　　.  16.(2024内江)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移2个单位长度得到抛物线C,点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1　　　　y2(填“>”或“<”).  考点3　二次函数图象与系数a,b,c的关系 17.(2024自贡)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象如图所示,则n的取值范围是 (　　) A.n>-1 B.n>2 C.-1<n<1 D.1<n<2 18.(2025安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则 (　　) A.abc<0 B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 19.(2025广安)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象交x轴于A,B两点,点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(n,0),有下列结论:①abc<0;②4a+c>2b;③关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n;④-=.其中正确的有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20.(2025乐山)已知二次函数y=x2+4x+m的图象经过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,有下列结论: ①二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=-2; ②当m<4时,二次函数的图象与x轴有两个交点; ③若y1<y2,则|x1+2|>|x2+2|; ④当x≥-2时,若二次函数的图象与一次函数y=2x-1的图象有两个交点,则-1≤m<0. 其中,正确的结论有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.(2025泸州)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1,与y轴的交点位于x轴下方,且x=-1时,y>0,下列结论正确的是 (　　) A.2a=b B.b2-4ac<0 C.a-2b+4c<0 D.8a+c>0 22.(2025陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2-2ax+a-3(a≠0)的图象与x轴有两个交点,且这两个交点分别位于y轴两侧,则下列关于该函数的结论正确的是 (　　) A.图象的开口向下 B.当x>0时,y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于-3 D.当x=2时,y<0 23.(2025南充)已知某函数图象关于y轴对称,当0≤x≤2时,y=x2-2x;当x>2时,y=2x-4.若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点,则实数b的范围是 (　　) A.-<b<0 B.-<b<- C.-≤b≤0 D.b≤-或b>0 24.(2025烟台)如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于(-2,0)和(-1,0)之间,顶点P的坐标为(1,n).下列结论:①abc<0;②对于任意实数m,都有am2+bm-a-b>0;③3b<2c;④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B,且△PAB是等边三角形,则n=-.其中所有正确结论的序号是 (　　) A.①② B.①③ C.①④ D.①③④ (第24题)　　　(第25题) 25.(2025宜宾)如图,O是坐标原点,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,C两点,与y轴交于B点,顶点为D,对称轴为直线x=-2,其中A(2,0),B(0,c),且-3<c<-2.有以下结论:①abc>0;②<b<1;③△ACD是钝角三角形;④若方程ax2+(b-2)x+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则-2<x1<4-2,6<x2<4+2.其中正确结论有 (　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 26.(2025武汉)已知二次函数y=ax2+(a-2)x-2(a为常数,且a≠0).下列五个结论: ①该函数图象经过点(-1,0); ②若a=-1,则当x>-1时,y随x的增大而减小; ③该函数图象与x轴有两个不同的公共点; ④若a>2,则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1; ⑤若a>2,则关于x的方程|ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个. 其中正确的是　　　　(填写序号).  27.(2025北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点O和点A(3,3a). (1)求c的值,并用含a的式子表示b. (2)过点P(t,0)作x轴的垂线,交抛物线于点M,交直线y=ax于点N. ①若a=1,t=4,求MN的长; ②已知在点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中,MN的长随OP的长的增大而增大,求a的取值范围. 28.(2025浙江)已知抛物线y=x2-ax+5(a为常数)经过点(1,0). (1)求a的值. (2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点,且点B为线段AC的中点,求t的值. (3)设m<3<n,抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线l1,l2之间.若直线l1,l2之间的距离为16,求n-m的最大值. 29.(2024临沂)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m. (1)求m的值. (2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位长度,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和. (3)设y=ax2+bx-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1<x2).若4<x2-x1<6,求a的取值范围. 30.新考法新函数　(2025青岛)将二次函数y=x2-2x-3的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,得到如图所示的新函数图象,下列对新函数的描述正确的是 (　　) A.图象与y轴的交点坐标是(0,-3) B.当x=1时,函数取得最大值 C.图象与x轴两个交点之间的距离为4 D.当x>1时,y的值随x值的增大而增大 31.新考法过程性探究活动　(2024广西)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a-3的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出a=-4,求二次函数y=x2+2ax+a-3的最小值. ①请你写出对应的函数解析式; ②求当x取何值时,函数y取最小值,并写出此时的y值. 【举一反三】老师给出更多a的值,同学们求出对应的函数在x取何值时,y的最小值.记录结果,并整理成下表: a … -4 -2 0 2 4 … x … * 2 0 -2 -4 … y的最小值 … * -9 -3 -5 -15 … 注:*为②的计算结果. 【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的发现.” 甲同学:“我发现,老师给了a值后,我们只要取x=-a,就能得到y的最小值.” 乙同学:“我发现,y的最小值随a值的变化而变化,当a由小变大时,y的最小值先增大后减小,所以我猜想y的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理? (3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确,请求出此最大值;若不正确,说明理由. 分类训练12二次函数的图象与性质 1 D 2 C　∵二次函数的表达式为y=-(x-2)2+c,∴二次函数y=-(x-2)2+c的图象开口向下,对称轴为直线x=2,∴在抛物线上离对称轴越近的点,其对应的函数值越大,∴y2>y1>y3.故选C. 3 B　由题意得y=(x+1)􀱋2=(x+1+2×2)(x+1-2)=(x+5)(x-1)=x2+4x-5=(x+2)2-9,∴当x=-2时,函数y=(x+1)􀱋2取得最小值-9.故选B. 4 B　如图,分别过点A,C作y轴的垂线,垂足分别为点M,N,易知A(m,-m2+4),C(n,-n2+4),∴AM=m,MO=-m2+4,CN=n,NO=-n2+4.易证△CDN≌△DAM,∴DM=CN=n,DN=AM=m,∴MN=DM+DN=m+n.又MN=NO-MO=m2-n2,∴m2-n2=m+n,即(m+n)(m-n)=m+n.∵m>n>0,∴m+n≠0,∴m-n=1. 5 D　∵二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为(-1,4),∴二次函数图象的对称轴是直线x=-1,故A错误.设二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点的横坐标是m,则=-1,∴m=1,故B错误.观察函数图象可知当x<-1时,y随x的增大而增大,故C错误.设二次函数的解析式为y=a(x+1)2+4,把(-3,0)代入,得0=a(-3+1)2+4,解得a=-1,∴y=-(x+1)2+4,当x=0时,y=-(0+1)2+4=3,∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3.故选D. 6 A　易知抛物线的对称轴为直线x=-=1,抛物线经过原点O,∴抛物线经过点(2,0).抛物线的大致图象如图所示.当x1<0时,结合图象可知y1>0.若y1·y2<0,则y2<0,结合图象可知0<x2<2;若y1·y2>0,则y2>0,结合图象可知x2>2或x2<0.若x1<x2<1,则y1>y2.若x1>x2>1,则y1>y2. 7 A　易知抛物线y=3x2+bx+1过点(0,1),对称轴为直线x=-=-.∵3<b<4,∴-<-<-,∴点A在对称轴左侧,点(0,1),B在对称轴右侧,∴点A关于直线x=-对称的点的横坐标为-+2,∴<-+2<1.∵3>0,∴抛物线开口向上,∴在抛物线对称轴右侧,y随x的增大而增大,故1<y1<y2. 8 m≤ 9 y=-x2+x+2(答案不唯一,满足c≠0,c=b+1即可) 【解析】将(c,0)代入y=-x2+bx+c,得-c2+bc+c=0,整理,得c(c-b-1)=0.∵二次函数y=-x2+bx+c的图象不经过原点,∴c≠0,∴c-b-1=0,∴c=b+1. 10 4 【解析】把(3,0),(2,3)分别代入y=ax2+bx+3,得解得∴y=-x2+2x+3.令y=0,得0=-x2+2x+3,解得x=-1或x=3,∴A(-1,0),∴AB=3-(-1)=4. 11 1或- 【解析】抛物线的表达式可化为y=(x-3m)2-3m2+5m+3,∴抛物线的顶点坐标为(3m,-3m2+5m+3).∵抛物线的顶点在直线y=x+2上,∴-3m2+5m+3=3m+2,解得 m1=1,m2=-. 12 (1)由二次函数的图象与直线y=2a2有两个交点,知函数的最小值小于2a2, 二次函数的最小值为=2a2-4a+2, 即2a2-4a+2<2a2,解得a>. (2)因为二次函数的图象与x轴有交点, 所以Δ=4(a+1)2-4×1×(3a2-2a+3)=-8a2+16a-8=-8(a-1)2≥0, 所以8(a-1)2≤0. 又因为8(a-1)2≥0,所以8(a-1)2=0,解得a=1. (3)证明:当x=0时,y=3a2-2a+3=3(a-)2+>0, 所以二次函数的图象不经过原点. 13 y=3x2-2 14 (1,2) 【解析】将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,平移后抛物线的表达式为y=-(x-1)2+2,∴平移后抛物线的顶点坐标为(1,2). 15 k≥3　16 < 17 C　由图象可得解得-1<n<1,∴n的取值范围是-1<n<1,故选C. 18 C　根据抛物线开口方向和对称轴位置可知,a>0,b<0(口诀:左同右异);根据抛物线与y轴交于负半轴可知,c<0,∴abc>0,故A中结论错误.设抛物线与x轴负半轴的交点坐标为(m,0),则对称轴为直线x=.∵-1<m<0,∴<<1,即<-<1(关键点:根据抛物线与x轴交点的坐标,判断-的取值范围),由此可得 a<-b<2a,∴a+b<0①,2a+b>0,故B中结论错误.根据函数图象可知当x=-1时,y>0,∴a-b+c>0,故D中结论错误,-a+b-c<0②.①+②得,2b-c<0,故C中结论正确.故选C. 19 C　∵抛物线的开口向下,交y轴于正半轴,∴a<0,c>0.∵抛物线的对称轴在y轴右侧,∴->0,∴b>0,∴abc<0,故结论①正确.由抛物线可得,当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,即4a+c<2b,故结论②错误.∵抛物线与x轴交于点A(-1,0),B(n,0),∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n,-=,故结论③④正确.故选C. 20 C　易知抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-=-=-2,故①正确.令x2+4x+m=0,则Δ=16-4×1×m=16-4m.又m<4,∴Δ=16-4m>0,∴抛物线与x轴有两个交点,故②正确.∵抛物线的开口向上,∴抛物线上的点到对称轴的距离越小,其纵坐标越小.又y1<y2,∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离,∴|x1+2|<|x2+2|,故③错误.设当x≥-2时,二次函数的图象为图象G.当抛物线与直线y=2x-1有且只有一个交点时,如图(1),则关于x的方程x2+4x+m=2x-1,即x2+2x+m+1=0有两个相等的实数根,∴4-4(m+1)=0,解得m=0.当直线y=2x-1经过抛物线的顶点(-2,m-4)时,如图(2),此时图象G与直线y=2x-1有两个交点,m-4=-4-1,解得m=-1.分析可知,当-1≤m<0时,图象G与直线y=2x-1有两个交点,故④正确. 图(1)　　　　　　　　图(2) 21 D　∵该抛物线的对称轴为直线x=1,∴-=1,∴2a=-b.故A错误.根据抛物线与y轴的交点位于x轴下方可得,当x=0时,y<0.∵当x=-1时,y>0,∴抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=-1和y轴之间,∴抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间,∴抛物线与x轴有两个不同的交点,∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0.故B错误.当 x=-时,y=a-b+c=(a-2b+4c).∵抛物线与x轴的一个交点一定在直线x=-1和y轴之间,∴不能判断当x=-时,对应的函数图象上的点在x轴的上方还是下方.故C不一定正确.分析可知a>0.∵b=-2a,∴当x=4时,y=16a+4b+c=8a+c.∵抛物线与x轴的另一个交点一定在直线x=2和直线x=3之间,∴当x=4时,对应的函数图象上的点一定在x轴上方,即8a+c>0.故D正确.故选D. 22 D　由题意可得,方程ax2-2ax+a-3=0有2个不相等的实数根,∴Δ=(-2a)2-4a(a-3)=12a>0,∴a>0,抛物线开口向上,A中结论错误.抛物线y=ax2-2ax+a-3的对称轴为直线x=-=1,∴当x>0时,y的值随x值的增大先减小,后增大,B中结论错误.将x=1代入y=ax2-2ax+a-3,得y=-3,∴函数的最小值为-3,C中结论错误.画出抛物线的大致图象如图所示,根据函数对称性可知,x=2与x=0时的函数值相等,故当x=2时,y<0,D中结论正确. 23 A　该函数图象如图所示.易求OA段抛物线的解析式为y=x2+2x(-2≤x≤0).当直线y=x+b经过点O时,b=0,此时直线y=x与函数图象有三个不同的交点.当直线y=x+b在直线y=x下方与OA段的抛物线有且只有一个交点时,关于x的方程x2+2x=x+b有两个相等的实数根,整理,得x2+x-b=0,∴Δ=1+4b=0,解得b=-.分析可知,当直线y=x+b在直线y=x和直线y=x-之间时,其与函数图象有四个不同的交点,∴-<b<0. 24 D　逐个分析如下.故选D. 结论 分析 正误 ① ∵抛物线开口向下,∴a<0.又∵-=1,∴b>0.∵抛物线与y轴交于正半轴,∴c>0,∴abc<0. √ ② 对于y=ax2+bx+c,当x=1时,ymax=a+b+c,∴对于任意实数m,都有am2+bm+c≤a+b+c,即am2+bm-a-b≤0. ✕ ③ 观察函数图象,当x=-1时,y=a-b+c>0①.∵-=1,∴-=a②,将②代入①,得--b+c>0,整理得2c>3b. √ ④ 易得A(1-n,0),B(1+n,0)(点拨:利用三角函数求得).根据根与系数的关系可得(1-n)(1+n)=①.∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴a+b+c=n②,将b=-2a代入②,整理得c=n+a③,将③代入①,整理得1-=+1,∴n=-. √ 25 C　由题中图象可知,抛物线开口向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=-=-2,∴b=4a>0.∵-3<c<-2,∴abc<0.故结论①错误.∵抛物线与x轴的一个交点为A(2,0),∴4a+2b+c=0,即b+2b+c=0,∴c=-3b.又∵-3<c<-2,∴-3<-3b<-2,∴<b<1.故结论②正确.设抛物线的对称轴与x轴的交点为M,当x=-2时,y=4a-2b+c.又∵b=4a,c=-3b,∴y=b-2b-3b=-4b,即DM=4b.∵AM=AO+OM=2+2=4,∴tan∠CAD===b<1.∴∠ACD=∠CAD<45°,∴∠ADC>90°,∴△ACD是钝角三角形.故结论③正确.∵<b<1,∴当b=时,a=b=,c=-3b=-2,∴方程ax2+(b-2)x+c=0转化为x2-x-2=0,解得x=4-2或x=4+2.当b=1时,a=b=,c=-3b=-3,∴方程ax2+(b-2)x+c=0转化为x2-x-3=0,解得x=-2或x=6.∵方程ax2+(b-2)x+c=0的两个根为x1,x2(x1<x2),∴-2<x1<4-2,6<x2<4+2.故结论④正确.故选C. 26 ①②④⑤ 【解析】逐个分析如下. 序号 分析 正误 ① 当x=-1时,y=a-(a-2)-2=a-a+2-2=0,∴该函数图象经过点(-1,0). √ ② 当a=-1时,y=-x2-3x-2,∴该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=-=-,∴当x>-时,y随x的增大而减小,故当x>-1时,y随x的增大而减小. √ ③ 对于ax2+(a-2)x-2=0,Δ=(a-2)2-4a×(-2)=a2-4a+4+8a=(a+2)2≥0,∴该函数图象与x轴有一个公共点或两个不同的公共点. ✕ ④ 方法一:对于ax2+(a-2)x-2=0,当a>2时,Δ=(a+2)2>0.易知该方程的一个根为x1=-1,∴该方程的另一个根为x2=(点拨:由根与系数的关系可得x1x2=-).∵a>2,∴0<<1,即若a>2,则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1. 方法二:当a>2时,对于y=ax2+(a-2)x-2,当x=0时,y=-2<0;当x=1时,y=2a-4>0,∴该函数图象在0~1之间与x轴必有一个交点,即若a>2,则关于x的方程ax2+(a-2)x-2=0有一个根大于0且小于1(点拨:数形结合思想). √ ⑤ 当a>2时,-<0.当x=0时,y=|ax2+(a-2)x-2|=2.画出函数y=|ax2+(a-2)x-2|的大致图象如图所示. 结合图象可知直线y=2与该函数图象的交点的横坐标只有一个为正数,即若a>2,则关于x的方程|ax2+(a-2)x-2|=2的正数根只有一个. √ 27 (1)将(0,0)代入y=ax2+bx+c,得c=0. 将(3,3a)代入y=ax2+bx,得9a+3b=3a,∴b=-2a. (2)①当a=1时,抛物线及直线的解析式分别为y=x2-2x,y=x. 由题意可知xM=xN=t=4, 把x=4代入y=x2-2x,得y=8, 把x=4代入y=x,得y=4, ∴MN=8-4=4. ②当a>0时,如图(1),结合图象分析可知,若要满足题意,则yN>yM, ∴MN=at-(at2-2at)=-at2+3at, 其对应图象的对称轴为直线x=-=. ∵在0≤t≤2a的范围内,MN随t的增大而增大, ∴2a≤,∴a≤,∴0<a≤. 当a<0时,如图(2),此时由图易知点P从点O运动到点B(2a,0)的过程中,MN的长随OP的长的增大而增大,∴a<0符合题意. 综上,a<0或0<a≤. 图(1)　　　　　　　　　　　图(2) 28 (1)把(1,0)代入y=x2-ax+5, 得1-a+5=0,解得a=6. (2)由(1)知二次函数的表达式为y=x2-6x+5. 抛物线的对称轴为直线x=3. 因为点A的坐标为(0,t),且点B为线段AC的中点, 设点B(s,t),则点C(2s,t). 如图(1),由对称性可得=3,解得s=2, 当s=2时,t=22-6×2+5=-3. 图(1)　图(2) (3)如图(2),因为y=x2-6x+5=(x-3)2-4, 所以抛物线的顶点坐标为(3,-4). 因为抛物线的一段y=x2-ax+5(m≤x≤n)夹在平行线l1,l2之间,且m<3<n, 所以下方的直线不能在顶点(3,-4)上方. 因为直线l1,l2之间的距离为16, 所以要使n-m最大,则l1经过顶点(3,-4), 此时l2为直线y=12. 当y=12时,(x-3)2-4=12, 解得x1=-1,x2=7, 所以n-m的最大值为7-(-1)=8. 29 (1)方法一:由题意得,二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象与y轴的交点坐标为(0,-3). 又∵点P(2,-3)在函数图象上, ∴m==1. 方法二:∵点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上, ∴4a+2b-3=-3,∴b=-2a, ∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=1, ∴m=1. (2)将P(2,-3),Q(1,-4)分别代入y=ax2+bx-3, 得解得 ∴y=x2-2x-3, ∴平移后新的二次函数的解析式为y=x2-2x+2,其对称轴为直线x=-=1. ∵0≤x≤4, ∴当x=1时,函数取最小值,最小值为12-2×1+2=1, 当x=4时,函数取最大值,最大值为42-2×4+2=10, ∴当0≤x≤4时,新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11. (3)∵y=ax2-2ax-3的图象与x轴的交点为(x1,0),(x2,0)(x1<x2), ∴x1+x2=2,x1·x2=-(点拨:根与系数的关系为x1+x2=-,x1x2=). ∵x2-x1=, ∴x2-x1==2. ∵4<x2-x1<6, ∴4<2<6, ∴2<<3,解得<a<1. 30 C　逐项分析如下,故选C. 选项 分析 正误 A 对于y=x2-2x-3,令x=0,则y=-3,∴二次函数y=x2-2x-3的图象与y轴的交点坐标为(0,-3),∴翻折后新函数图象与y轴的交点坐标是(0,3). ✕ B 由函数图象可知,该函数没有最大值. ✕ C 对于y=x2-2x-3,令y=0,则x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1,∴二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),∴新函数图象与x轴两个交点之间的距离为3-(-1)=4. √ D 易得新函数图象的对称轴为直线x=1,结合函数图象可知,当1<x<3时,y随x的增大而减小;当x>3时,y随x的增大而增大. ✕ 31 (1)①y=x2-8x-7. ②y=x2-8x-7=(x-4)2-23. ∵1>0,∴抛物线开口向上, ∴当x=4时,y取最小值,最小值为-23. (2)y=x2+2ax+a-3=(x+a)2-a2+a-3, ∵1>0,∴抛物线开口向上, ∴当x=-a时,y取最小值. ∴甲同学的说法合理. (3)乙同学的猜想正确. 当x=-a时,y取最小值, 此时y最小值=-a2+a-3=-(a-)2-, ∵-1<0,∴抛物线开口向下, ∴当a=时,y最小值取最大值,最大值为-. 学科网（北京）股份有限公司 $