第一部分 分类训练11 反比例函数（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练11 反比例函数　　　　　　　　　　　　　 考点1　反比例函数的图象与性质 1.(2025重庆)反比例函数y=-的图象一定经过的点是(　　) A.(2,6) B.(-4,-3) C.(-3,-4) D.(6,-2) 2.(2025浙江)已知反比例函数y=.下列选项正确的是(　　) A.函数图象在第一、三象限 B.y随x的增大而减小 C.函数图象在第二、四象限 D.y随x的增大而增大 3.(2025河北)在反比例函数y=中,若2<y<4,则 (　　) A.<x<1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 4.(2025天津)若点A(-3,y1),B(1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=-的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y3<y1 5.(2025内蒙古)已知点A(m,y1),B(m+1,y2)都在反比例函数y=-的图象上,则下列结论一定正确的是 (　　) A.y1>y2 B.y1<y2 C.当m<0时,y1<y2 D.当m<-1时,y1<y2 6.(2025湖南)对于反比例函数y=,下列结论正确的是 (　　) A.点(2,2)在该函数的图象上 B.该函数的图象分别位于第二、第四象限 C.当x<0时,y随x的增大而增大 D.当x>0时,y随x的增大而减小 7.(2025山东)如图,在平面直角坐标系中,A,C两点在坐标轴上,四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y=(x>0)的图象经过点B,则满足y≥2的x的取值范围为 (　　) A.0<x≤2 B.x≥2 C.0<x≤4 D.x≥4 (第7题)　　(第8题) 8.(2025广西)如图,在平面直角坐标系中,“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直,且满足BC=DE=FG=1,点A,C,E,G均在双曲线y=的一支上.若点A的坐标为(4,),则第三级阶梯的高EF= (　　) A.4 B.3 C. D. 9.(2025武汉)在平面直角坐标系中,某反比例函数y=的图象分别位于第一、三象限.写出一个满足条件的k的值:　　　　.  10.新课标开放性试题　(2025甘肃)已知点A(2,y1),B(6,y2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上,如果y1>y2,那么k=　　　　(请写出一个符合条件的k值).  考点2　反比例函数解析式的确定 考向1　利用待定系数法求解型 11.(2025云南)若点(1,2)在反比例函数y=(k为常数,且k≠0)的图象上,则k= (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 12.新考法与正多边形结合　(2025青岛)如图,正八边形ABCDEFGH的顶点A,B,G,H在坐标轴上,顶点C,D,E,F在第一象限.点F在反比例函数y=(x>0)的图象上,若AB=,则k的值为　　　　　.  考向2　利用|k|的几何意义求解型 13.(2025绥化)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过A,C两点,过点A作AB⊥y轴于点B,过点C作CD⊥x轴于点D,连接OA,OC,AC.若S△ACO=4,CD∶OB=1∶3,则k的值是 (　　) A.-12 B.-9 C.-6 D.-3 (第13题)(第14题) (第15题) 14.(2024齐齐哈尔)如图,反比例函数y=(x<0)的图象经过▱ABCO的顶点A,OC在x轴上,若点B(-1,3),S▱ABCO=3,则实数k的值为　　　　.  15.(2024通辽)如图,平面直角坐标系中,原点O为正六边形ABCDEF的中心,EF∥x轴,点E在双曲线y=(k为常数,k>0)上,将正六边形ABCDEF向上平移个单位长度,点D恰好落在双曲线上,则k的值为　　　　.  考点3　反比例函数与一次函数的综合 16.(2025连云港)如图,正比例函数y1=k1x(k1<0)的图象与反比例函数y2=(k2<0)的图象交于A,B两点,点A的横坐标为-1.当y1<y2时,x的取值范围是 (　　) A.x<-1或x>1 B.x<-1或0<x<1 C.-1<x<0或x>1 D.-1<x<0或0<x<1 17.(2024大庆)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx-k(k≠0)与y=的大致图象为 (　　) 18.(2025贵州)如图,一次函数y=x(x≥0)与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C,过反比例函数图象上点A作x轴的垂线,垂足为点D,交y=x的图象于点B,点A的横坐标为1.有以下结论: ①线段AB的长为8; ②点C的坐标为(3,3); ③当x>3时,一次函数的值小于反比例函数的值. 其中结论正确的个数是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (第18题)　(第19题) 19.(2025陕西)如图,过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(m,n),B(m-6,n-6)两点,则k的值为　　　　.  20.(2025山西)如图,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴,y轴交于点A,B,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C.已知点A的坐标为(-2,0),点C的坐标为(1,6),点D在反比例函数y=(x>0)的图象上,纵坐标为2. (1)求反比例函数的表达式,并直接写出点B的坐标; (2)连接BD,OD,请直接写出四边形ABDO的面积. 21.(2025扬州)如图,在平面直角坐标系中,反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A(-1,6),B(m,-2). (1)求反比例函数、一次函数的表达式; (2)求△OAB的面积. 22.(2025南充)一次函数与反比例函数的图象交于点A(-3,1),B(1,n). (1)求一次函数与反比例函数的解析式. (2)点C在反比例函数第二象限的图象上如图所示的位置,横坐标为a,过点C作x轴的垂线,交AB于点D,CD=,求a的值. 23.(2025苏州)如图,一次函数y=2x+4的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象交于点D,连接CD. (1)求A,B两点的坐标; (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形,求k的值. 24.(2025甘肃)如图,一次函数y=x+4的图象交x轴于点A,交反比例函数y=(k≠0,x<0)的图象于点B(-1,a).将一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度,所得的图象交x轴于点C. (1)求反比例函数y=的表达式; (2)当△ABC的面积为3时,求m的值. 25.(2025自贡)如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=-的图象交于点A(-2,a),点B是线段OA上异于端点的一点,过点B作y轴的垂线,交反比例函数的图象于点D. (1)求k的值; (2)若BD=2,求点B的坐标; (3)双曲线y=-关于y轴对称的图象为y',直接写出射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标. 26.新考法与概率结合　(2025广州)如图,曲线G:y=(x>0)经过点P(4,t). (1)求t的值; (2)直线l:y=-x+b也经过点P,求l与y轴交点的坐标,并在图中画出直线l; (3)在(2)的条件下,若在l与两坐标轴围成的三角形内部(不包含边界)随机取一个格点(横、纵坐标都是整数的点),求该格点在曲线G上的概率. 考点4　反比例函数与几何图形的综合 27.(2025烟台)如图,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,OA=3,反比例函数y=(x>0)的图象过点C和菱形的对称中心M,则k的值为 (　　) A.4 B.4 C.2 D.2 (第27题)　　　(第28题) 28.(2025龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,点A、点B都在双曲线y=(k≠0)上,且点A在点B的右侧,点A的横坐标为-1,∠AOB=∠ABO=45°,则k的值为 (　　) A. B.- C. D.- 29.(2025北京)如图,在平面直角坐标系xOy中,A,B分别是横、纵轴正半轴上的动点,四边形OACB是矩形,函数y=(x>0)的图象与边AC交于点M,与边BC交于点N(M,N不重合).给出下面四个结论: ①△COM与△CON的面积一定相等; ②△MON与△MCN的面积可能相等; ③△MON一定是锐角三角形;④△MON可能是等边三角形. 上述结论中,所有正确结论的序号是 (　　) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ (第29题) 　　　(第30题) 30.(2025威海)如图,点A在反比例函数y=的图象上,点B在反比例函数y=-的图象上,连接OA,OB,AB.若AO⊥BO,则tan∠BAO=　　　　.  31.(2025河南)小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中,其中含30°角的三角板OAB的直角边OA在y轴上,含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为(2,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C. (1)求反比例函数的表达式. (2)将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°,AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点D的坐标. 考点5　反比例函数与一次函数及几何图形的综合 32.(2025宜宾)如图,O是坐标原点,反比例函数y=-(x>0)的图象与直线y=-2x交于点A,点B在y=-(x>0)的图象上,直线AB与y轴交于点C,连接OB.若AB=3AC,则OB的长为 (　　) A. B. C. D. 33.(2025齐齐哈尔)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x-1的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象在第二象限内交于点A,与x轴交于点B,点C的坐标为(0,3),连接AC,BC.若AC=BC,则实数k的值为　　　　.  (第33题)　　　(第34题) 34.(2025新疆)如图,在平面直角坐标系中,直线y=k1x+b(k1≠0)与双曲线y=(k2≠0)交于A(1,4),B(-4,n)两点,过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C,连接BC,则△ABC的面积是 . 35.(2024连云港)如图(1),在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+1(k≠0)的图象与反比例函数y=的图象交于点A,B,与y轴交于点C,点A的横坐标为2. (1)求k的值; (2)利用图象直接写出kx+1<时x的取值范围; (3)如图(2),将直线AB沿y轴向下平移4个单位,与函数y=(x>0)的图象交于点D,与y轴交于点E,再将函数y=(x>0)的图象沿AB平移,使点A,D分别平移到点C,F处,求图中阴影部分的面积. 图(1)　　　　　　　图(2) 36.(2025江西)如图,直线l:y=x+m与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(6,2). (1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)将直线l向上平移,在x轴上方与反比例函数图象交于点C,连接OA,OC,当∠1=∠2时,求点C的坐标及直线l平移的距离. 37.(2024眉山)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)若点P在y轴上,当△PAB的周长最小时,请直接写出点P的坐标; (3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴,y轴分别交于E,F两点,当EF=AB时,求a的值. 38.(2025遂宁)如图,一次函数y=mx+n(m,n为常数,m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(-2,-2),B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的关系式; (2)结合图形,请直接写出不等式-x<0的解集; (3)点P(0,b)是y轴上的一点,若△ABP是以AB为直角边的直角三角形,求b的值. 39.(2024宜宾)如图,一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于点A(1,4),B(n,-1). (1)求反比例函数和一次函数的表达式. (2)利用图象,直接写出不等式ax+b<的解集. (3)已知点D在x轴上,点C在反比例函数图象上.若以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形,求点C的坐标. 40.(2025成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+b与反比例函数y=的图象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0). (1)求k的值; (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上,若∠ACD=90°,求直线AD的函数表达式; (3)P为x轴上一点,直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A),连接BE,若△BEP的面积为2,求点E的坐标. 备用图 41.(2025大庆)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,OA=2,点B在反比例函数y=(k>0)的图象上,△OBA为等边三角形,延长BO与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C,连接CA并延长与反比例函数y=的图象在第一象限交于点D. (1)求反比例函数的表达式. (2)求点D的坐标及△OAD的面积. (3)在x轴上是否存在点Q,使得以A,D,Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 考点6　反比例函数的实际应用 42.新课标跨学科试题　(2025长春)在功W(J)一定的条件下,功率P(W)与做功时间t(s)成反比例,P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当25≤t≤40时,P的值可以为 (　　) A.24 B.27 C.45 D.50 43.新课标跨学科试题　(2025成都)某蓄电池的电压为定值.使用此电源时,用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为I=,则电流I的值随电阻R值的增大而　　　　(填“增大”或“减小”).  44.新课标跨学科试题　(2025连云港)某气球内充满了一定质量的气体,在温度不变的条件下,气球内气体的压强pPa)是气球体积Vm(3)的反比例函数.当V=1.2 m(3时,p=20 000 Pa.则当V=1.5 m3时,p=　　　　Pa.  45.新素材《天工开物》中的桔槔　(2025贵州)小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图(1)),有一横杆固定于桔槔上O点处,并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿,在横杆B处固定300 N的物体,且OB=1 m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离l时,横杆始终处于水平状态,小星发现F与l有一定的关系,记录了拉力F的大小与l的变化,部分数据如下表: 点A与点O的距离l/m … 1 1.5 2 2.5 3 … 拉力的大小F/N … 300 200 150 120 a … (1)表格中a的值是　　　　.  (2)小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画F与l之间的关系,在如图(2)所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象. (3)根据以上数据和图象判断,当OA的长增大时,拉力F是增大还是减小?请说明理由. 图(1) 　　　　　　　　　图(2)　　　　 分类训练11反比例函数 1 D　2 C 3 B　对于y=,当y=2时,x=2;当y=4时,x=1.又∵当x>0时,y随x的增大而减小,∴若2<y<4,则1<x<2. 4 D　∵-9<0,∴反比例函数y=-的图象位于第二、四象限,且在每个象限内,y随x的增大而增大.在其图象上大致标出点A,B,C的位置如图所示,由图象可以看出,y1>y3>y2. 5 D　∵-3<0,∴反比例函数y=-的图象位于第二、四象限,且在每个象限内y随x的增大而增大.当m+1<0,即m<-1时,y1<y2.当m<0<m+1,即-1<m<0时,y1>y2.当m>0时,y1<y2.故选D. 6 D　∵y=,∴当x=2时,y=1≠2.∴点(2,2)不在该函数的图象上.故A错误.∵2>0,∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限.故B错误.当x<0时,y随x的增大而减小,故C错误.当x>0时,y随x的增大而减小,故D正确,故选D. 7 A　∵四边形OABC是面积为4的正方形,∴设点B的坐标为(b,b).∴b2=4,解得b=2(负值已舍去),∴点B的坐标为(2,2).∵函数y=(x>0)的图象经过点B,∴满足y≥2的x的取值范围为0<x≤2.故选A. 8 B 9 1(答案不唯一,满足k>0即可) 10 1(答案不唯一,写出一个正数即可) 【解析】∵0<2<6,y1>y2,∴在同一象限内,y随x的增大而减小,∴k>0. 11 B 12 2+ 【解析】如图,过点F作FM⊥y轴于点M.∵正八边形ABCDEFGH的每个外角的度数为=45°,∴∠OHA=∠OAH=∠MGF=∠MFG=45°.又∵AH=FG=AB=,∴OH=OA=MG=MF=1,∴OM=OH+HG+MG=1++1=2+,∴F(1,2+).又∵点F在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴k=1×(2+)=2+. 13 D　如图,延长DC,BA交于点E,则四边形OBED是矩形.∵CD∶OB=1∶3,∴可设CD=a(a>0),OB=3a,∴yC=a,yA=3a,DE=OB=3a,∴xC=,xA=,∴OD=-,AB=-,∴S矩形OBED=OD·OB=-×3a=-3k,BE=OD=-,∴AE=BE-AB=-,CE=DE-CD=2a,∴S△AEC=AE·CE=-.易知S△DOC=S△AOB=-.∵S△ACO=S矩形OBED-S△DOC-S△AOB-S△AEC=4,∴-3k-(-)-(-)-(-)=4,∴k=-3. 14 -6　15 4 16 C　根据正比例函数与反比例函数图象的对称性及点A的横坐标可知,点B的横坐标为1.观察函数图象可知,当-1<x<0或x>1时,函数y1的图象在函数y2的图象的下方,故y1<y2时,x的取值范围是-1<x<0或x>1. 17 C 18 C　①∵点A的横坐标为1,∴当x=1时,y===9,即A(1,9),易得B(1,1).∵AB⊥x轴,∴AB=|yA-yB|=9-1=8,故①正确.②联立解得(负值不合题意,已舍去),∴点C的坐标为(3,3),故②正确.③由题图可知,当x>3时,反比例函数的图象在一次函数图象的下方,即一次函数的值大于反比例函数的值,故③错误.故选C. 19 9 【解析】由正比例函数与反比例函数的中心对称性可知A(m,n),B(m-6,n-6)两点关于原点O对称,∴-m=m-6,-n=n-6,∴m=3,n=3,∴A(3,3),∴k=9. 20 (1)∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点C(1,6), ∴6=,∴k=6, ∴反比例函数的表达式为y=. 点B的坐标为(0,4). (2)10. 解法提示:∵点D在反比例函数y=的图象上,纵坐标为2,∴点D的横坐标为=3, ∴S四边形ABDO=S△AOB+S△DBO=BO·AO+BO·xD=×4×2+×4×3=10. 高分技法 ◀ ◀ ◀ 在平面直角坐标系中求三角形的面积的方法 1.若三角形中有一边平行于坐标轴(或与坐标轴重合),则三角形的面积=×平行于坐标轴的边的长(或与坐标轴重合的边的长)×该边上的高. 2.若三角形中没有一边平行于坐标轴(或与坐标轴重合),常采用割补法,转化为几个三角形(每个三角形中有一条边平行于坐标轴或与坐标轴重合)面积的和或差. 21 (1)将A(-1,6)代入y=,得k=-1×6=-6, ∴y=-.　 将B(m,-2)代入y=-,得-2=-,∴m=3, ∴B(3,-2). 将A(-1,6),B(3,-2)分别代入y=ax+b, 得解得 ∴y=-2x+4. (2)设直线AB与x轴交于点C. 对于y=-2x+4,当y=0时,x=2, ∴C(2,0), ∴S△AOB=S△OAC+S△OBC =OC·yA+OC·|yB| =×2×(6+2)=8. 22 (1)设反比例函数的解析式为y=(k1≠0). ∵反比例函数的图象经过点A(-3,1),∴k1=-3, ∴反比例函数的解析式为y=-. ∵B(1,n)在反比例函数y=-的图象上, ∴n=-3,∴B(1,-3). 设一次函数的解析式为y=k2x+b(k2≠0), 则解得 ∴一次函数的解析式为y=-x-2. (2)∵CD⊥x轴,∴C(a,),D(a,-a-2). ∵CD=,∴(-a-2)-=,即2a2+11a-6=0, 解得a1=-6,a2=. ∵点C在第二象限,∴a=-6. 23 (1)令y=0,则2x+4=0,解得x=-2. ∴点A的坐标为(-2,0). 令x=0,则y=4, ∴点B的坐标为(0,4). (2)如图,过点C作CE⊥BD,垂足为E. ∵CB=CD,CE⊥BD,∴BE=DE. 方法一:根据题意,得点D的坐标为(k,4), ∴点C的坐标为(k,8). ∵点C在一次函数y=2x+4的图象上,∴k+4=8, ∴k=16. 方法二:设点D(2a,4),则E(a,4),∴C(a,2a+4). ∵点C,D在反比例函数y=的图象上, ∴a(2a+4)=2a×4, 解得a1=2,a2=0(舍去), ∴C(2,8),∴k=16. 24 (1)∵y=x+4的图象与y=(k≠0,x<0)的图象交于点B(-1,a), ∴a=-1+4=3,∴B(-1,3), ∴k=-1×3=-3, ∴反比例函数的表达式为y=-. (2)如图,过点B作BD⊥x轴,垂足为D, ∵B(-1,3),∴BD=3. 又∵S△ABC=AC·BD=3, 即AC×3=3,∴AC=2. ∵一次函数y=x+4的图象与x轴交于点A, ∴A(-4,0). 将一次函数y=x+4的图象向下平移m(m>0)个单位长度,得到直线y=x+4-m, 令y=0,得x=m-4,∴C(m-4,0), ∴AC=m-4-(-4),即2=m-4-(-4), ∴m=2. 25 (1)∵点A(-2,a)在反比例函数y=-的图象上, ∴a=-=4,即A(-2,4). 将A(-2,4)代入 y=kx,得-2k=4, 解得k=-2. (2)∵点B在直线 y=-2x上,∴可设B(m,-2m), ∴点D的纵坐标为-2m. 令-=-2m,得x=, ∴D(,-2m). ∵BD=2,∴m-=2, 整理,得m2-2m-4=0, ∴m=1-(不合题意的值已舍去), ∴B(1-,-2+2). (3)(4,2)或(-4,-2). 解法提示:∵双曲线y=-关于y轴对称的图象为y', ∴y'=. 分两种情况讨论. ①将射线OA绕点O顺时针旋转90°,得到射线OA',点A的对应点为A',如图, 由旋转可得OA'=OA,∠AOA'=90°. 分别过点A,A'作x轴的垂线,垂足分别为K,L, ∴∠AKO=∠A'LO=90°, ∴∠AOK=90°-∠A'OL=∠OA'L, ∴△AOK≌△OA'L. ∵A(-2,4), ∴OL=AK=4,A'L=OK=2,∴A'(4,2). 当x=4时,y'==2,∴点A'(4,2)在双曲线y'=上. ②将射线OA绕点O逆时针旋转90°,得到射线OA″,点A的对应点为A″, 同①中思路可得A″(-4,-2). ∵-4×(-2)=8,∴点A″(-4,-2)也在双曲线y'=上, ∴射线OA绕点O旋转90°后与y'的交点坐标为(4,2)或(-4,-2). 26 (1)∵曲线G:y=过点P(4,t), ∴t==. (2)由(1)得P(4,). 把P(4,)代入y=-x+b,得=-4+b, 解得b=,∴y=-x+. 令x=0,则y=0+=, ∴l与y轴交点的坐标为(0,). 直线l如图所示. (3)令-x+=0,解得x=. 当x=1时,y=-1+=;当x=2时,y=-2+=;当x=3时,y=-3+=;当x=4时,y=-4+=, 故直线l与两坐标轴围成的三角形内部(不包括边界)的格点共有6个,分别是(1,3),(1,2),(1,1),(2,1),(2,2),(3,1). ∵曲线G:y=(x>0), ∴格点(1,2),(2,1)在曲线G上,即有两个格点在曲线G上, ∴该格点在曲线G上的概率==. 27 D　如图,分别过点C,M作CP⊥x轴,MQ⊥x轴,垂足分别为P,Q,则MQ∥CP.又∵CM=AM,∴MQ是△ACP的中位线,PQ=AQ,∴MQ=CP(依据:三角形中位线定理).设M(m,),则CP=2MQ=,AQ=OA-OQ=3-m,∴PQ=3-m,∴OP=OA-AP=3-2(3-m)=2m-3,∴C(2m-3,).∵反比例函数y=(x>0)的图象过点C,M,∴(2m-3)×=m×,解得m=2,∴OP=1,∴CP==2,∴C(1,2),∴k=1×2=2. 一题多解 ∵四边形OABC是菱形,∴AM=CM,即点M是AC的中点.设C(m,n),结合A(3,0),可得M(,).∵点C,M均在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴mn=·,解得m=1.如图,过点C作CH⊥x轴于点H,则OH=1,∴CH==2,∴C(1,2),∴k=1×2=2. 28 D　如图,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BD⊥x轴于点D,直线BD与AM交于点N,则四边形OMND是矩形,∴OD=MN,DN=OM.∵∠AOB=∠ABO=45°,∴OA=BA,∠OAB=90°.易证△AOM≌△BAN,∴BN=AM=1.把x=-1代入反比例函数的解析式得y=-k,∴AN=OM=-k,∴OD=1-k,BD=DN-BN=OM-BN=-k-1,∴B(-1+k,-k-1),∴(-k-1)(-1+k)=k,解得k1=,k2=-.易知k<0,∴k=-.故选D. 29 B　逐个分析如下,故选B. 序号 分析 正误 ① 易知S△OAC=S△OBC,S△OAM=S△OBN=(点拨:由反比例函数中|k|的几何意义可得),∴S△OAC-S△OAM=S△OBC-S△OBN,即S△COM=S△CON. √ ② 设OA=a,OB=b,则M(a,),N(,b),∴CN=a-,CM=b-,∴S△MCN=(a-)(b-).假设S△MON=S△MCN,则S△MON=(ab-1),∴(ab-1)=(a-)(b-),整理,得 1=,∴ab=1,∴此时函数y=(x>0)的图象过点C,与题意矛盾.故△MON与△MCN的面积不可能相等. ✕ ③ 如图所示,此时△MON是钝角三角形. ✕ ④ 假设OA=OB=m(m>0),则M(m,),N(,m),∴OM=,ON=,MN=,∴OM=ON.若OM=MN,则m2+()2=2(m-)2,整理,得m2-4+=0,∴m2-2+=2,∴(m-)2=2.易知m->0,故开方并整理,得m2-m-1=0,解得m=(负值已舍),此时OM=ON=MN,故△MON可能是等边三角形. √ 一题多解 对于结论②,易知S△OAM=S△OBN,假设S△MON=S△MCN,则S四边形OMNB=S矩形OACB.连接BM,则S△OBM=S矩形OACB.∵S四边形OMNB≠S△OBM,∴S四边形OMNB≠S矩形OACB.故假设不成立. 30 【解析】如图,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,∴∠BDO=∠ACO=90°.又∵AO⊥BO,∴∠DOB+∠DBO=∠COA+∠DOB=90°,∴∠DBO=∠COA,∴△DBO∽△COA,∴=()2(点拨:相似三角形的面积比等于相似比的平方).易知S△DBO==1,S△COA=×4=2,∴=()2,∴=,∴tan∠BAO==. 31 (1)∵反比例函数y=(x>0)的图象经过点C(2,2), ∴2=,∴k=4, ∴反比例函数的表达式是y=. (2)如图,过点C作CE⊥OA,垂足为点E,则点E是OA的中点, ∴OA=2OE=4, ∴三角板OAB旋转后,点D的横坐标为4. 把x=4代入y=,得y=1, ∴三角板OAB旋转后,点D的纵坐标为1, ∴AD=1, ∴旋转前点D的坐标为(-1,4). 32 D　如图,过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥y轴于点N,则AM∥BN,∴△CAM∽△CBN,∴=.∵AB=3AC,∴=,∴=.令=-2x,解得x1=,x2=-,∴A(,-2),即AM=,∴BN=4AM=4,即点B的横坐标为4.将x=4代入y=-(x>0)中,得y=-=-,∴ON=.在Rt△OBN中,由勾股定理可得OB===,故选D. 33 -6 【解析】对于y=-x-1,当y=0时,0=-x-1,解得x=-1,∴点B的坐标为(-1,0).∵点C的坐标为(0,3),∴BC2=12+32=10.设A(m,-m-1),∴AC2=(0-m)2+[3-(-m-1)]2=2m2+8m+16.∵AC=BC,∴AC2=BC2,∴2m2+8m+16=10,解得m1=-3,m2=-1,∴点A的坐标为(-3,2),∴k=-3×2=-6. 34 20 【解析】∵点A(1,4)在反比例函数y=的图象上,∴k2=1×4=4,∴点B(-4,n)在反比例函数y=的图象上,∴n=-1.由点A(1,4),B(-4,-1),可知直线AB的函数解析式为y=x+3.如图,设直线AB交x轴于点D,交y轴于点E,则D(-3,0),E(0,3),∴AD==4.在Rt△DOE中,OD=OE=3,∴∠ODE=45°.又∵AC⊥AB,∴△ADC是等腰直角三角形,∴DC=DA=8,∴S△ABC=S△ADC+S△BDC=CD·yA+CD·|yB|=×8×4+×8×1=20. 35 (1)∵点A在y=的图象上,当x=2时,y==3, ∴将点A(2,3)代入y=kx+1,得k=1. (2)x<-3或0<x<2. (3)由题意可知C(0,1),CE=4. 如图,过点C作CG⊥DE,垂足为点G.可求得CG=2. 又∵A(2,3),C(0,1),∴AC=2. 连接CF,AD,由平移性质可知,阴影部分面积就是▱ACFD的面积,即2×2=8. 36 (1)∵直线l:y=x+m与反比例函数y=的图象交于点A(6,2), ∴×6+m=2,=2, ∴m=-2,k=12, ∴一次函数和反比例函数的解析式分别为y=x-2,y=. (2)方法一:如图,作AD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E, ∴∠ADO=∠CEO=90°. 又∵∠1=∠2,∴△AOD∽△COE, ∴=. ∵A(6,2),∴AD=2,OD=6, ∴=,∴OE=3CE. 设CE=a,∴OE=3a,∴C(a,3a). ∵点C在反比例函数y=的图象上, ∴a×3a=12, 解得a=2或a=-2(舍去),∴C(2,6). 设直线l平移后的解析式为y=x+n, ∴×2+n=6,∴n=, ∴直线l向上平移的距离为n-m=-(-2)=. 方法二:如图,作AD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E. ∵∠1=∠2,∴tan∠1=tan∠2,∴=. ∵A(6,2),∴==, ∴=,∴OE=3CE. (此后同方法一) 方法三:如图,作AD⊥x轴于点D,CE⊥y轴于点E, ∴∠ADO=∠CEO=90°. 又∵∠1=∠2,∴△AOD∽△COE. 根据反比例函数图象性质可知:S△COE=S△AOD, ∴△AOD与△COE的相似比为1, ∴△AOD≌△COE, ∴OD=OE,AD=CE. ∵A(6,2),∴C(2,6). (此后同方法一) 方法四:(此前同方法一) ∴C(2,6). 在直线l上,当x=2时,y=×2-2=-, ∴直线l向上平移的距离为6-(-)=. 37 (1)∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(1,6),B(n,2), ∴=6,∴m=6, ∴反比例函数的表达式为y=. 把B(n,2)代入y=,得2=,∴n=3, ∴B(3,2). 把A(1,6),B(3,2)分别代入y=kx+b,得 解得 ∴一次函数的表达式为y=-2x+8. (2)点P的坐标为(0,5). 解法提示:如图,作点A关于y轴的对称点A',连接A'B交y轴于点P,则此时△PAB的周长最小. ∵A(1,6),∴A'(-1,6). 设直线BA'的表达式为y=ex+c. 将B(3,2),A'(-1,6)分别代入,得 解得 ∴直线BA'的表达式为y=-x+5. 当x=0时,y=5, ∴点P的坐标为(0,5). (3)∵直线AB的表达式为y=-2x+8, ∴由平移可知直线EF的表达式为y=-2x+8-a, ∴E(,0),F(0,8-a). ∵EF=AB, ∴=×, 整理,得(8-a)2=4, 解得a=6或a=10. 38 (1)∵点A(-2,-2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上, ∴k=(-2)×(-2)=4, ∴反比例函数的关系式为y=. ∵点B(a,1)在反比例函数y=的图象上, ∴1=,∴a=4,∴B(4,1). 把(-2,-2),(4,1)分别代入y=mx+n(m≠0), 得解得 ∴一次函数的关系式为y=x-1. (2)-2<x<0或x>2. (3)∵P(0,b)是y轴上的一点,且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形,直线AB的函数关系式为y=x-1, ∴可设另一条直角边所在直线的函数关系式为y=-2x+b. 当直角顶点是A时,则有-2=-2×(-2)+b, 解得b=-6; 当直角顶点是B时,则有1=-2×4+b, 解得b=9. 故b的值是-6或9. 39 (1)将点A的坐标代入反比例函数的表达式(点拨:待定系数法),得4=, ∴k=4, ∴反比例函数的表达式为y=. 将点B的坐标代入反比例函数的表达式,得n==-4, ∴B(-4,-1). 将点A,B的坐标分别代入一次函数表达式, 得解得 则一次函数表达式为y=x+3. (2)0<x<1或x<-4. (3)已知A(1,4),B(-4,-1).设点C的坐标为(m,),点D的坐标为(n,0). 当AB为对角线时,由中点坐标公式,得4+(-1)=, 解得m=,则点C(,3). 当AC为对角线时,由中点坐标公式,得4+=-1, 解得m=-,则点C(-,-5). 当AD为对角线时,由中点坐标公式,得4=+(-1), 解得m=,则点C(,5). 综上,点C的坐标为(,3)或(-,-5)或(,5). 40 (1)∵直线y=-x+b与x轴的交点为B(3,0), ∴0=-3+b,解得b=3, ∴y=-x+3. 把A(a,2)代入y=-x+3, 得2=-a+3,解得a=1,∴A(1,2). ∵点A(1,2)在反比例函数y=的图象上, ∴k=1×2=2. (2)∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点A(1,2), ∴点C的坐标为(-1,-2)(依据:反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点关于原点对称), ∴AC2=(1+1)2+(2+2)2=20. 设点D的坐标为(m,), ∴AD2=(1-m)2+(2-)2,CD2=(-1-m)2+(-2-)2. ∵∠ACD=90°,∴AD2=CD2+AC2, ∴(1-m)2+(2-)2=(-1-m)2+(-2-)2+20, 解得m1=-4,m2=-1(舍去), ∴点D的坐标为(-4,-). 设直线AD的函数表达式为y=k1x+b1, 把D(-4,-),A(1,2)分别代入,得 解得 ∴直线AD的函数表达式为y=x+. (3)设点E的坐标为(t,). 设直线AE的函数表达式为y=k2x+b2, 把E(t,),A(1,2)分别代入, 得解得 ∴直线AE的函数表达式为y=-x+. 当y=0时,0=-x+,解得x=t+1, ∴点P的坐标为(t+1,0), ∴BP=|t+1-3|=|t-2|, ∴S△BEP=×|yE|×BP=×||×|t-2|. ∵△BEP的面积为2, ∴×||×|t-2|=2, 解得t=或t=-2, ∴点E的坐标为(-2,-1)或(,3). 一题多解 第(2)问还可用如下方法求点D的坐标: 如图,过点C作直线l∥x轴,分别过点D,A作直线l的垂线,垂足分别为点M,N,则∠1+∠2=90°. ∵∠ACD=90°,∴∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3. 又∵∠DMC=∠ANC=90°, ∴△CDM∽△ACN(点拨:“一线三直角”模型), ∴=. ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点A(1,2), ∴点C的坐标为(-1,-2),∴AN=4,CN=2. 设点D的坐标为(m,), 则CM=-1-m,DM=-(-2)=+2, ∴=,解得m1=-4,m2=-1(舍去), ∴点D的坐标为(-4,-). 41 (1)如图(1),过点B作BF⊥x轴于点F, 图(1) ∵△OBA为等边三角形,OA=2, ∴OB=2,OF=AF=1, ∴BF==,∴B(1,). ∵点B在反比例函数y=(k>0)的图象上, ∴k=1×=, ∴反比例函数的表达式为y=. (2)∵延长BO与反比例函数y=的图象在第三象限交于点C, ∴点C与点B关于原点对称,∴C(-1,-). ∵OA=2,∴A(2,0). 设直线AC的表达式为y=k'x+b, ∴解得 ∴直线AC的表达式为y=x-. 令=x-, 解得x1=3,x2=-1,∴D(3,), ∴S△OAD=×OA×|yD|=. (3)存在.点Q的坐标为(3,0)或(,0). 解法提示:∵△OBA为等边三角形,点C与点B关于原点对称, ∴OA=OB=OC,∠BOA=∠BAO=60°, ∴∠OAC=∠OCA=∠BOA=30°, ∴∠BAC=90°,∠DAQ=30°. 分2种情况讨论. ①当∠DQA=90°时,如图(2), 图(2) 可知△DQA∽△BAC,此时xQ=xD=3, ∴Q(3,0). ②当∠ADQ=90°时,如图(3), 图(3) 可知△QDA∽△BAC. ∵D(3,),A(2,0), ∴AD=,∴AQ==, ∴OQ=2+=,∴Q(,0). 综上,点Q的坐标为(3,0)或(,0). 42 C　设P(W)关于t(s)的函数表达式为P=(t>0),将(60,20)代入,得k=20×60=1 200,∴P=(t>0).当t=25时,P=48;当t=40时,P=30.∴当25≤t≤40时,30≤P≤48,∴P的值可以为45. 43 减小 44 16 000 【解析】当V=1.5 m3时,p==16 000(Pa). 45 (1)100 (2)描点、画图如图所示. (3)当OA的长增大时,拉力F减小. 理由:由表格数据可知,F·l=300,故F=, 满足反比例函数关系, ∴在第一象限内,当OA的长l增大时,拉力F减小. 学科网（北京）股份有限公司 $