第一部分 分类训练6 一元二次方程及其应用（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练6 一元二次方程及其应用 考点1　一元二次方程的解法及解的应用　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 1.(2024贵州)一元二次方程x2-2x=0的解是 (　　) A.x1=3,x2=1 B.x1=2,x2=0 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 2.(2024凉山州)若关于x的一元二次方程(a+2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的值为 (　　) A.2 B.-2 C.2或-2 D. 3.(2024河北)淇淇在计算正数a的平方时,误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,则a= (　　) A.1 B.-1 C.+1 D.1或+1 4.(2025贵州)一元二次方程x2-1=0的根是　　　.  5.(2025青海)若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根,则c的值为　　　　.  6.(2025齐齐哈尔)解方程:x2-7x=-12. 7.(2025广元)解方程:x2-(+1)x+=0. 8.(2024青海)(1)解一元二次方程:x2-4x+3=0; (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根,求第三边的长. 考点2　一元二次方程根的判别式 9.(2025扬州)关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况,下列结论正确的是 (　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 10.(2025兰州)若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根,则a的值可以是 (　　) A.3　　 B.2 C.1　　　 D.0 11.(2025新疆)若关于x的一元二次方程x2-2x+a=0无实数根,则实数a的取值范围是 (　　) A.a<1　 B.a>1　 C.a≤1　 D.a≥1 12.(2025甘肃)关于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是 (　　) A.m<3 B.m≤3 C.m>3 D.m≥3 13.(2025安徽)下列方程中,有两个不相等的实数根的是 (　　) A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 14.(2025北京)若关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,则实数a的值为 (　　) A.-4 B.-1 C.1 D.4 15.(2024广州)关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)化简:÷·. 考点3　一元二次方程根与系数的关系 16.(2025广西)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,则x1+x2= (　　) A.-25 B.-20 C.20 D.25 17.(2025湖北)一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1,x2,下列结论正确的是 (　　) A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 C.x1x2=4 D.x1x2=3 18.(2025河北)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 19.(2025苏州)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根,其中x1=1,则x2=　　　　.  20.(2025绥化)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2 025x+1=0的两个实数根,则(m+1)(n+1)=　　　　.  21.(2025泸州)若一元二次方程2x2-6x-1=0的两个实数根为α,β,则2α2-3α+3β的值为　　　　.  22.(2025广安)已知方程x2-5x-24=0的两个实数根为a和b,则代数式a2-4a+b的值为　　　　.  23.(2025南充)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根. (1)当x1=-1时,求x2及m的值. (2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0. 24.(2024遂宁)已知关于x的一元二次方程x2-(m+2)x+m-1=0. (1)求证:无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且+-x1x2=9,求m的值. 考点4　一元二次方程的实际应用 考向1　增长率(或降低率)问题 25.(2024云南)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确的是 (　　) A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 26.(2025云南)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6 200元,设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是 (　　) A.6 000(1+x)2=6 200 B.6 000(1-x)2=6 200 C.6 000(1+2x)=6 200 D.6 000x2=6 200 27.(2025凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1 860吨,若设月平均增长率为x,则可列出的方程是 (　　) A.560(1+x)2=1 860 B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1 860 C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1 860 D.560+560(1+2x)2=1 860 28.(2025重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 (　　) A.10% B.20% C.22% D.44% 考向2　图形面积问题 29.(2025新疆)如图,小明在数学综合实践活动中,利用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的矩形场地.设矩形的宽为x m,根据题意可列方程 (　　) A.x(24-2x)=40　 B.x(24-x)=40　 C.2x(24-2x)=40　 D.2x(24-x)=40 30.(2025福建)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程为(　　) A.5x2=6 B.5(1+x2)=6 C.x(5-x)=6 D.5(1+x)2=6 31.(2024通辽)如图,小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m)的矩形鸭舍,其面积为15 m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(门由其他材料做成),则BC的长为 (　　) A.5 m或6 m　 B.2.5 m或3 m　 C.5 m D.3 m 32.(2025广元)如图,在长为12 m、宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同,且草坪的面积为总面积的,那么花卉带的宽度应为多少米?设花卉带的宽度为x m,则可列方程为 (　　) A.(12-x)(10-x)=12×10× B.(12-2x)(10-x)=12×10× C.(12-x)(10-2x)=12×10× D.(12-2x)(10-2x)=12×10× 33.(2025威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成9个面积均为24 m2的矩形地块,请你求出小路的宽度. 34.新考法结合解题过程中的错误　(2024绥化)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在解答过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1;小冬在解答过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5.则原来的方程是 (　　) A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 35.新考法代数推理　(2024内江)已知关于x的一元二次方程x2-px+1=0(p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2. (1)填空:x1+x2=　　　　,x1x2=　　　　;  (2)求+,x1+的值; (3)已知+=2p+1,求p的值. 分类训练6一元二次方程及其应用 1 B　2 A 3 C　由题意,得2a+1=a2,解得a1=1+,a2=1-(不合题意,舍去),故选C. 4 x1=1,x2=-1　5 3 6 x2-7x+12=0, (x-4)(x-3)=0, x-4=0或x-3=0, x1=4,x2=3. 7 Δ=(+1)2-4=()2+2+12-4=()2-2+12=(-1)2, ∴x==, ∴x1=,x2=1. 8 (1)Δ=(-4)2-4×3=4, ∴x=, ∴x1=3,x2=1. (2)当3是直角三角形的斜边长时,第三边的长为=2. 当3是直角三角形的直角边长时,第三边的长为=. 综上可知,第三边的长为2或. 9 A　 10 D　∵方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根,∴Δ=4-4a>0,∴a<1. 11 B　若关于x的一元二次方程x2-2x+a=0无实数根,则Δ=(-2)2-4a=4-4a<0,∴a>1.故选B. 12 B　∵方程3x2-6x+m=0有两个实数根,∴Δ=(-6)2-4×3m≥0,解得m≤3. 13 D　逐项分析如下,可知选D. 选 项 方程 分析 根的情况 A x2+1=0 将其变形,可得x2=-1<0 无实数根 B x2-2x+1=0 Δ=(-2)2-4×1×1=0 有两个相 等的实数 根 C x2+x+1=0 Δ=12-4×1×1=-3<0 无实数根 D x2+x-1=0 Δ=12-4×1×(-1)=5>0 有两个不相等的实数根 14 C　∵关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的实数根,∴Δ=22-4×a×1=0,且a≠0,解得a=1. 15 (1)∵关于x的方程x2-2x+4-m=0有两个不等的实数根, ∴Δ=(-2)2-4×1×(4-m)>0, ∴m>3.　 (2)∵m>3,∴|m-3|=m-3, ∴原式=×× =-2. 16 C　x1+x2=-=20. 17 D　易得x1+x2=-=4,x1x2==3. 18 C　对于x(x+2)-3=0,去括号,得x2+2x-3=0,∴m=-2,n=-3,∴点(m,n)在平面直角坐标系中位于第三象限. 19 -3 20 2 027　 【解析】∵m,n是方程x2-2 025x+1=0的两个根,∴m+n=2 025,mn=1,∴(m+1)(n+1)=mn+m+n+1=1+2 025+1=2 027. 21 10　 【解析】∵一元二次方程2x2-6x-1=0的两个实数根为α,β,∴α+β=3,2α2-6α-1=0,∴2α2=6α+1,∴2α2-3α+3β=6α+1-3α+3β=3α+3β+1=3(α+β)+1=3×3+1=10. 22 29　 【解析】∵方程x2-5x-24=0的两个实数根为a和b,∴a+b=5,a2-5a-24=0,∴a2-5a=24,∴a2-4a+b=a2-5a+a+b=24+5=29. 23 (1)把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6, 解得m=±, ∴(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, 解得x1=-1,x2=4,∴x2=4,m=±. (2)证明:方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. ∵Δ=4m2+1>0,∴原方程有两个不相等的实数根. 由根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=2-m2, ∴(x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1=-m2. ∵-m2≤0,∴(x1-1)(x2-1)≤0. 24 (1)证明:Δ=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)=m2+8. ∵无论m取何值,都有m2+8>0, ∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.　　 (2)∵x1,x2是方程x2-(m+2)x+m-1=0的两个实数根, ∴x1+x2=m+2,x1x2=m-1, ∴+-x1x2=-3x1x2=(m+2)2-3(m-1)=9, 整理,得m2+m-2=0, 解得m1=1,m2=-2, ∴m的值为1或-2.　　　　　 25 B　26 A　27 C 28 B　设年平均增长率为x,可得方程25(1+x)2=36,解得 x1=0.2,x2=-2.2(舍去),∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%. 29 A　矩形的宽为x m,则长为(24-2x)m,根据题意可列方程x(24-2x)=40.故选A. 30 C　矩形的一边长为x米,则与它相邻的边长为(5-x)米,故可列方程x(5-x)=6.故选C. 31 C　设BC的长为x m,则CD的长为(10-x+1)m,根据题意,得(10-x+1)x=15,解得x1=5,x2=6(不合题意,舍去),∴BC=5 m,故选C. 32 D　根据题意,可知草坪的长为(12-2x)m,宽为(10-2x)m,则草坪的面积为(12-2x)(10-2x)m2.根据“草坪的面积为总面积的”,可得(12-2x)(10-2x)=12×10×,故选D. 33 设小路的宽度为x m,由题意,得(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理得2x2-17x+8=0, 解得x1=0.5,x2=8(舍去). 答:小路的宽度为0.5 m. 34 B 35 (1)p　1 (2)+===p. ∵x1是方程x2-px+1=0的根, ∴-px1+1=0. 易知x1≠0, ∴x1-p+=0,∴x1+=p. (3)+=(x1+x2)2-2x1x2=p2-2=2p+1, 整理,得p2-2p-3=0, 解得p1=-1,p2=3. ∵方程x2-px+1=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(-p)2-4>0,∴p2>4, ∴p=3. 学科网（北京）股份有限公司 $