第一部分 分类训练5 分式方程及其应用（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练5 分式方程及其应用 考点1　分式方程的解法及解的应用　　 　　　　　　　 　　　　　　　 1.(2025湖南)将分式方程=去分母后得到的整式方程为 (　　) A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 2.(2025龙东地区)已知关于x的分式方程-=3的解为负数,则k的取值范围为 (　　) A.k<-4 B.k>-4 C.k<-4且k≠- D.k>-4且k≠- 3.(2025齐齐哈尔)如果关于x的分式方程+=2无解,那么实数m的值是 (　　) A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1 4.(2025北京)方程+=0的解为　　　　.  5.(2025长沙)分式方程=的解为　　　　.  6.(2025浙江)解分式方程:-=0. 7.(2025兰州)解分式方程:=. 8.(2025威海)解分式方程:-1=. 考点2　分式方程的实际应用 考向1　购买问题 9.(2024广元)广元市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程为 (　　) A.-50= B.-50= C.+50= D.+50= 10.(2025扬州)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签,已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价. 11.(2024重庆A)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条? (2)经测算,更新1条甲类生产线的设备比更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元更新甲类生产线的设备数量和用180万元更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备? 考向2　行程问题 12.(2024新疆)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程 (　　) A.-=5 B.-=5 C.-= D.-= 13.(2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为 (　　) A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h 14.(2025江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车,燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同,且每百千米的耗油费比耗电费约多50元,求纯电汽车每百千米的耗电费.设纯电汽车每百千米的耗电费为x元,可列分式方程为　　　　　　　　.  15.(2025长春)小吉和小林从同一地点出发跑800米,小吉的平均速度是小林的1.25倍,结果小吉比小林少用40秒到达终点.求小林跑步的平均速度. 考向3　生产、工程问题 16.(2025云南)某化工厂采用机器人A,机器人B搬运化工原料,机器人A比机器人B每小时少搬运20千克,机器人A搬运800千克所用时间与机器人B搬运1 000千克所用时间相等.求机器人A,机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料. 17.(2025山西)如图,我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换116千米钢轨比一个工作队人工更换80千米钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米. 18.(2025重庆)列方程解下列问题: 某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个. (1)求该厂每天生产甲、乙两种文创产品的数量分别是多少个. (2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量. 19.新考法解答过程纠错　(2025广东)在解分式方程=-2时,小李的解法如下: 第一步:·(x-2)=-·(x-2)-2, 第二步:1-x=-1-2, 第三步:-x=-1-2-1, 第四步:x=4. 第五步:检验:当x=4时,x-2≠0. 第六步:∴原分式方程的解为x=4. 小李的解法中哪一步是去分母?去分母的依据是什么?判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程. 20.新情境探究洗衣用水问题　(2024广西)综合与实践 　　在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物的节约用水策略. 【洗衣过程】 步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干; 步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干,重复操作步骤二,直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标. 　　假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%,每次拧干后校服上都残留0.5 kg水. 浓度关系式:d后=.其中d前,d后分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度;w为单次漂洗所加清水量(单位:kg). 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01%. 【动手操作】请按要求完成下列任务: (1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%,需要多少清水? (2)如果把4 kg清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标? (3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法. 分类训练5分式方程及其应用 1 A 2 A　由-=3,得=3,∴x+3k=3x-12,解得x=.根据题意得x=<0,即3k+12<0,解得 k<-4.由分母x-4≠0,得x≠4,即≠4,解得k≠-,∴k<-4.故选A. 3 C　方程去分母,得mx-x=2(1-x),整理得(m+1)x=2(*),∵原方程无解,∴(*)式无解或(*)式的解为增根,则m+1=0或=1(易错点:忽视方程无解或方程的解为增根两种情况中的一种,导致漏解),解得m=-1或m=1,故选C. 4 x=2 【解析】方程两边同乘x(x-6),得2x+x-6=0,解得x=2.检验:当x=2时,x(x-6)≠0(点拨:解完分式方程需进行检验),∴x=2是原分式方程的解. 5 x= 【解析】方程两边同乘(x+1)(2x-1),得3(2x-1)=2(x+1),整理,得6x-3=2x+2,解得x=.检验:当x=时,(x+1)(2x-1)≠0(提示:解分式方程一定要进行检验),故 x=是分式方程的解. 6 方程两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0. 解得x=2. 检验:把x=2代入原方程,得左边=-=0=右边,当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0, 因此x=2是原分式方程的解. 7 方程两边同乘x(x+1),得3x=2(x+1), 解得x=2. 检验:当x=2时,x(x+1)≠0, ∴x=2是原分式方程的解. 8 -1=, 去分母,得x-2-(2x-1)=-1, 解得x=0. 检验:x=0时,2x-1≠0, 所以原分式方程的解是x=0. 9 C 10 名师教审题 实际应用题系列 ◀ ◀ ◀ 设乙款书签的单价为x元,可将由题干得到的信息整理如下: 款式 单价 费用 数量 甲 100 乙 x 128 设乙款书签的单价为x元,则甲款书签的单价为元, 根据题意,得+3=,　 解得x=16. 经检验,x=16是原分式方程的解,且符合题意(易错点:解完分式方程一定要检验), 则=20. 故甲款书签的单价为20元,乙款书签的单价为16元. 11 (1)设该企业甲类生产线有x条,则乙类生产线有(30-x)条, 根据题意,得3x+2(30-x)=70, 解得x=10, 30-x=30-10=20. 答:该企业甲类生产线有10条,乙类生产线有20条. (2)设更新1条甲类生产线的设备需投入m万元,则更新1条乙类生产线的设备需投入(m-5)万元, 根据题意,得=, 解得m=50, 经检验,m=50是所列方程的解,且符合题意, m-5=50-5=45. 10×50+20×45-70=1 330. 答:该企业还需投入1 330万元资金更新生产线的设备. 12 D　5 min= h(注意:不要忘记单位换算).甲车的速度为x km/h,则乙车的速度为1.2x km/h,由题意得-=.故选D.  13 D 14 = 15 设小林跑步的平均速度为x米/秒,则小吉的平均速度为1.25x米/秒, 根据题意,得+40=, 解得x=4, 经检验,x=4是原分式方程的解,且符合题意, ∴原分式方程的解为x=4. 答:小林跑步的平均速度为4米/秒. 16 设机器人B每小时搬运x千克化工原料,则机器人A每小时搬运(x-20)千克化工原料, 根据题意,得=, 解得x=100, 经检验,x=100是分式方程的解,且符合题意,　 ∴x-20=100-20=80. 答:机器人A每小时搬运80千克化工原料,机器人B每小时搬运100千克化工原料. 17 设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x千米. 根据题意,得-=22. 解得x=2. 经检验,x=2是原方程的根,且符合题意(注意:不要忘记检验). 答:一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2千米. 18 (1)设该厂每天生产乙种文创产品的数量是x个,则每天生产甲种文创产品的数量为(x+50)个. 由题意,得3(x+50)=4x+100,解得x=50, ∴x+50=100. 答:该厂每天生产乙种文创产品的数量是50个,每天生产甲种文创产品的数量为100个. (2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个. 由题意,得-=10, 解得y=20. 经检验,y=20是原分式方程的解,且符合题意. 答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个. 19 第一步是去分母,去分母的依据是:等式两边同时乘以一个不为0的数(或式子),等式仍然成立. 小李的解答过程不正确. 正确解答过程如下: 1-x=-1-2(x-2), 1-x=-1-2x+4, -x+2x=-1+4-1, x=2. 检验:当x=2时,x-2=0,∴x=2是原分式方程的增根, ∴原分式方程无解. 20 (1)依题意易知:d前=0.2%,d后=0.01%, 代入浓度关系式,得=0.01%, 解得w=9.5. 检验:当w=9.5时,0.5+w≠0, 所以w=9.5是原分式方程的解. 答:需要9.5 kg清水. (2)4÷2=2(kg). 第一次漂洗后浓度:d后1==0.04%. 第二次漂洗后浓度:d后2==0.008%<0.01%. 答:进行两次漂洗,能达到洗衣目标. (3)达到相同的清洗效果,分两次漂洗更节约水.(注:答案不唯一,合理即可) 学科网（北京）股份有限公司 $