第一部分 分类训练4 一次方程(组)及其应用（2025年中考真题）-【学霸笔记】2027年中考数学五年真题分类

分类训练4 一次方程(组)及其应用 考点1　一元一次方程的解法及解的应用　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 1.(2025贵州)已知x=2是关于x的方程x+m=7的解,则m的值为 (　　) A.3 B.4 C.5 D.6 2.(2025成都)任意给一个数x,按下列程序进行计算.若输出的结果是15,则x的值为　　　　.  3.(2024新疆)解方程:2(x-1)-3=x. 4.(2024滨州)解方程:=. 考点2　二元一次方程(组)的解法 5.(2025凉山州)若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,则x+y的平方根是 (　　) A.8　 B.±8　 C.±2　 D.2 6.(2025山西)解方程组: 考点3　一次方程(组)的实际应用 考向1　购买、销售问题 7.(2025烟台)某商场打折销售一款风扇,若按标价的六折出售,则每台风扇亏损10元;若按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为 (　　) A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 8.(2025内江)学校准备添置一批课桌椅,原订购60套,每套100元.店方表示:如果多购,可以优惠.结果校方购了72套,每套减价3元,但店方获得同样多的利润.求每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为x元,则可列方程为 (　　) A.72(100-x)=60(100+3-x) B.60(100-x)=72(100-3-x) C.60(100+x)=72(100-3+x) D.= 9.新课标数学文化　(2025兰州)《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一.“方程章”第11题大意是:两匹马一头牛总价超过1万,超过部分等于半匹马的价格;一匹马两头牛的总价不足1万,不足部分等于半头牛的价格,问一匹马、一头牛的价格分别是多少?若设一匹马价格为x,一头牛价格为y,则可列方程组为 (　　) A. B. C. D. 10.(2024泰安)我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题,其内容大致如下:用九百九十九文钱,可买甜果苦果共一千个,若…,…,试问买甜果苦果各几个? 若设买甜果x个,买苦果y个,可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息,题中用“…,…”表示的缺失的条件应为 (　　) A.甜果七个用四文钱,苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱,苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱,苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱,苦果七个用四文钱 11.(2025龙东地区)为促进学生德智体美劳全面发展,某校计划用1 200元购买足球和篮球用于课外活动,其中足球80元/个,篮球120元/个,则购买方案有 (　　) A.6种 B.7种 C.4种 D.5种 12.(2025吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展,某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售,甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 考向2　分配问题 13.(2024陕西)星期天,妈妈做饭,小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量,若小峰单独完成,需4 h;若爸爸单独完成,需2 h.当天,小峰先单独打扫了一段时间后,去参加篮球训练,接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了3 h,求这次小峰打扫了多长时间. 考向3　行程问题 14.新课标数学文化　(2025天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作,其中有一道题:“今有良马日行二百四十里,驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日,问良马几何日追及之.”意思是:跑得快的马每天走240里,跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天,快马几天可以追上慢马?设快马x天可以追上慢马,则可以列出的方程为(注:1里=0.5千米) (　　) A.240x=150(x+12) B.240x=150(x-12) C.150x=240(x+12) D.150x=240(x-12) 15.新课标数学文化　(2025连云港)《九章算术》中有一个问题:“今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”(凫:野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过多少天能够相遇?”)如果设经过x天能够相遇,根据题意,得 (　　) A.x+x=1 B.x-x=1 C.7x+9x=1 D.9x-7x=1 考向4　其他问题 16.(2025浙江)手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条,单个手工艺品材料用量如下表. 　　　　材料 类别　　　　 彩色纸/张 细木条/捆 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条,问他们制作的两种手工艺品各有多少个?设手工艺品A有x个,手工艺品B有y个,则x和y满足的方程组是 (　　) A. B. C. D. 17.(2025山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题,大意是:有3个头6只手的哪吒若干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有x个,夜叉有y个,则根据条件所列方程组为 (　　) A. B. C. D. 18.(2025齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣,学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观,计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租),若每名师生都有座位且每辆客车都没有空座位,则租车方案有 (　　) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 19.(2025陕西)草莓熟了,学校组织同学们参加劳动实践,帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同,采摘结束后,小康采摘的草莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg,小悦平均每小时采摘4 kg,则小康采摘的时长是 h.  20.(2025广西)自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下: 湖南境内路段 广西境内特定路段 广西境内其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元.求此行程的高速费实付多少元.比原价优惠了多少元.(用代数式表示) (2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元. 21.新课标数学文化　(2025泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作,在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x+2y=3恰有一组正整数解x=1,y=1.类似地,方程2x+3y=21的正整数解有 (　　) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 22.新情境地砖平铺问题　(2025自贡)某小区人行道地砖铺设图案如图所示.用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形,若大平行四边形短边长为40 cm,则小平行四边形地砖短边长为 (　　) A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 23.新课标数学文化　(2025资阳)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有这样一个题目:“今有人持金出五关,前关二而税一,次关三而税一,次关四而税一,次关五而税一,次关六而税一.并五关所税,适重一斤.问本持金几何.”大意是:今有人持金出五关,第1关收税金为所持金的,第2关收税金为此时所持金的,第3关收税金为此时所持金的,第4关收税金为此时所持金的,第5关收税金为此时所持金的.五关税金之和恰好重1斤,问原本持金多少.(注:1斤=0.5千克) (　　) A.斤 B.斤 C.斤 D.斤 24.新情境纸条叠放问题　(2025河北)甲、乙两张等宽的长方形纸条,长分别为a,b.如图,将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起,形成长为81的纸条,则a+b=　　　　.  25.新课标数学文化　(2025广元)幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方(如图(1)),将9个数填在3×3(三行三列)的方格中,如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等,就得到一个广义的三阶幻方.图(2)的方格中填写了一些数字和字母,若能构成一个广义的三阶幻方,则 xy=　　　　.  图(1)　　　图(2) 26.新考法代数推理　(2025重庆)若实数x,y同时满足x-|y|=2,|x|-y=4,则xy的值为　　　　.  27.新课标跨学科试题　(2025河北)一般固体都具有热胀冷缩的性质,固体受热后其长度的增加称为线膨胀.在0~100 ℃(本题涉及的温度均在此范围内),原长为l m的铜棒、铁棒受热后,伸长量y(m)与温度的增加量x(℃)之间的关系均为y=αlx,其中α为常数,称为该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数α铜=1.7×10-5(单位:/℃);原长为2.5 m的铁棒从20 ℃加热到80 ℃伸长了1.8×10-3 m. (1)原长为0.6 m的铜棒受热后升高50 ℃,求该铜棒的伸长量(用科学记数法表示). (2)求铁的线膨胀系数α铁;若原长为1 m的铁棒受热后伸长4.8×10-4 m,求该铁棒温度的增加量. (3)将原长相等的铜棒和铁棒从0 ℃开始分别加热,当它们的伸长量相同时,若铁棒的温度比铜棒的高20 ℃,求该铁棒温度的增加量. 分类训练4一次方程(组)及其应用 1 C　 2 3 【解析】由题意知,6x-3=15,解得x=3. 3 去括号,得2x-2-3=x,　　　 移项、合并同类项,得x=5.　　　　 4 去分母,得2(2x-1)=3(x+1), 去括号,得4x-2=3x+3, 移项,得4x-3x=3+2, 合并同类项,得x=5. 5 C 6 ①+②,得4x=12, x=3. 将x=3代入②,得3+2y=1, y=-1. 所以原方程组的解是 7 A　设这款风扇每台的标价为x元,根据题意,得0.9x-(0.6x+10)=95,解得x=350.故这款风扇每台的标价为350元. 8 B　根据“原利润=原套数×原每套利润”,得原利润=60(100-x);根据“实际利润=实际套数×实际每套利润”,得实际利润=72(100-3-x).根据“店方获得同样多的利润”,得60(100-x)=72(100-3-x). 9 A　10 D 11 C　设购买足球x个,篮球y个,根据题意,得80x+120y=1 200,即2x+3y=30,则x=.∵x,y都是正整数,∴或或或∴共有4种购买方案.故选C. 12 设该游客购买甲种商品x盒,购买乙种商品y盒. 根据题意,得 解得 答:该游客购买甲种商品6盒,购买乙种商品4盒. 13 设总任务量为1,这次小峰打扫了x h,则爸爸打扫了(3-x) h, 由题意可知,小峰打扫每小时可完成总任务的,爸爸打扫每小时可完成总任务的, 由题意,得x+(3-x)=1, 解得x=2. 答:这次小峰打扫了2 h. 知识积累 ◀ ◀ ◀ 常见的方程应用题类型及其数量关系 行程 问题 基本数量关系:时间= 常用数量关系:-=时间差(注意时间单位统一) 工程 问题 基本数量关系:工作时间= 常用数量关系: -=时间差 -=时间差 销售 问题 基本数量关系:=数量 常用数量关系:-=数量差 14 A 根据题干得到的信息列表如下: 速度/(里/天) 时间/天 路程 快马 240 x 240x 慢马 150 x+12 150(x+12) 根据题意,可列方程为240x=150(x+12). 15 A　设南海与北海的距离为1,则凫的速度为,雁的速度为,根据“经过x天能够相遇”可得x+x=1.故选A. 16 C　根据等量关系“制作x个手工艺品A和y个手工艺品B,一共用了17张彩色纸”,可得方程5x+2y=17.根据等量关系“制作x个手工艺品A和y个手工艺品B,一共用了10捆细木条”,可得方程3x+y=10.故选C. 解题步骤 ◀ ◀ ◀ 由实际问题抽象出一次方程(组)的主要步骤 1.弄清题意; 2.找准题中的等量关系; 3.设未知数; 4.根据找到的等量关系列出方程(组). 17 D 18 B　设租用45座客车x辆,60座客车y辆,则45x+60y=900,∴x=20-y.∵x,y均为正整数,∴当y=3时,x=16;当y=6时,x=12;当y=9时,x=8;当y=12时,x=4.∴共有4种租车方案.故选B. 19 1.2 【解析】设采摘时长为x h,依题意,得6x-4x=2.4,解得x=1.2,即小康采摘的时长是1.2 h. 20 (1)此行程的高速费实付(0.95a+0.5c)元. ∵此行程的高速费原价为(a+b+c)元, ∴实付比原价优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)(元). (2)设此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为x元、y元. 根据题意,得 解得 答:此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别为45.9元、55.1元. 21 C　∵2x+3y=21,∴x=,∴当y=1时,x=9;当y=3时,x=6;当y=5时,x=3.故方程2x+3y=21的正整数解有3组.故选C. 22 B　设小平行四边形地砖的长边长为x cm,短边长为y cm,由题意,得解得即小平行四边形地砖短边长为8 cm,故选B. 23 A　设原本持金x斤,分析如下: 收税金/斤 剩余金/斤 第1关 x x-x=x 第2关 ×x=x x-x=x 第3关 ×x=x x-x=x 第4关 ×x=x x-x=x 第5关 ×x=x x-x=x 则五关税金之和为x-x=x(斤).根据题意,得x=1,解得x=,故原本持金斤. 24 99 【解析】由题意知解得∴a+b=99. 25 1 【解析】根据题意,得解得∴xy=60=1. 26 【解析】易知当x=0或y=0时,所给两个等式不能同时成立,故分以下四种情况讨论.①当x>0,y>0时,则此方程组无解;②当x>0,y<0时,则解得∴xy=3-1=;③当x<0,y>0时,则解得与条件矛盾,舍去;④当x<0,y<0时,则此方程组无解.故xy=. 一题多解 ∵x-|y|=2,∴x=|y|+2>0,∴|x|-y=x-y=4.又∵x-|y|=2,∴y<0,∴x+y=2.解方程组得∴xy=3-1=. 27 (1)铜棒的伸长量为1.7×10-5×0.6×50=5.1×10-4(m). (2)由题意,得α铁×2.5×(80-20)=1.8×10-3, 解得α铁=1.2×10-5(/℃). 设该铁棒温度的增加量为x1 ℃, 由题意,得1.2×10-5×1×x1=4.8×10-4, 解得x1=40. 故该铁棒温度的增加量是40 ℃. (3)设该铁棒温度的增加量为x2 ℃,铜棒和铁棒的原长为l原 m. 由题意,得1.7×10-5×l原×(x2-20)=1.2×10-5×l原×x2, 解得x2=68. 故该铁棒温度的增加量为68 ℃. 学科网（北京）股份有限公司 $