1.1.1空间向量及其线性运算常见的四种题型同步练（提升卷·按知识点分类）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1空间向量及其线性运算常见的四种题型（提升卷） 目　录 题型一　空间向量的概念与相等、相反向量 题型二　空间向量的加减法运算 题型三　空间向量的数乘运算与基底表示（中点、比例分点） 题型四　共线（平行）向量 题型一　空间向量的概念与相等、相反向量 【解题技巧】核心只有两句：相反向量 = 模相等且方向相反（），相等向量 = 模相等且方向相同（与起点无关）。在长方体、正方体里判定时三步：①看目标向量的两个端点，本例多由中点确定（如 E、F 分别是 AB 与 C₁D₁ 的中点，则 平行于某条棱）；②沿图中与该方向平行的棱去找“等长且平行”的棱，同向的是相等向量，反向的是相反向量（棱的平行关系靠面面平行传递）；③剔除“平行但不等长”和异面的棱。易错点：与目标向量平行但长度不同的棱不是答案；与已知向量相等的向量可有多个，题干问“相等的向量有”时要把符合的棱全部列出；零向量的相反向量仍是零向量。 1．在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 2．在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 3．在正方体中，与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 题型二　空间向量的加减法运算 【解题技巧】化简的唯一原则是“字母首尾相接就能消”。三步：①先调向，用 把要消的字母放到相邻位置；②逐段合并，，前一项终点等于后一项起点即消去中间字母；③看剩余首尾两点写出结果，若回到起点则为零向量。常用结论：；（终点减起点，方向由减数指向被减数）；平行四边形 ABCD 中 ，。易错点：把 误写成 ； 这类首尾虽相接但方向相反的项没有先调向；平行六面体中把体对角线向量漏掉一个棱向量。 1．平行六面体中，化简（      ） A． B． C． D． 2．在平行六面体中，（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，（ ） A． B． C． D． 题型三　空间向量的数乘运算与基底表示（中点、比例分点） 【解题技巧】选三条不共面的棱向量作基底后，用“回路法”写目标向量：①从起点沿棱走到终点，每走一段写一个基向量的数乘；②平行且相等的棱对应同一基向量，方向相反取负（如 、）；③中点用 ，比例点用 ，先把该点所在的棱写出来再按比例取数乘；④合并同类项，按基底顺序整理成三项之和。易错点：比例点方向搞反（ 中 M 靠近 C，写 时先 再 的三分之二）；面对角线、体对角线没有先化成棱向量；系数漏掉负号或漏乘 λ。 1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，点F满足，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在三棱柱中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，三棱柱中，N是的中点，若，，，则（    ）    A． B． C． D． 题型四　共线（平行）向量 【解题技巧】共线的充要条件只有一条：存在实数 使 （）。给坐标时就是分量成比例。三步：①设 ，让对应分量分别相等；②挑不含零、最简的那个分量解出 ；③把 代回其余分量求待定参数。易错点：同向、反向都算共线， 可正可负，别把负值舍掉；某个分量为0 时不能直接写比例式，要改用“对应分量相等”逐项验证；带参数的两个向量共线，还可用“交叉相乘相等”列方程 等三条式子，但只有两条独立；求出参数务必回代检验。 1．若平面向量与共线，则（   ） A． B． C．1 D．4 2．已知向量，若，则（    ） A．7 B．5 C． D． 3．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 参考答案 题型一　空间向量的概念与相等、相反向量 1．C 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 2．C 【详解】因为分别为的中点， 所以且，且， 与相交，与异面， 所以与向量相反的向量为. 3．A 【详解】如图， 在正方体中，由正方体性质可知与相等的向量有. 故选：A 题型二　空间向量的加减法运算 1．A 【详解】   为平行四面体， 故选：A． 2．C 【详解】. 故选：C 3．B 【详解】. 题型三　空间向量的数乘运算与基底表示（中点、比例分点） 1．C 【详解】由题意知 ． 故选：C． 2．D 【详解】由题可知. 故选：D 3．C 【详解】 . 故选：C. 4．A 【详解】是的中点，则 ． 5．B 【详解】. 故选：B. 题型四　共线（平行）向量 1．B 【详解】已知向量与共线， 则，解得． 2．D 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 3．B 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 学科网（北京）股份有限公司 $