九年级上册数学期中复习解答题专项必练30题2026—2027学年苏科版（宿迁专用）

九上数学期中复习解答题专项必练30题2026—2027学年苏科版（宿迁专用） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知关于的一元二次方程， (1)求证：无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程有一根为2，求的值． 2．已知，，x取什么值时，与相等？ 3．解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 4．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 5．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，求小路宽为多少． 6．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出500件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元. (1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润8000元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： (1)绘制函数图象，如图． 列表：如表是与的几组对应值，其中________； 描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． … … … … (2)通过观察图象，当时，随着的增大而________．（填“增大”或“减小”） (3)已知点在函数的图象上，在函数的第一象限内的图象上，是否存在点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 8．已知点在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 9．如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数分别交于点、，连接，． (1)求一次函数关系式和的值： (2)求的面积． 10．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温开始下降的过程中，水温与通电时间成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)填空： ①当时，与之间的函数关系式是_________； ②当时，与之间的函数关系式是_________； ③_________； (2)加热一次，水温不低于的时间有多长？ 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出当时，自变量x的取值范围； (3)若点D是y轴上的一点，且，求出点D坐标． 12．已知等腰三角形中，．    (1)用直尺和圆规作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，求的外接圆半径． 13．如图，在中，圆心角，． (1)求的半径； (2)求阴影部分拱形面积．（保留） 14．如图，，是的两条弦，且，E是弧的中点．    求证：． 15．（1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知如图①，四边形内接于．求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴可得______， ∵， ∴______，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． （3）结论运用：如图③，，点分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，求的最小值． 16．如图，已知的直径为，点在圆周上(异于，)，，是的平分线， (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 17．如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 18．如图，是上一点，是直径，点在上且平分． (1)连接，求证：平分； (2)若，求的长． 19．请你根据给出的信息解答下列问题：某市疫情统计如下：共有200名患者，图1是该市轻症、重症、危重症三类患者的人数分布统计图不完整，图2是这三类患者的人均治疗费用统计图．请回答下列问题． (1)轻症患者的人数是多少？ (2)该市为治疗危重症患者共花费多少万元？ (3)所有患者的平均治疗费用是多少万元？ 20．【项目背景】 山楂是河南省辉县特产，具有色泽鲜红、果实浑圆、酸甜适口的特点．在山楂收获的季节，某班同学前往某村甲、乙两个山楂园开展综合实践活动，在日照、土质、空气湿度等外部环境基本一致的条件下，对两个山楂园的山楂质量进行调查统计． 【数据的收集与整理】 从两个山楂园采摘的山楂中各随机选取200个，测量每个山楂的质量记为x（单位：g），并将收集的样本数据进行如下分组： 组别 A B C D E x/g 绘制甲、乙两个山楂园样本数据的频数直方图，信息如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为_________． (2)乙山楂园样本数据的中位数落在_________组．（填“A”“B”“C”“D”或“E”） (3)辉县山楂一般分为优质品、合格品、次品三个等级．其中C，D两组的山楂为优质品，B组的山楂为合格品，A，E两组的山楂为次品．试估计哪个山楂园的山楂品质更优，并说明理由． 21．健康的体魄是青少年为祖国和人民服务的基本前提，是中华民族旺盛生命力的体现．某初中学校为了提高学生体质健康，制定合理的校园阳光体育锻炼方案，随机抽查了部分学生最近两周参加体育锻炼活动的天数，并用得到的数据绘制了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图：请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)抽查的学生中锻炼8天的有______人． (2)本次抽样调查的众数为______，中位数为_______． (3)如果该校约有2000名学生，请你估计全校约有多少名学生参加体育锻炼的天数不少于7天？ 22．某家电销售商店1～5周销售甲、乙两种品牌空调的数量如图所示（单位：台） (1)分别求该商店这段时间内甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数和方差；（方差） (2)请根据计算结果及统计图，对该商店今后采购这两种品牌空调的意向提出建议，并说明理由． 23．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 24．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动． (1)小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果； (2)小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率． 25．已知一个不透明的口袋中装有7个除颜色外其他都相同的球，其中3个白球，4个黑球． (1)从中随机取出1个球是黑球的概率是多少？ (2)若向口袋中再放入5个白球和若干个黑球，从口袋中随机取出1个球是白球的概率是，求需放入多少个黑球． 26．为庆祝神舟十五号载人飞船发射成功，某中学组织志愿者周末到社区进行航天航空知识宣讲活动，现有A、B、C、D四名同学报名参加． (1)若从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是__________； (2)若从这四人中随机选取两人，请用列表或画树状图的方法求恰好选中A、B两名同学参加活动的概率． 27．小明和小丽在做一个“配紫色”游戏：一个不透明的袋子中装有1个白球，1个蓝球和2个红球，它们除颜色外都相同．从中摸出2个球，若一个是红色，一个是蓝色，则可以配成紫色，游戏获胜、搅匀后，小明从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球；搅匀后，小丽从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球．这个游戏公平吗？为什么？ 28．临近考试，某学校为考生提供下列减压方式： A．交流谈心； B．有氧运动； C．欣赏音乐； D．安静休息． 考生可从中选择一种方式进行减压． (1)随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是　　； (2)随机抽查两名考生，其中至少有一人选择“有氧运动”的概率为多少？请用画树状图或列表的方法加以说明． 29．如图，经过某十字路口的汽车，它可能直行，也可能向左转或向右转，假设这三种可能性大小相同． (1)若有一辆小汽车经过这个十字路口，则这辆车直行的概率是_____； (2)若有两辆小汽车经过这个十字路口，求这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率． 30．在年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图． 组别 发言次数n 百分比 A 0≤n＜3 10% B 3≤n＜6 20% C 6≤n＜9 25% D 9≤n＜12 30% E 12≤n＜15 10% F 15≤n＜18 m% 请你根据所给的相关信息，解答下列问题： (1)本次共随机采访了________名教师，________． (2)补全条形统计图； (3)已知受访的教师中，组只有名女教师，组恰有名男教师，现要从组、组中分别选派名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是男女的概率． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《九上数学期中复习解答题专项必练30题2026—2027学年苏科版（宿迁专用）》参考答案 1．(1) 证明：， 无论取何值，方程一定有两个不相等的实数根； (2) 【分析】此题考查了一元二次方程（）的根的判别：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，即可得到结论； （2）把代入方程，得出关于m的方程，解之可得． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程得， 解得 2．取或时，与相等 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 先令与相等，得到，再把方程化为一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：令，则， 将方程化为一般形式，得：， 分解因式，得：， 或， 解得：，， 答：取或时，与相等． 3．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）变形后利用开平方法解方程即可； （2）变形后利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 此题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键． 【详解】（1） 解：， ， ∴， ∴， （2）， 解：， ， 或， 所以，. （3）， 解：， ∴或， 解得，. （4）， 解：， ∴或， ∴， 4．(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 5．小路宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 设小路宽为，根据“花坛所占面积为空地面积的一半”列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设小路宽为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴小路宽为． 6．(1)10 (2)当服装店将销售单价定为60元时，得到最大利润是9000元 【分析】（1）设销售单价提高x元，根据题意列出方程求解即可； （2）设销售利润为M元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设T恤的销售单价提高x元， 由题意列方程得：（x+40﹣30）（500﹣10x）＝8000， 解得：x1＝10或x2＝30， ∵要尽可能减少库存， ∴x2＝30不合题意，应舍去. ∴T恤的销售单价应提高10元， 答：T恤的销售单价应提高10元； （2）解：设利润为M元，由题意可得： M＝（x+40﹣30）（500﹣10x）， ＝﹣10x2+400x+5000， ＝﹣10（x﹣20）2+9000， ∴当x＝20时，M最大值＝9000元， ∴销售单价：40+20＝60（元）， 答：当服装店将销售单价定为60元时，得到最大利润是9000元． 【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润＝单件利润×销售量列出二次函数解析式． 7．(1)，画图如下： (2)增大 (3)或 【分析】（1）将代入求解，根据表格所给点作图． （2）观察图象即可得出函数的性质． （3）把代入得，，求得，设，分情况根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：将代入得， . 画图略 （2）解：通过观察图象，当时，随着的增大而增大． （3）解：把代入得，， ， 设，如图，当在的左边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 设，如图，当在的右边时，过作轴于，过作轴于， 的面积为， ， 解得或（舍去）， ． 综上：或. 8．(1) (2)点在该反比例函数的图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 9．(1)；3 (2)4 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的交点问题，将数形结合进行简单计算是解题的关键． （1）先根据待定系数法求出一次函数解析式，再求出点D的坐标，再利用待定系数法即可求出k的值． （2）联立一次函数与反比例函数，求出点B的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与y轴交于点． 将代入， 得， 解得：， ∴一次函数关系式为∶ ． ∵点在一次函数上， 代入得∶， 解得：， ∴D点坐标为． 又∵在反比例函数上， 代入得：． （2）解：联立方程 解得：或 ∴，． 一次函数与x轴交于点B， 令，得，即． 10．(1)①；②；③ (2)9分钟 【分析】（1）根据待定系数法分别求解一次函数和反比例函数表达式，再把 代入反比例函数表达式求解； （2）把分别代入两个函数表达式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，当时，与之间的函数关系是一次函数关系， 设与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则； ②设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， ③把代入，则； （2）把代入，则，解得 把代入，则， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 11．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）找出一次函数的图象在反比例函数图象上面的部分即可； （3）求出，设，则，再根据三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 将，代入一次函数得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象，当时，自变量x的取值范围为或； （3）解：在中，当时，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 12．(1) 解：如图，即为所作；      (2)的半径为 【分析】（1） 作边，的垂直平分线，两直线交于点O，再以O为圆心，为半径画圆即可； （2）连接连接交于，则垂直平分，先求解，再求解，再在中，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）连接交于，如图，    ∵， ∴， ∴垂直平分， 即，， 在中，， 设的半径为r，则，， 在中，，解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的是作三角形的外接圆，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的确定三角形的外接圆的圆心是解本题的关键． 13．(1)1 (2) 【分析】本题考查了圆的性质，勾股定理，扇形面积公式及三角形的面积公式． （1）根据已知条件得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理求出半径的长度即可； （2）先求出扇形的面积，再减去等腰直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， 又∵， ∴， 即的半径为1． （2）解：∵的半径为1，， ∴，， ∴． 14． 证明：如图，连接，，，，，    ∵，E是弧的中点． ∴，， ∴， ∴． 【分析】本题考查的是圆心角，弧，弦之间的关系的应用，本题连接，，，，，再证明，，可得，从而可得答案． 【详解】证明：略． 15．（1）证明：如图，连接， ∵，且， ∴， 同理， ∴； （2），； （3）最小值 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰直角三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）连接，首先根据圆周角定理可得，进而可得，同理，即可证明结论； （2）假设点落在外，交于点，连接，结合“圆内接四边形的对角互补”可知，进而可得，与得出矛盾，同理点也不会落在内，即可证明结论； （3）连接并延长，首先证明四点共圆，结合为等腰直角三角形，可推导，即点的轨迹在的平分线上，当时，取最小值，即可获得答案． 【详解】（1） 略 （2）若四边形的一组对角，则这个四边形的4个顶点共圆（图②）， 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点画． 假设点落在外，交于点，连接， ∵四边形内接于， ∴由（1）可得， ∵， ∴，与得出矛盾； 同理点也不会落在内， ∴共圆． 故答案为：，； （3）连接并延长，如图， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点的轨迹在的平分线上， ∵垂线段最短， ∴当时，取最小值， ∴的最小值为． 16．(1)证明： 连接，如图， ， ， 是的平分线， ， ， ， 又， ， 是的半径， 直线是的切线． (2) 【分析】（1）要证明是圆的切线，根据切线判定定理，需证半径与直线垂直，因此先连接，利用得出，结合是角平分线得到，进而推出，再由得到，结合是圆的半径，即可证明是切线； （2）求圆的直径，先设半径为，过点作于，结合、的条件判定四边形为矩形，得出、，进而表示出，再在中运用勾股定理列出关于的方程，求解出半径后，即可得到圆的直径． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，如图， ，， 四边形是矩形， ，， 设的半径为，则， ，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， 直径． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用． （1）连接、，作于H，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； （2）解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 18．(1) 证明：点在上且平分． ， ， 平分； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、勾股定理、直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可证明； （2）根据直径所对的圆周角是直角推出，根据，得到，最后结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：是直径， ， ， ， ． 19．(1)160人 (2)100万元 (3)2.15万元 【分析】（1）直接用200乘以轻症患者所占百分比即可． （2）将危重症患者人数乘以他们的人均治疗费用即可． （3）利用加权平均数计算方法计算即可． 【详解】（1）200×80％=160（人） ∴轻症患者人数是160人． （2）200×（1-80％-15％）×10=100（万元）． ∴该市为治疗危重症患者共花费100万元． （3）危重症人数比例为1-80％-15％=5％ （万元）， ∴所有患者的平均治疗费用是2.15万元． 【点睛】本题考查了扇形图和条形图，加权平均数，解题关键是理解图形，能从图形中获取相关信息，并能进行加权平均数的计算． 20．(1) (2)C (3) 解：乙山楂园的山楂品质更优，理由如下： 由样本数据频数直方图，可知乙山楂园优质品山楂所占比例大于甲山楂园，因此乙山楂园的山楂品质更优（答案不唯一，合理即可）． 【分析】本题考查了频数分布直方图、中位数，从频数分布直方图中获取信息是解题的关键． （1）根据直方图可知甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的频数，再除以200即可求解； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）根据直方图的数据分析即可． 【详解】（1）解：， 甲山楂园样本数据中每个山楂质量大于的占比为． 故答案为：． （2）解：由样本数据频数直方图可知，乙山楂园样本数据的中位数落在C组． 故答案为：C． （3）略 21．(1)60人 (2)5天，6天 (3)估计全校约有800名学生参加体育锻炼的天数不少于7天 【分析】（1）用锻炼6天的人数除以锻炼6天的人所占百分比即可求出出总人数，用总数乘以锻炼8天的人所占百分比就是学生中锻炼8天的人数； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）样本情况可以估计总体的情况，因此求出样本中参加体育锻炼的天数不少于7天的百分比，用全校人数乘以百分比即可求解． 【详解】（1）解：（人） （人） 故抽查的学生中锻炼8天的有60人． （2）解：参加体育锻炼活动5天的人最多，故众数是5； 一共600人，最中间是第300个和301个， 从小到大排序后第300个和301个数都是6天， 中位数是6； （3）解：参加体育锻炼的天数不少于7天的人所占百分比是： ， （人） 答：估计全校约有800名学生参加体育锻炼的天数不少于7天． 【点睛】本题主要考查了概率统计的知识，包括扇形统计图和条形统计图的联系、众数和中位数的概念和用样本估计总体，牢固掌握以上知识点是做出本题的关键． 22．(1)，；， (2)建议如下：甲、乙两种品牌空调周销售量的平均数相同，乙品牌空调周销售量的方差较小，说明乙品牌空调周销售量比较稳定，可选择采购乙品牌的空调；从折线图来看，甲品牌空调的周销售量呈上升趋势，进货时也可多进甲品牌空调（只要叙述有道理就给分） 【分析】（1）根据平均数和方差的定义求解即可． （2）可以根据方差回答，也可以根据销售趋势回答． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）略； 23．(1)7.5，7， (2) 解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7，； （2）略 24．(1) (2) 【分析】（1）根据题意列举出所有可能结果； （2）根据列表法求概率即可求解． 【详解】（1）解：依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为； （2）解：列表如下， 共有9种等可能结果，其中符合题意的有3种， ∴他俩选到相同社团的概率为． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用列表法求概率．解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 25．(1) (2)需放入20个黑球 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）设需要放入x个黑球，根据概率计算公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵袋子中有3个白球，4个黑球，且每个球被取出的概率相同， ∴从中随机取出1个球是黑球的概率是； （2）解：设需要放入x个黑球， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：需放入20个黑球． 26．(1) (2) 列表如下： A B C D A B C D 由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数有2种， ∴恰好选中A、B两名同学参加活动的概率． 【分析】（1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列出表格得到所有的等可能性的结果数，再找到恰好选中A、B两名同学参加活动的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一共有4个人，每个人被选取的概率相同， ∴从这四人中随机选取一人，恰好选中A同学参加活动的概率是， 故答案为：． （2）略 【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键． 27．此游戏不公平，见解析 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式分别计算出两人获胜的概率，比较是否相等即可得出答案． 【详解】解：不公平，理由如下： 小明摸球情况列表如下： 白 蓝 红 红 白 （白，白） （蓝，白） （红，白） （红，白） 蓝 （白，蓝） （蓝，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） （红，红） 由表知，共有16种等可能结果，其中小明能配成紫色的有4种结果， 所以小明获胜的概率为； 小丽摸球情况列表如下： 白 蓝 红 红 白 （蓝，白） （红，白） （红，白） 蓝 （白，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） 由表知，共有12种等可能结果，其中小丽能配成紫色的有4种结果， 所以小丽获胜的概率为， ∵， ∴此游戏不公平． 【点睛】本题考查用概率判断游戏公平否，掌握用列举法求事件的概率是解题的关键． 28．(1) (2)至少有一人选择“有氧运动”的概率是， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，至少有一人选择“有氧运动”的结果有7种， 则至少有一人选择“有氧运动”的概率是． 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）先画树状图得到所有的等可能性的结果数，然后找到至少有1人选择“有氧运动”的结果数，即可利用概率公式求解． 【详解】（1）解：随机抽查一名考生，其选择“欣赏音乐”的概率是； 故答案为：； （2）略 【点睛】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，简单的概率计算，熟知概率公式是解题的关键． 29．(1)； (2)． 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中这辆车直行的结果有1种， 这辆车直行的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 直行 向左转 向右转 直行 （直行，直行） （直行，向左转） （直行，向右转） 向左转 （向左转，直行） （向左转，向左转） （向左转，向右转） 向右转 （向右转，直行） （向右转，向左转） （向右转，向右转） 共有9种等可能的结果，其中这两辆车一辆向左转，一辆向右转的结果有：（向左转，向右转），（向右转，向左转），共2种， 这两辆车一辆向左转，一辆向右转的概率为． 30．(1)60；5； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据C组的人数和人数占比即可求出总人数，根据所有的百分比和为1即可求出m； （2）先求出A、B、D、E、F的人数，然后补全统计图即可； （3）用树状图法求解即可． 【详解】（1）解：由条形统计图知，C组共有15名，占25%， 所以本次共随机采访了（名）， ． 故答案为：60；5； （2）解：A组教师为（名），B组教师为（名），D组教师有：（名），E组教师有（名），F组教师有：（名），补全统计图如下所示： （3）解：画树状图如解图所示，由树状图可知共有18种等可能的结果，其中所选派的两名教师恰好1男1女的结果有10种， （1男1女）． 【点睛】本题主要考查了频数分布表和频数分布直方图，用树状图法或列表法求解概率，解题的关键在于能够准确理解题意． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $