16.1.2 幂的乘方与积的乘方（培优教学课件）数学新教材人教版八年级上册

【新教材】人教版·八年级上册 第十六章 整式的乘法 16.1.2 幂的乘方与积的乘方 1 2 3 能结合乘方的意义，准确说出幂的乘方、积的乘方的运算法则，分清两个法则与同底数幂乘法法则的区别； 掌握幂的乘方、积的乘方的运算性质，能熟练运用法则进行整式计算，会逆用法则解决相关求值问题； 经历幂的乘方、积的乘方的探究推导过程，体会从特殊到一般的归纳思想，提升代数运算与逻辑推理的核心素养. 学 习 目 标 请看式子(32)3、(2a)3，它们一个是幂的乘方，一个是积的乘方，这和我们之前学习的同底数幂乘法形式不同. 该怎样进行计算呢？今天我们就一起来探究幂的乘方与积的乘方的运算性质． 同学们，上节课我们学习了同底数幂的乘法，哪位同学回忆一下同底数幂相乘的运算法则？ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，（m、n为正整数）. 导入新课 3 探究1：根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ （1）(32)3=32×32×32=3( ) （2）(a2)3=___________=a( ) （3）(am)3=___________=a( ) 6 a2×a2×a2 6 am×am×am 3m 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 新知探究 4 即：幂的乘方，底数不变，指数相乘． (am)n＝amn（m，n都是正整数）． 幂的乘方的运算法则 多重乘方也可以重复运用上述法则 [(am)n]p＝amnp（m，n，p都是正整数）． 新知探究 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 　 例1：计算. （1） ； （2）； （3）； （4）． 典例分析 1．（2026·江苏常州·中考真题）计算的结果是（     ） A． B． C． D． C 【解析】利用幂的乘方法则进行计算即可得出答案. 解：． 基础训练 2．已知，则的值为________． 【解析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 解：． ∵， ∴， ∴原式． 典例分析 探究2：填空，下面的运算过程用到哪些运算律？ 运算结果有什么规律？ （1）(ab)2=(ab)・(ab)=(a・a)・(b・b)=a( )b( ) （2）(ab)3=_______________=_____________________=a( )b( ) 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， 2 2 (ab)・(ab) ・(ab) (a・a ・a)・(b・b ・b) 3 3 新知探究 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． (ab)n＝anbn（n为正整数）． 积的乘方的运算法则 三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质： (abc)n＝anbncn（n为正整数）． 新知探究 例2：计算. （1）(2a)3; （2）(-5b)3; （3）(xy2)2; （4）(-2x3y)4. 解：（1）(2a)3=23·a3=8a3; （2）(-5b)3=(-5)3・b3= -125b3; （3）(xy2)2=x2・(y2)2=x2y4; （4）(-2x3y)4=(-2)4・(x3)4・y4=16x12y4. 典例分析 1．（2026·湖南·中考真题）已知，，，且，则的值是（     ） A． B． C． D． B 【解析】利用积的乘方法则计算左边，对比等式两边对应指数即可求出的值． 解：∵根据积的乘方运算法则，可得， 又∵，且，， ∴，对应指数相等，可得． 基础训练 2．下列各式中，错误的有_______ （填序号）． ①； ②； ③； ④． ①③ 【解析】根据幂的乘方和积的乘方法则，计算每个式子的正确结果，对比原式判断对错． 解：① ，，故①错误；② ，且，，故②正确；③，，故③错误；④，故 ④正确； 综上，错误的式子为①③． 基础训练 13 思考：幂的乘方与积的乘方的逆运算是怎样的呢？ amn＝(am)n＝(an)m （m，n都是正整数）． anbn ＝(ab)n（n为正整数）． 新知探究 例3：若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． D 【解析】将三个幂的底数统一为3，通过比较指数大小判断数值大小关系． 解：，， ∵，， ∴． 典例分析 1．若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【解析】逆用积的乘方法则、幂的乘方法则进行适当变形即可得出答案. 解：． 基础训练 2．下表是小李同学完成的一道作业题． 计算： 解：原式． 请你参考小李的方法解答下列问题． (1)计算：①；    ②； (2)若，直接写出n的值． 基础训练 解：（1）① ； 【解析】（1）①根据积的乘方运算求解即可；②根据积的乘方运算及有理数的乘方运算求解即可；（2）根据幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法的运算建立方程求解即可． ② ， ， ； （2）， ∴， ∴， ∴， 解得：． 基础训练 幂的乘方与积的乘方 ①幂的乘方法则 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. 即：(ab)n＝anbn（n为正整数） 三个或三个以上的积的乘方，也具有这一性质. 幂的乘方，底数不变，指数相乘． 即： (am)n＝amn（m，n都是正整数） 多重乘方也可以重复运用上述法则. ③ 幂的乘方与积的乘方的运算法则的逆用 amn＝(am)n＝(an)m （m，n都是正整数） anbn ＝(ab)n（n为正整数） ②积的乘方法则 新知总结 19 1．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． D 【解析】根据合并同类项法则、幂的乘方法则、积的乘方法则对各选项进行计算即可得出答案. 解：A选项：，计算错误；B选项：与不是同类项，不能合并，计算错误；C选项：，计算错误；D选项：，计算正确． 巩固练习 2．若，是正整数，，则（     ） A． B． C． D． C 【解析】根据已知等式可得，则． 解：∵ ，， 且， ∴， ∴ ， ∴ ． 巩固练习 3．已知：，则，_______． 12 【解析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘法的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．先根据幂的乘方求出，再由进行求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固练习 4．计算：_____． 【解析】逆用积的乘方进行求解即可. 解：原式 . 巩固练习 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项的对应法则进行计算即可. 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 巩固练习 6．阅读理解： 我们规定两数、之间的一种运算．记作：如果，那么，例如，记作． (1)根据以上规定求出：_____；_____； 【解析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． 解：（1），， ∴，； 拓展提升 (2)小明发现也成立．并证明如下： 设：，，，，， ． 根据以上证明，请计算：______； 【解析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． （2）根据题意设：，， 则，， ，即，∴ ∴； 拓展提升 (3)若，，，则，，之间的数量关系为_____________； （3）∵，，， ∴，即， ∵，∴， ∴，即； 【解析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． 拓展提升 (4)求的值． （4），设，， 则，∴，∴， ∵∴即 ∴． 【解析】根据题中定义，类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可． 拓展提升 课堂总结 必做题： 教材第101页习题16.1第2题、第3题 选做题： 教材第101页习题16.1第5题、第6题 布置作业 【新教材】人教版·八年级上册 感谢聆听! $