第2章 有理数的运算 知识清单 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

第2章　有理数的运算 依据浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章在第1章有理数的基础上，系统学习有理数的运算，共七节：2.1有理数的加法；2.2有理数的减法；2.3有理数的乘法；2.4有理数的除法；2.5有理数的乘方；2.6有理数的混合运算；2.7近似数。内容从运算法则到运算律，再到混合运算与近似数，是整个代数运算的奠基章节。 【考点地位】本章是数与代数领域的运算基础，有理数四则运算、乘方、科学记数法、近似数与精确度均为高频考点，常与数轴、绝对值、温度与海拔等实际情境结合考查，运算的正确率与符号判断是得分关键。 【学习目标】①理解有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则，能正确、熟练地进行有理数运算；②理解并能运用加法与乘法的运算律简化运算；③掌握有理数的混合运算顺序；④会用科学记数法表示绝对值较大的数；⑤理解准确数与近似数，能按精确度取近似值。 【知识结构图】按“章→节→核心知识点”三层呈现如下。 章 节 核心知识点 第2章 有理数的运算 2.1 有理数的加法 同号/异号加法法则；互为相反数与0的加法；加法交换律、结合律 2.2 有理数的减法 减去一个数等于加上这个数的相反数 2.3 有理数的乘法 乘法法则；倒数；乘法交换律、结合律、分配律 2.4 有理数的除法 除法法则；除以一个数等于乘这个数的倒数 2.5 有理数的乘方 底数、指数、幂；幂的符号规律；科学记数法 2.6 有理数的混合运算 先乘方，再乘除，最后加减；括号先算 2.7 近似数 准确数与近似数；精确度（四舍五入） 二、核心公式定理 【速查表】集中列出本章法则与公式，复习时逐条对照教材原文。 名称 公式 说明 同号两数相加 +5++3=+8 取相同符号，绝对值相加 异号两数相加 +5+−2=+3 取绝对值较大加数的符号，大绝对值减小绝对值 加法交换律 a + b = b + a 交换加数位置，和不变 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 前两数或后两数先加，和不变 减法法则 a − b = a + (−b) 减变加，再取相反数 乘法法则 −3×−2=+6 同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与0相乘得0 乘法交换律 a × b = b × a 交换因数位置，积不变 乘法结合律 (a × b) × c = a × (b × c) 前两数或后两数先乘，积不变 分配律 a × (b + c) = a × b + a × c 分别相乘再相加 除法法则 −6÷2=−3 同号得正，异号得负，绝对值相除；0除以非0数得0；除以一个数等于乘其倒数 乘方 an n个相同因数a相乘；a为底数，n为指数，结果叫幂 幂的符号规律 −3²=9；−3³=−27 正数任何次幂为正；负数奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0 科学记数法 6500000=6.5×10⁶ 写成a与10的幂相乘，其中1≤a<10 混合运算顺序 先乘方，再乘除，最后加减；括号先算 同级运算从左到右 三、考点知识梳理 （一）2.1　有理数的加法 【同号两数相加】一般地，同号两数相加有下面的法则：同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 【异号两数相加】一般地，异号两数相加有下面的法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。另外，有理数相加还有以下法则：互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 【加法交换律】两个数相加，交换加数的位置，和不变。a + b = b + a。 【加法结合律】三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。(a + b) + c = a + (b + c)。合理运用运算律，把正数、负数分别结合，或把互为相反数的数先相加，可简化运算。 图1 （+5）+（+3）=+8在数轴上的表示 图2 （−2）+（−4）=−6在数轴上的表示 （二）2.2　有理数的减法 【减法法则】一般地，有理数的减法有如下法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。上述法则也可以表示成a − b = a + (−b)。做减法时，先把减号变成加号、把减数变成它的相反数，再按加法计算。 （三）2.3　有理数的乘法 【乘法法则】一般地，我们有以下有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与零相乘，积为零。 【倒数】若两个有理数的乘积为1，就称这两个有理数互为倒数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数。 【乘法运算律】在有理数运算中，乘法的交换律、结合律和分配律同样成立。乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。a × b = b × a；乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。(a × b) × c = a × (b × c)；分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。a × (b + c) = a × b + a × c。 （四）2.4　有理数的除法 【除法法则】一般地，我们有以下有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数都得零。 【除法与乘法的关系】一般地，有理数的乘法与除法之间有以下关系：除以一个数（不等于零），等于乘以这个数的倒数。 （五）2.5　有理数的乘方 【乘方的概念】一般地，在数学上我们把n个相同的因数a相乘的积记作an，即n个a连乘。这种求几个相同因数的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂。在an中，a叫作底数，n叫作指数，an读作“a的n次方”或“a的n次幂”。一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写；二次方也叫作平方，三次方也叫作立方。 【幂的符号规律】由于幂就是相同的因数相乘，根据有理数乘法法则可知：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的正整数次幂还是0。 【科学记数法】我们经常遇到一些较大的数，为读写方便，常用带一位整数的数与10的乘方的乘积来表示。这种把一个数表示成a（1≤a<10）与10的幂相乘的积的形式，叫作科学记数法。负数也可以类似表示。 （六）2.6　有理数的混合运算 【混合运算法则】一般地，有理数混合运算的法则是：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如有括号，先进行括号里的运算。同级运算从左到右依次进行；能运用运算律的要先用运算律简化。 （七）2.7　近似数 【准确数与近似数】与实际完全符合的数称为准确数。与实际接近的数称为近似数。对近似数，人们常需知道它的精确度。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】同号相加号不变，绝对值加最关键；异号相加大减小，大数符号跟着走；减变加来反号拿，除变乘倒不害怕；乘方先算莫乱序，科学记数写a乘10的幂，a在1到10间。 【对比记忆】加法与减法、乘法与除法互为逆运算；加法交换律、结合律与乘法交换律、结合律形式相似，分配律是乘法对加法的分配。 运算 符号法则 转化方向 减法 减号变加号，减数变相反数 减法→加法 除法 除号变乘号，除数变倒数 除法→乘法 乘方 负奇为负，负偶为正 乘方→相同因数连乘 【易混对比】底数带括号与不带括号不同：(−3)²=(−3)×(−3)=9，而−2²=−(3×3)=−9；前者底数是−3，后者底数是3。 五、解题方法总结 题型1　有理数的加、减、乘、除运算 【解题方法】①先定符号（同号得正、异号得负），再算绝对值；②减法先变加法（取相反数），除法先变乘法（取倒数）；③多个数连算时，把互为相反数、能凑整的数先结合。 【数学思想】转化与化归思想：把减法转化为加法、把除法转化为乘法，未知问题化归为已知运算。 题型2　有理数的乘方与混合运算 【解题方法】①先算乘方，特别注意负数乘方的括号；②再算乘除，最后算加减；③有括号先算括号内，能用运算律的先简算。 【数学思想】程序化与分层思想：按“乘方→乘除→加减”分层，逐层确定符号与绝对值。 题型3　科学记数法与近似数 【解题方法】①科学记数法：整数位数减1即10的指数，写成a与10的幂相乘（1≤a<10）；②近似数精确到哪一位，就看四舍五入到那一位；③实际问题中按要求保留位数。 【数学思想】估算与对应思想：把大数与10的幂对应，把近似值与精确位对应。 六、易错点清单 【清单】逐条对照自查，重点防符号与顺序错误。 易错点 正确做法 异号相加符号判断错（把和的符号取成绝对值小者） 和的符号取绝对值较大加数的符号 减法只变减号、忘了减数变相反数 减号变加号的同时，减数必须变成它的相反数 把−3平方误算成 9（误当 (−3)平方） −3平方=−(3×3)=−9；负数乘方要加括号才是整体乘方 混合运算先算加减后算乘方 严格先乘方，再乘除，最后加减；括号最优先 科学记数法写成 65×10的5次幂（a≥10） 须满足1≤a<10，650000=6.5×10的6次幂 0作除数、或认为0有倒数 0不能作除数，0没有倒数；0除以非0数得0 七、高频考点速记 ①同号相加取同号、绝对值相加；异号相加取大绝对值符号、大减小。 ②减去一个数等于加上这个数的相反数：a−b=a+(−b)。 ③两数相乘除，同号得正、异号得负，绝对值相乘除。 ④除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 ⑤乘方：正数任何次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正。 ⑥混合运算：先乘方，再乘除，最后加减；括号先算。 ⑦科学记数法：把数写成a与10的幂相乘，其中1≤a<10。 ⑧与实际完全符合的数是准确数，与实际接近的数是近似数；四舍五入到哪一位就精确到哪一位。 八、学情自测 （一）选择题 1．计算(−3)+(−5)的结果是（ ） A．−2 B．2 C．−8 D．8 2．计算(−2)×3的结果是（ ） A．−6 B．6 C．−5 D．5 3．计算(−6)÷(−2)的结果是（ ） A．3 B．−3 C．4 D．−4 4．计算(−3)²的结果是（ ） A．−6 B．6 C．−9 D．9 5．计算−2²的结果是（ ） A．4 B．−4 C．2 D．−2 6．计算(−1)¹⁰⁰的结果是（ ） A．−1 B．1 C．−100 D．100 7．230 000用科学记数法表示为（ ） A．23×10⁴ B．2.3×10⁵ C．2.3×10⁴ D．0.23×10⁶ 8．下列各数中，与−2互为倒数的是（ ） A．2 B．−2 C． D．− 9．计算7−(−3)的结果是（ ） A．4 B．−4 C．10 D．−10 10．计算(−1)+(−2)×3的结果是（ ） A．−9 B．−7 C．−5 D．−6 11．近似数1.57精确到（ ） A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．个位 12．下列运算正确的是（ ） A．(−3)−(−5)=−8 B．(−3)+(−5)=8 C．(−3)×(−5)=15 D．(−15)÷(−3)=−5 13．冬季某一天，某地最高气温5℃，最低气温−3℃，这天最高气温比最低气温高（ ） A．−8℃ B．8℃ C．−2℃ D．2℃ （二）填空题 14．−5的相反数是________；|−5|=________。 15．用科学记数法表示：6 500 000=________。 16．计算：(−2)³=________；(−1)⁷=________。 （三）解答题 17．计算：(−6)²×(−)−2³。 18．某冷库室温为−2℃，一部制冷机组使室温每小时下降4℃，3小时后冷库的室温为多少摄氏度？ 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】C 解题步骤： ①同号两数相加，取相同符号（负号），绝对值相加3+5=8，故(−3)+(−5)=−8。 【知识点睛】同号两数相加，取与加数相同的符号，再把绝对值相加；异号相加则取绝对值较大加数的符号，用大绝对值减小绝对值。 2．【答案】A 解题步骤： ①异号两数相乘得负，绝对值2×3=6，故(−2)×3=−6。 【知识点睛】异号两数相乘得负、同号得正，再把绝对值相乘；任何数与零相乘，积都为零。 3．【答案】A 解题步骤： ①同号两数相除得正，绝对值6÷2=3，故(−6)÷(−2)=3。 【知识点睛】两数相除同号得正、异号得负，再把绝对值相除；除以一个不等于0的数等于乘它的倒数。 4．【答案】D 解题步骤： ①(−3)²=(−3)×(−3)=9，负数偶次幂为正。 【知识点睛】乘方先看指数奇偶：负数的偶次幂为正、奇次幂为负；注意底数是否带括号，带括号与不带括号意义不同。 5．【答案】B 解题步骤： ①−2²=−(2×2)=−4，注意底数是2。 【知识点睛】负2的平方表示2的平方的相反数，底数是2不是负2，结果为负4；底数带负号时结果才为正4。 6．【答案】B 解题步骤： ①(−1)的偶次幂为1，100是偶数，故(−1)¹⁰⁰=1。 【知识点睛】负1的偶次幂为1、奇次幂为负1；判断时先数指数是奇数还是偶数，不要只看负号。 7．【答案】B 解题步骤： ①230 000整数位数为6，指数为5，写成2.3×10⁵，满足1≤a<10。 【知识点睛】科学记数法写成a与10的幂相乘，其中a的整数位数只有一位；10的指数等于原数整数位数减1。 8．【答案】D 解题步骤： ①乘积为1的两个数互为倒数，−2×(−)=1，故倒数是−。 【知识点睛】乘积为1的两个数互为倒数；正数的倒数为正、负数的倒数为负，0没有倒数。 9．【答案】C 解题步骤： ①减去一个数等于加上它的相反数，7−(−3)=7+3=10。 【知识点睛】减去一个数等于加上这个数的相反数：先把减号变加号、减数变成它的相反数，再按加法法则运算。 10．【答案】B 解题步骤： ①先乘除后加减：(−2)×3=−6，再(−1)+(−6)=−7。 【知识点睛】混合运算先乘除后加减：先算乘法负2乘3得负6，再算负1加负6；有括号要先算括号内的。 11．【答案】B 解题步骤： ①1.57的末位7在百分位，即精确到百分位。 【知识点睛】近似数四舍五入到哪一位就精确到哪一位；1.57的末位7在百分位，故精确到百分位。 12．【答案】C 解题步骤： ①逐项判断：A应为2，B应为−8，D应为5，只有C(−3)×(−5)=15正确。 【知识点睛】逐项核对符号与绝对值：同号得正、异号得负，减法先变加相反数、除法先变乘倒数，再判断对错。 13．【答案】B 解题步骤： ①最高比最低高5−(−3)=5+3=8（℃）。 【知识点睛】温差用最高温减最低温，减去负数等于加上它的相反数：5减负3等于5加3，得8（℃）。 （二）填空题 14．【答案】5；5 解题步骤： ①只有符号不同的两个数互为相反数，−5的相反数是5；②负数的绝对值是它的相反数，|−5|=5。 【知识点睛】相反数成对出现，绝对值非负；0的相反数与绝对值都是0。 15．【答案】6.5×10⁶ 解题步骤： ①6 500 000是7位整数，指数为6；②写成6.5×10⁶，满足1≤6.5<10。 【知识点睛】10的指数等于原数整数位数减1。 16．【答案】−8；−1 解题步骤： ①(−2)³=(−2)×(−2)×(−2)=−8；②(−1)的奇次幂为−1，7是奇数，故(−1)⁷=−1。 【知识点睛】负数奇次幂为负、偶次幂为正；−1的幂次看指数奇偶。 （三）解答题 17．【答案】−2 解题步骤： ①先算乘方：(−6)²=36，2³=8；②算括号：−=−=；③再算乘法：36×=6；④最后相减：6−8=−2。 【知识点睛】混合运算严格分层：乘方→括号→乘除→加减。 18．【答案】3小时后冷库的室温为−14℃ 解题步骤： ①每小时下降4℃记为−4℃，3小时共下降(−4)×3=−12（℃）；②初始−2℃，故−2+(−12)=−14（℃）。 【知识点睛】实际问题先规定正负方向，再用有理数乘法与加法列式。 学科网（北京）股份有限公司 $