第二章 有理数的运算（七大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材浙教版七年级上册

该初中数学第二章“有理数的运算”知识清单系统涵盖有理数加法、减法、乘法、除法、乘方与科学记数法、混合运算及近似数七大知识点，搭建了从基础运算法则到运算律应用再到综合混合运算的递进式学习支架。 清单以“知识点梳理+易错点剖析”构建完整知识体系，如加法明确符号判定与绝对值运算步骤，乘法强调负因数个数对符号的影响，培养运算能力与推理意识。特设“易错提醒”如乘方中-2⁴与(-2)⁴的底数区别，配套“对点训练”强化应用，学生可自主排查薄弱点，教师能据此设计分层教学，提升课堂实效。

第二章 有理数的运算 知识点一·有理数的加法 1.加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 特殊情形：互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 2.运算律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)。 3.计算步骤：先定符号，再算绝对值。 知识点二·有理数的减法 1.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a−b=a+(−b)。 2.加减混合运算：先把减法统一成加法（可省略加号与括号），再运用运算律简化计算。 知识点三·有理数的乘法 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2.运算律：乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac。 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数。 4.多个有理数相乘：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正。 知识点四·有理数的除法 1.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。 2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。 3.0不能作除数。 知识点五·有理数的乘方与科学记数法 1.乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作aⁿ，读作“a的n次方”，其中a叫底数，n叫指数，乘方的结果叫幂。 2.符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 1的任何次幂都是1；−1的奇次幂是−1，偶次幂是1。 3.科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，n等于整数位数减1。 知识点六·有理数的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行。 2.有括号先算括号里面的，顺序为小括号→中括号→大括号。算前观察题目特点，合理运用运算律可使运算简便。 知识点七·近似数 1.近似数：与实际数非常接近的数；精确度表示近似数与准确数的接近程度，常用“精确到哪一位”表示。 2.取近似值常用四舍五入法；精确到某一位时，看这一位的下一位决定是否进位。 3.有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。 易错点1·加法与减法符号 易错提醒 1.异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，学生常把符号写错或直接把绝对值相加。 2.互为相反数的两数相加得0，不要漏掉这一特殊情形。 3.减法变加法：减号变加号，减数同时变成它的相反数，两步要同时进行，漏一步即错。 【对点训练】1．按运算顺序直接计算： (1)； (2)． 【对点训练】2．计算 (1)； (2)． (3) (4) 【对点训练】3．计算： (1)； (2) ． 易错点2·乘法与除法 易错提醒 1.多个不为0的数相乘，先数负因数的个数：奇数个为负、偶数个为正，再乘绝对值。 2.0没有倒数；0不能作除数。 3.除法不能套用分配律：a÷(b+c)≠a÷b+a÷c 【对点训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【对点训练】2．计算： (1)； (2)． 【对点训练】3.数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是________． (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算： 易错点3·乘方（底数与括号） 易错提醒 1.−2⁴与(−2)⁴不同：−2⁴=−16，(−2)⁴=16，底数不同结果不同。 2.负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。 【对点训练】1．下面各对数中相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【对点训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【对点训练】3．计算： (1)； (2)； (3)． 易错点4·混合运算顺序 易错提醒 1.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级从左到右，不能跳步。 2.括号优先级最高，绝对值符号可按括号处理；去括号时注意符号变化 【对点训练】1．计算： (1)． (2)． 【对点训练】2．计算： (1)； (2) 【对点训练】3．计算： (1) (2)． 易错点5·科学记数法与近似数 易错提醒 1.科学记数法中a的范围是1≤a＜10，n=整数位数−1，不要写成a≥10。 2.精确到哪一位与保留几个有效数字是两种不同说法，注意区分。 3.近似数末尾的0不能省略，它表示精确度（如0.50与0.5精确度不同）。 【对点训练】1．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【对点训练】2．精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． 【对点训练】3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 易错点6·运算律误用 易错提醒 1.只有加法、乘法有交换律、结合律，减法、除法不能直接交换或结合。 2.分配律a(b+c)=ab+ac对乘法分配成立，反过来因式提公因时要提干净。 【对点训练】1.计算： (1) (2)． 【对点训练】2.用简便方法计算：． 【对点训练】3. 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 1．把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 2．中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破650亿千克，为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“650亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 4.下列近似数的叙述不正确的是（    ） A．精确到千分位 B．精确到个位 C．万精确到万位 D．精确到千位 5．，应用了______（定律） 6．定义一种新运算“*”：对于任意有理数和，都有，如，则___________． 7．计算： (1)； (2)． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： (1)； (2)． 11．用运算律简便运算 (1) (2) 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数的运算 知识点一·有理数的加法 1.加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 特殊情形：互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。 2.运算律：加法交换律a+b=b+a；加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)。 3.计算步骤：先定符号，再算绝对值。 知识点二·有理数的减法 1.减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即a−b=a+(−b)。 2.加减混合运算：先把减法统一成加法（可省略加号与括号），再运用运算律简化计算。 知识点三·有理数的乘法 1.乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0。 2.运算律：乘法交换律ab=ba；乘法结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac。 3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数。 4.多个有理数相乘：几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，负因数有奇数个时积为负，有偶数个时积为正。 知识点四·有理数的除法 1.除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b=a×(1/b)（b≠0）。 2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0。 3.0不能作除数。 知识点五·有理数的乘方与科学记数法 1.乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作aⁿ，读作“a的n次方”，其中a叫底数，n叫指数，乘方的结果叫幂。 2.符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 1的任何次幂都是1；−1的奇次幂是−1，偶次幂是1。 3.科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式，其中1≤a＜10，n为正整数，n等于整数位数减1。 知识点六·有理数的混合运算 1.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次进行。 2.有括号先算括号里面的，顺序为小括号→中括号→大括号。算前观察题目特点，合理运用运算律可使运算简便。 知识点七·近似数 1.近似数：与实际数非常接近的数；精确度表示近似数与准确数的接近程度，常用“精确到哪一位”表示。 2.取近似值常用四舍五入法；精确到某一位时，看这一位的下一位决定是否进位。 3.有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。 易错点1·加法与减法符号 易错提醒 1.异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，学生常把符号写错或直接把绝对值相加。 2.互为相反数的两数相加得0，不要漏掉这一特殊情形。 3.减法变加法：减号变加号，减数同时变成它的相反数，两步要同时进行，漏一步即错。 【对点训练】1．按运算顺序直接计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【对点训练】2．计算 (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 【对点训练】3．计算： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2)0 【分析】根据有理数的加减混合运算解答即可． 【详解】（1）解： （2） 易错点2·乘法与除法 易错提醒 1.多个不为0的数相乘，先数负因数的个数：奇数个为负、偶数个为正，再乘绝对值。 2.0没有倒数；0不能作除数。 3.除法不能套用分配律：a÷(b+c)≠a÷b+a÷c 【对点训练】1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【对点训练】2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的除法运算，能够进行简便计算是解题的关键． （1）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算； （2）先将原式转化为，再利用乘法分配律进行简便运算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【对点训练】3.数学老师布置了一道思考题“计算：”甲乙丙三位同学仔细思考了一番，分别用了一种不同的方法解决了这个问题． 甲同学的解法是：原式； 乙同学的解法是： 原式的倒数为， 所以； 丙同学的解法是：原式． (1)你认为解答过程完全正确的是________． (2)请你运用恰当的解法解答下面的问题． 计算： 【答案】(1)甲，乙 (2) 【分析】本题考查了有理数的运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的乘除运算法则、准确计算是解题的关键； （1）根据有理数的运算法则即可做出判断； （2）观察所求的式子，可以按照乙同学的解法求解． 【详解】（1）解：甲同学的解法：原式，运算过程正确； 乙同学的解法：原式的倒数为， 所以，运算过程正确； 丙同学的解法：原式，除法没有分配律，运算过程错误； 所以甲、乙同学的运算过程都正确，丙同学的运算过程错误； 故答案为：甲、乙． （2）解：按乙的解法： 原式的倒数               ， ；     ∴．     易错点3·乘方（底数与括号） 易错提醒 1.−2⁴与(−2)⁴不同：−2⁴=−16，(−2)⁴=16，底数不同结果不同。 2.负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数。 【对点训练】1．下面各对数中相等的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】分别计算每个选项中两个数的结果，再比较是否相等. 【详解】解：依次计算各选项的两个数进行比较： 选项A：， ，A不符合要求. 选项B： ， ，B不符合要求. 选项C： ， ，C不符合要求. 选项D： ， ，D符合要求. 【对点训练】2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据乘方的定义进行计算即可．特别注意底数是负数或分数时要加括号，分清楚各个小题中的底数是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【对点训练】3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． （1）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （2）按照有理数的乘方运算法则计算即可． （3）按照有理数的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解： 易错点4·混合运算顺序 易错提醒 1.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级从左到右，不能跳步。 2.括号优先级最高，绝对值符号可按括号处理；去括号时注意符号变化 【对点训练】1．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算，最后进行有理数的加减运算； （2）利用乘法对加法的运算律进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对点训练】2．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 先计算平方、立方、绝对值，再算乘除，最后算减法； （2） 先算乘方与小括号，再算中括号，接着算乘法，最后做减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对点训练】3．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 易错点5·科学记数法与近似数 易错提醒 1.科学记数法中a的范围是1≤a＜10，n=整数位数−1，不要写成a≥10。 2.精确到哪一位与保留几个有效数字是两种不同说法，注意区分。 3.近似数末尾的0不能省略，它表示精确度（如0.50与0.5精确度不同）。 【对点训练】1．电影《欢迎来龙餐馆》上映后口碑热度持续走高，收获大量观众好评．截至目前，国内累计票房已突破12亿元．将数1200000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：将1200000000的小数点向左移动，直到得到的数满足，可得，1200000000的小数点向左移动了9位，所以．因此1200000000用科学记数法表示为． 【对点训练】2．精确到万位是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意精确到万位可得，． 【对点训练】3．下列说法正确的是（     ） A．0.318精确到百分位 B．3.6万精确到个位 C．精确到十位 D．3000精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数精确位数的判断，只需确定最后一位有效数字在原数中的位置，得到对应精确位数后逐个判断选项即可． 【详解】解：近似数的精确位数由最后一位有效数字在原数中的位置决定，逐个判断选项： A.的最后一位在千分位，因此精确到千分位，原说法错误， B.万，在千位，因此精确到千位，原说法错误， C.，在十位，因此精确到十位，原说法正确， D.近似数的精确数位具有不确定性，故原说法错误． 易错点6·运算律误用 易错提醒 1.只有加法、乘法有交换律、结合律，减法、除法不能直接交换或结合。 2.分配律a(b+c)=ab+ac对乘法分配成立，反过来因式提公因时要提干净。 【对点训练】1.计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【对点训练】2.用简便方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，然后利用乘法分配律展开并计算即可． 【详解】解：原式 ． 【对点训练】3. 利用运算律有时能进行简便计算． 例1 例2    请你参考黑板中老师的两个讲解，用相应的方法简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了乘法分配律． （1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干作答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 2．中原熟，天下足．处于中原的河南一直是我国重要的粮食大省，最近几年粮食总产量更是连续突破650亿千克，为保证国家粮食安全做出了突出贡献．数据“650亿”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将以“亿”为单位的数转化为原数，再化为科学记数法的标准形式． 【详解】解：650亿． 3．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 4.下列近似数的叙述不正确的是（    ） A．精确到千分位 B．精确到个位 C．万精确到万位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查近似数的精确度，科学记数法，依据“一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”的定义，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：的最后一位数字在千分位 精确到千分位，A选项正确，不符合题意． 的最后一位数字5在个位 精确到个位，B选项正确，不符合题意． 万，数字在千位 万精确到千位，C选项错误，符合题意． ，数字4在千位 精确到千位，D选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．，应用了______（定律） 【答案】乘法分配律 【分析】本题考查乘法分配律，式子，是把相同因数提取出来，将另外的因数相加后再与相乘，应用了乘法分配律． 【详解】解： ， 根据乘法分配律的逆运算，即，其中，，，， ∴提取相同因数后得到，化简为， 故答案为：乘法分配律． 6．定义一种新运算“*”：对于任意有理数和，都有，如，则___________． 【答案】11 【分析】本题考查了新定义，含乘方的有理数的混合运算；根据新运算的定义计算即可． 【详解】解：根据定义，． 故答案为：11． 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的减法法则把减法转化成加法，写成省略加号的形式，运用加法交换律先把符号相同的数结合起来计算，再根据绝对值不相等的异号两数相加的运算法则进行计算； （2）根据有理数的减法法则把减法转化成加法，写成省略加号的形式，再运用加法结合律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，确定符号后约分计算即可； （2）将小数转化为分数，把除法转化为乘法，约分计算即可； （3）将除法转化为乘法，确定符号后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】此题考查有理数乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键： （1）按照从左到右依次计算； （2）按照从左到右依次计算； （3）按照乘法运算法则计算； （4）根据0乘以任何数都等于0计算． 【详解】（1）解：； ； （2） ； （3） ； （4） ． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，掌握分数的乘除法法则、符号规则以及带分数与假分数的相互转换是解题的关键．解题时需先将带分数转换为假分数，并将除法转换为乘法．注意符号规则：负负得正，最后通过约分简化得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： ． 11．用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法转化为加法，写成省略加号的形式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据乘方的定义，把乘方计算出来，再根据运算法则进行计算； （3）根据除以一个不为的数等于乘以它的倒数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算； （4）根据乘方的定义、绝对值的性质算式中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 13．阅读以下材料，完成相关的填空和计算． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______． (2)计算． (3)根据以上信息可知：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（ ）根据倒数的定义可得出答案； （）将除法变为乘法，利用乘法的分配律进行计算即可； （ ）再由倒数的定义直接得出答案即可． 本题考查了有理数的除法，倒数的定义，乘法分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $